排列、组合、解题技巧

1、排列、组合、解题技巧排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、2.相离问题插空法5.有序分配问题逐分法8.定位问题优先法11.选排问题先取后排法典型排列组合题的解答策略.1.相邻问题并组法4.标号排位问题分步法7.交叉问题集合法10.“至少”问题间接法熟练运用，本文介绍十二类3 .定序问题缩倍法6 .多元问题分类法9 .多排问题单排法12.部分合条件问题排除法13、均匀分配问题-均分法1 .相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列.【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如

2、果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有A.60种B.48种C.36种D.24种分析把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人全排列，P：=24种，故选D.2 .相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是A.1440B.3600C.4820D.4800分析除甲、乙外，其余5个排列数为P5种，再用甲、乙去插6个空位有P种，不同排法种数是P55P（2=3600种，故选B.3 .定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必

3、须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法.【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有A.24种B.60种C.90种D.120种分析B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是155个兀素全排列数的一半，即yP；=60种，故选B.4 .标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例4】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A.6种B.9种C.11种D.23种分析先把1填入方格，

4、符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X1=9种填法，故选B.5 .有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法.【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种分析先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同法共有C；0C8c7=2520种，故选C.6 .多元问题分类法元素多，取出的情况

5、也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计.【例6】由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A.210个B.300个C.464个D.600个分析按题意，个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况，分别有律个，EP；P；个、P；P；P；个、P；qP；个、月P；个，合并总计得300个，故选B.【例7】从1,2,3,100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？分析被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记

6、作A,则A=7,14,98共有14个元素，不能被7整除的数的集合A1,2,99,100共有86个元素.由此可知，从A中任取两数的取法，共有c24种；从A中任取一个数又从A中任取一个数的取法，共有CC86种，两种情形共得符合要求的取法有C；4CC861295例8从1,2,100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少？分析=1,2,，100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A=4,8,，100;被4除余1的数集B=1,5,，97;被4除余2的数集为C=2,6,98;被4除余3的数集为D=3,7,99,易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A中任取两个数符合要求；

7、从B、D中各取一个数的取法也符合要求；从C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都不符合要求.由此即可得符合要求的取法共有c；5+c25c25+c25(种).7 .交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AUB)=n(A)+n(B)n(AnB)例9从6名运动员中选出4个参加4X100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析设全集I=6人中任取4人参赛的排列,A=甲第一棒的排列,B=乙跑第四棒的排列,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)-n(A)-n(B)+n(AAB)=P6P53p5P：=252(种).8 .定

8、位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素.【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有种.分析老师在中间三个位置上选一个位置，有P3种；然后4名同学在其余4个位置上有P：种，共P；P：=72种.【eg】书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上2本不同的书，有种不同的放法分析：法一：分两部完成，第一步，固定3本不同的书前后顺序进行排列，设其排列数为N,第二.3.53A步，再对三本书进行内部排列，有A33种不同的方法，由分布计数原理，A5NA3,所以N弋20A3种不同的方法。2一法二：可理解为从5个位

9、置中选2个进行排列其，三本书放剩余位置。9 .多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理.【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A.36B.120C.720D.1440.分析前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排，共P；=720种,故选C.【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？(高中代数甲种本第三册P82,23).分析看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有P：种；某1个元素在后半段四个位置中选一个，有P；种；其余5个元素任排在剩余

10、的5个位置上有P；种，故共有P41P:P；=5760种排法.10 .“至多”、“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便.【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有A.140种B.80种C.70种D.35种分析逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同取法共有c；c4c3=70种.故选c.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有种（答：596）提醒：亦可分类来求.11 .选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法.【

11、例14】四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有种分析先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有C2种；再排：在四个盒中每次排三个有P；种，故共有C4c4=144种.【例15】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析先取男、女运动员各二名，有c2c2种；这四名运动员混双练习有P22种排法，故共有C*；种分组法.如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是（答：576）。12.部分合条件问题排除法在选

12、取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求.【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有A.70个B.64个C.58个D.52个分析正方体8个顶点，从中每次取四点，理论上可构成C4个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C：12=58个，故选C.【例17】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.分析7个点中取三点的取法有C7种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形&3=32个.13、均匀分配问题-均分法【例17】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(

13、2)分为三份，每份2本；(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本.解：(1)根据分步计数原理得到：C-CjC；90种；(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C；CjC；种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有C2C2C2_32223V-/AV-/9A3种方法.根据分步计数原理可得：C6c4c2XC3,所以x6:215.因此，A3分为三份，每份两本一共有15种方法.点评：本题是分组中的“均匀分组问题.CmCmICm一般地：将mn

14、个不同元素均匀分成n组(每组m个元素)，共有CmnCmnmLCm种A方法.(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C；C；C；60种方法.(4)在(3)的基础上再全排列，一共有c6C；C；A；360种方法.(5)可以分为三类情况：“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCjC；90种方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有c6C；C；A；360种方法;“1、1、4型”，有c4a；90种方法；c：c2c；A所以，一共有90+360+90=540种方法.点评：本题第(3)种类型为部分均匀分组再分配，其分组总数为思考(1):8名球员住A、日C三个房间，每个房间最多住3人，有多少种住宿方法？解:思考(2):六本相同的书发给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三人是否均分到书.问有多少种不同的分法？解：用档板法处理，。|。|。，结果为C22C；28.点评：R类题1求不定方程x1x2x36的非负整数解的个数?练习：(1)四本不同的书，分给三个人，每人至少一本，全部分完，有几种分法？解：先分组，再分配有CjA；种.(2) n本不同的书，分给n1个人，每人至少1本，全部分完，有几种分法？解：先分组，再分配有C：An；种.(3) n本相同的书，分给n1个人，每人至少1本