探究线性微分方程解的存在唯一性

1、gi倏晶舞技大争U旷SHAANXIUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGY常微分课程报告题目：探究线性微分方程解的存在唯一性组长：侯氏组员：白柳纯报告日期：5.15目录引言1一、引例2二、证明解的存在唯一性的步骤2三、一阶线性微分方程解的存在唯一性2四、探究n阶线性微分方程解的存在唯一性8五、用不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性.101、不动点定理的一些结论102、不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性12六、用不动点定理证明n阶线性微分方程解的存在唯一性.16七、总结21引言从分析方法入手，来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证

2、明.我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型，但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解，因此对初值问题的研究被提到重要地位，自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一？Theanalysismethodofthatsatisfytheinitialconditionsthesolutionoflineardifferentialequationoffirstorderistheonlyproofofthetheoremof.Welearntouseseveraltypesofelementarysolutionoffirs

3、t-orderequations,butalsoknowalotoffirst-orderequationsisnotelementarysolutionforthegeneralsolutionsof,andpracticalproblemsneedisoftenrequiredtomeetsomeinitialconditionsthesolution.Therefore,studyfortheinitialvalueproblemismentionedanimportantposition,naturaltoask:theexistenceofsolutionsofinitialvalu

4、eproblems?Ifthereisonlyone?、引例dyP(x)ydxy(x。)V。Q(x)(2例：yyy(0)=0解：dx粤dxyii-xc通斛：yy=0yxc例：y'2.yy(0)=0解:_dy2,y2dxyxcy(xc)yx及y=0二、证明解的存在唯一性的步骤1、微分方程的初值问题等价于一个积分问题2、构造一个合适的连续的逐步逼近序列3、证明此逐步逼近序列一致收敛4、证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解5、证明唯一性三、一阶线形微分方程dyP(x)yQ(x)解的存在唯一性dx首先，我们令f(x,y)P(x)yQ(x)这里f(x,y)是在带形域R:xx0a上的连续函数.函

5、数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希兹(Lipsc川tz)条件，如果存在常数L>0使不等式f(x,yi)f(x,y2)Lyiv?对于所有的(x,Vi),(x,V2)R都成立,L称为利普希兹常数卜面我们给出一阶线性微分方程dyP(x)yQ(x)dx解的存在唯一性定理：如果在R上连续且关于y满足利普希兹条件，则方程(1)存在唯一的解y(x),dyP(x)yQ(x)定义于区间xxoh上，连续且dx满足初始条件：(xo)Vob这里hmin(a,),Mmaxf(x,y),(x,y)RM1下面我们分五个命题来证明。命题1设是的定义于区间xo(x)一阶线性微分方程dyP(x)yQ(x)dxxoh上

6、的，且满足初始条件(xo)y。的解，所以y(x)是积分方程xyyoP(x)yQ(x)dxxo的定义于xoxxoh上的连续解，反之亦然。证明：因为ydy(X)是dxP(x)yQ(x)的解所以d(x)dxP(x)(x)Q(x)(2)(3)两边从xo到所以y(x)是积分方程yyoxoP(x)yQ(x)dx定义于x。卜上的连续解。反之：xyyoP(x)yQ(x)dxy(x)是积分方程xo的连续解，则取积分得x(x)(x0)P(x)yQ(x)dxx又因为初始条件(xo)yoxyyoP(x)yQ(x)dxxox(x)yoP(x)(x)Q(x)dxX0微分得到d(x)dxP(x)(x)Q(x)将xx。代入x

7、yyoP(x)yQ(x)dxxo怎付x1(x)yo(P()yoQ()dxo电P(x)yQ(x).因此y在xoxxoh上有定义、连续且有xi(x)yoP()y°Q()dXxP()yoQ()dxoM(xx°)Mh是dx的定义于x。x%h上且满足初始条件(xo)yo的解。现在取o(x)yo,构造皮卡逐步逼近函数序列如下o(x)yoxxoxxoh(n=1,2,)n(x)yof(,nl()dxo命题2对于所有的n,函数(x)在vxvhnxoxo上定义、连续且满足不等式(x)vbn，yo证明当n=1时，x1(x)yo(P()yoQ()dxo即n=1时，命题2成立，下面我们用数学归纳法证

8、明假设当n=k时命题2成立，即k(x)V。bx一(x)VP()k()Q()dk10kXo由n=k时成立知道，k1(X)在XoxXoh上有定义、连续且有Xki(x)VoXoP()k()Q()dM(xXo)Mhb即n=k+1时命题2成立，即对所有n成立，即构建连续逐步逼近的序列完毕。命题3函数序列n(x)在xoxxoh上是一致收敛的。证明我们考虑级数o(x)k(x)k1(x)XoxXoh(5)k1它的部分和为no(x)k(x)k1(X)=(x)k1因此，要证明序列n(x)在XoXXoh上一致收敛，只需证明级数(5)在xoXxoh上一致收敛.为此，我们进行如下估计.由(4)有X。)O(X)P()。(

9、)Q()dM(xXo)(6)1 owo人0Xo及X2(X)1(X)(P()1()Q()(P()o()Q()dXM(Xo)dM(xxo)2xo2!2 Xo1o利用利普希兹条件及(6)得到2(x)1(x)L；1()o()dxo设对于正整数n,不等式n(X)n1(x)n1MLn(xxo)n!成立，则有利普希兹条件，当x0XXoh时，有n1(X)n(x)xoxLxo(P()n()Q()(P()n1()Q()dn()nl()dnMLxn!xo3ML/、n1xo)d(xxo)(n1)!于是，由数学归纳法得知，对于所有的正整数k,有如下的估计k(x)ki(x)k1ML,(xk!kxo)xox°h从

10、而可知，当x0xx0k(x)ki(x)ML、k!(8)(8)的右端是正项收敛级数MLkk1hkk!h上一致收敛,因而序的一般项。由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在x°xxo列n(x)也在xoxxoh上一致收敛，命题3证毕.命题4(x)是积分方程的定义于xoxxoh上的连续解.证明由利普希兹条件xn(x)YoP(x)n1(x)Q(x)dxxo以及n(x)在x0xx0h上一致收敛于(x),即知序列n(x)P(x)n(x)Q(x)在xoxXoh上一致收敛于伊能)(x)Q(x).因而对于两边取极限，得到0(x)y。xn(x)y。P()n1()Q(xq)dlimnn(x)yQnimxP()()n

11、1Q(xq)dlimnn(X)yxlimP()()nixqnQ()dn(x)xy。XP(xQ)()n1Q()d这就是说(x)是积分方程(2)的定义于x0xx0(9)h上的连续解.命题4证毕.命题5设(x)是积分方程(2)的定义于x0xx0h上的一个连续解,则(x)(x)x。xx。h证明我们首先证明(x)也是序列n(x)的一致收敛极限函数.为此，从0(x)V。n(x)xy。xP()(x。)Q()d(n=1,2,)我们可以进行如下估计0(x)(x)(x)y。xf(x,(xq)dx。P()()Q()dM(xx。)i(x)(x)X0(p()。()Q()(P()()Q()d现设nl(x)(x)n1MLn

12、!n(x)(x)xLxQ0()()dxML(x0)dx。ML.一W(xX。)(xx0)n,则有x。xLxq(P()n/)Q()(P()()Q()d)()dNMLxn!xQML/、n1xo)d(xx。)(n1)!故有数学归纳法得知，对于所有的正整数n,有下面的估计式n(X)(X)M-(xx°)n1(n1)!(10)因止匕，在x0xx0h上有n(x)(MLn.n1(x)h(n1)!(11)Mln一Ahn1是收敛级数的公项，故n(n1)!时磊hn10因而n(x)在x°xx°h上一致收敛于(x)，根据极限的唯一性，即得(x)(x)x0xx0综合1-5，即得到一阶线性微分方

13、程dydxP(x)yQ(x)解的存在唯一定理的证明。四、探究n阶线性微分方程解的存在唯一性n阶线性微分方程的一般形式：dnxdtnn1叱嫉dtan1(t)当出an(t)xf(t)(1)初值条件为:y(t)c0,y'(t)c1,.y(n"(x。)Cn1有如下结论：定理1:(n阶线性微分方程初值问题解的存在与唯一性)设ai(x)(i=1,2,.n)和F(x)均在区间I上连续，则对任一x0属于I和任意n个常数C0,C1,-1,方程(1)包有且只有一个定义在整个区间I上且满足条件(2)的解。问题的转化：将n阶线性微分方程的初值问题转化成形如x'A(x)xf(x)，x(t0)c

14、的线性微分方程组的初值问题。研究初值问题x'A(x)xf(x),x(to)c的解的存在唯一性定理。定理2：(存在唯一性性定理)如果A是n*n矩阵，f是n维列向量,h(x),定义于整个区间它们都在区间atb上连续，则对于区间atb上的任何数t0及任一常数n维列向量c,方程组x'A(x)xf(x)，x(t0)c存在唯一解atb上，且满足初值条件x(t0)co命题1:设yh(x)是方程组(3)的定义于区间atb上且满足初值条件h(X0)c(4)一x(t)的解，则h(x)是积分方程tA(s)x(s)f(s)dst0b上的连续解,反之亦然。证明：因为yh(x)是方程两边从t°到

15、t取定积分得到(3)的解,tx(t)x(t。)A(s)x(s)f(s)dst0将(4)式代入上式，即有tx(t)cA(s)x(s)f(s)dst0，(5)命题2：对于所有的正整数k,向量hk在区间b上有定义且连续。现取h(t)c,构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下:(x。)y°tf(s)x(t)(x0)A(s)x(s)t°命题3:向量函数序列h(t)在区间atb上是致收敛的。由利普希兹条件h(t)L(n0)以及n(x)在x0xx0h上一致收敛于(X)，即知序列fn(X)f(x,n(x)在x0xx0h上一致收敛于f(x,(x).因而对于两边取极限,得到xlimn(x)yolim

16、f(x,ni(x)dxnn/x=yolimf(,ni()dxon即x(x)yoxf(,()dxo命题4:h是积分方程(5)的定义在区间atb上的连续解。证明：由h在atb上一致收敛于h，以及A的连续性，推知序列A(s)hk(s)在区间asb上一致收敛于A(s)hk(s)0这就是说，h(t)是积分方程(5)的定义于atb上的连续解。命题5:设p(t)是积分方程(5)的定义于atb上的另一个连续解，则h(x)p(x)atb。A(t)f(t)yh。五、不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性(一)不动点定理的重点结论不动点，是一个函数术语，在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”。定义1称T

17、:(X,)(X,)是一个压缩映射，如果存在01使得(Tx,Ty)(x,y),x,yX定理1.1压缩映射原理(C.(C.-)e.皮卡(1890);S.Banach(1922):设X是一个完备的度量空间，映射？：X一X把每两点的距离至少压缩入倍，即d(?(x),?(y)&入d(x,y),这里人是一个小于1的常数，那么？必有而且只有一个不动点，而且从X的任何点xo出发作出序列八&3"fSG'这序列一定收敛到那个不动点。定理1.2布劳威尔不动点定理(1910):设X是欧氏空间中的紧凸集，那么X到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。定理1.3莱夫谢茨不动点定理：设X是

18、紧多面体，？：X-X是映射，那么？的不动点代数个数等于？的莱夫谢茨数L(?),它是一个容易计算的同伦不变量.当L(?)w0时，与？同伦的每个映射都至少有一个不动点。这个定理发展了布劳威尔定理。定理1.4(Schauder不动点定理)：设M是Banach空间X的非空紧凸集，T:MM是连续映射，则T在M中有不动点。10(二)不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性定理1、Banach压缩映射原理：对于一阶线性微分方程的初值问题dyp(x)yQ(x)dxyxxoV。解的存在与唯一问题，有下面的Picard定理：设f(x,y)p(x)yQ(X)在矩形Dx,y|xx。a,yy。b关于y满足Lipsc

19、hitz条件，即存在常数L0,x,y,x,y'D,有fx,yfx,y'Lyy(1)在区间Xo,Xo上有唯minb1a,，一,Mmaxfx,y.MLx,yD)证明首先，问题(1)等价于积分方程xVxVofx,yxdx.x。CyCxo,xoy,yomaxyxx)|yoMTyxVoxfx,vXoxdx,则C是Banach空间Cx。,Xo的闭子空间,故C也是完备的T:CC.事实上yc,Ty是x。,x。上的连续(D上连续，且,这里(2),而映射I数，即TyCx。,xo，且有Tyy。maxTyxxxIy。=,max|xx)|xfx,yxdx11maxMx俨x0=MX0故TyC,其次，yi,

20、y2C,TyiTy2maxTy1xTy,xXxo|2=maxfx,y1xfx,y2xdx|x5x0maxLy1xy2xdxxx0|1 xLdy*,maxlxx0lxxI=L2Vly2.因L1,故T是C上的压缩映射.于是，由压缩映射原理，存在唯一C,使T=，即积分方程有唯一解yx，也就是问题在区间x0,x0上有唯一解yx。例1(Volterra积分方程的解)设Kt,s是定义在atb,ast上的连续函数，则Volterra积分方程txtftKt,sxsds(3)a对任意的fCa,b以及任意常数存在唯一的解x°Ca,b.证明作Ca,b到其自身的映射T:tTxtftKt,sxsds,a用M表

21、示Kt,s在atb,ast上的最大值,d表示Ca,b中的距离.对于任意的x,yCa,b，则有tTxtTytKt,sxsysdsa12dsKt,saMtamaxxsysasb=Mtadx,y,下面用数学归纳法来证明TnxtTnytnMntan/n!dx,y.(4)当n=1时，不等式(4)已经证明.现设n=k时，不等式(4)成立，则当n=k+1时，有kik1TxtTytKt,saTnysdstk1Mk1/k!sakdsdx,yak1a/k1!dx,y故不等式（4）Xtn=k+1也成立，于是对一切自然数n成立.由（4）dTnx,TnymaxTnxtTnytaatbnnnMba/n!dx,y.因为对任

22、意常数有，limnMnban/n!0,这样我们始终可以选取足够n大的自然数n使得，nMnban/n!1.因此，Tn是压缩映射，故方程（3）在Ca,b上有唯一的解。2、Schauder不动点定理的应用皿ft,xtdt其中f:GRn,GRRn若给定（Rn）则对于方程求一个函数（t）满足dxtdtft,xt的问题称为方程（5）的Cauchy问题，而(5)G,(R,(6)称为Cauchy问题(6)的一13个解.定理3.1(Peano解的存在性定理)设函数fx,t在RRn中的闭区b上连续，则Cauchy初值问题(5)至少在区间I:th上有解存在，这里,Mmaxft,xt,xGbhmina,m证明显然,(

23、6)等价于积分方程x(t)f(s,x(s)ds的求解.令F:Ch,hCh,h表示如下:tF(x)(t)f(s,x(s)ds易证F是连续映象，令一X|x|Mh,当xCh,ht|F(x)Imaxf(s,x(s)dsIMhmaxMt1tIhMht1又F(x)(t1)F(x)(t2)f(s,x(s)dst2M|t2t1(t2t1)MFc是相对紧的，故F是全连续映象，且F(一)一,据一般的Schauder定理，F在有不动点，即Cauchy问题问题(6)有解.例2设g:0,bRRR是连续，有界的，则两点边值问题d2udt7g(t,u,u(t)(°tb)有解.u(0)u(b)0证明令C'0

24、,bxx1(t)在0,b连续在C0,b上定义|x|maxx(t),x'(t)则C0,b是Banach空间.'_1_>设g(t,u(t),u(t)M,止义F：C0,bC0,b如下(0s,tb)bsF(u)(t)g(v,u(v),u(v)dvdsf(u)t()00这里f:C0,bRbs一、1,、,f(u)-g(v,u(v),u(v)dvdsb001cc显然f是连续?之函，且If(u)1Mb2Mb2.现来证明F是全连续映象，由于f是连续的，易证F是连续的，再者，任取maxf(u)(t)tsmaxMdvdst0,b00Mb2Mb22Mb2f(u)bmaxF'(u)tmab

25、xg(v,u(v),u(v)dvf(u)|，0MbMb2Mb.令还有max2Mb2,2Mb，即|F(u)|tsF(u)(t1)F(u)(t2)|MdvdsMbt1t2002Mbt1t2F(u)(t1)F(u)(t2)Mt1t215min，一，即F(C1)是相对紧集，故F是全连续映像。2MbM如令，显然有F(一),故存在u,使uF(u).由(*),显然有u(0)u(b)2o,求两次导就得到sdyg(tu(t)u)即两点边值问题有解。dt2''六、用不动点定理证明n阶线性微分方程解的存在唯一性1、对N阶线性微分方程:dnydxnn1dyx-dxanxyFx(1)初值条件:则有xxx

26、oyxo.n2dykxdtxxn3dydxn31X-x2!xodnCo，yxondydxnCi,ynxoCn1(2)dxn1X0XotduxotdtCn1xodttdtcn1ducnxxoCn2tdtxodtCn1xxottdtCn11Cn2!xocnxocn2duCn3X0Cn3Cn1xoCn2xn2XoCixXoCon1adyaZdxn1带入原方程:n2dya2Lanydn2x进一步整理:xxkx,ttdtfxx0注释：kx,ta1a2xt1aax2!ann1!aiCn1a2Cn1xxoCn21a3Cn1x2!2xoCn2xxoCn312Cn2xx°Cn3xx02!Cn413a4-Cn1xx03!an-Cn1xxon1!Gx%Co(5)很显然kx,t在矩形区域a&x&b,a&t&x上是连续的引理：方程（5）与方程（1）,（2）等价，也就是如果yx是初值问题（1）（2）的解,n则yx（其中xd-）是积分方（5）dnx的解；如果y是方程（5）的解，则yx（其中ndxxdxn）是初值问题（1）（2）的解。证明：若yx是初值问题（1）（2）的解，设dxn由上述过程可知:dxn1xotdtCn1dxnxutdtCn1duCn2xoxodxn3xxxoxxoxxotdtCn1xtdtxoCn1xCn2xoCn2duCn32xotdt1