折叠几何综合专题---16道题目含答案

1、01如图，将矩形ABC研AF折叠，使点D落在BC边的点E处,过点E作EG/CDAF于点G连接DG(1)求证：四边形EFDG菱形；(2)探究线段EGGFAF之间的数量关系，并说明理由;若AG=6,EG=2&求BE的长.(1)证明：由折叠性质可得，EFFD,/AEMZADR900,/EFA=/DFAEG=GDDDC；/.ZDFA=/EGF./EFA=/EGF-EF=EG=FD=GD.四边形EFD。菱形；21一(2)解：EG=,GF AF理由如下：如解图，连接ED交AF于点H,.四边形EFDG菱形，一_11_.DELAF,FH=GH=2GFEH=DH=2DE./FEH=90/EFA=/FAE

2、/FHE=/AEF=90,/.RtAFEFHRtAFAE.阻/即E=FH-AF,工1：又FH=2GFEG=EF,EG=2GF-AF;(3)解：A。6,EG=275,EG=1AFGF.(2泌)2=2(6+GFGF解得GF=4或GF=10(舍)，仃已4,/.AF=10.DF=EG=2乖，/.AD=BC=A/AFDF=4G5,DE=2EH=21/EG(2GF2=8,/CD曰/DF490,ZDAfrZDF/90,/CD曰/DAE./DCE/ADM90, EO胪，/.BE=BOE(5502如图，将矩形ABC研对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F,若D巳4,BA8.(1)求证：AF=EF;(

3、2)求证：BF平分/ABD/.RtADC&RtAADff2E即里DLAF1M证明：（1）在矩形ABC叶，AB=CD/A=ZC=90,BE虚BCD寸折得到的，.ED=CD/E=/C,.ED=AB,/E=/A,（2分）又./AFB=/EFD.ABWEDFAAS）,.AF=EF;（4分）（2）在RtzBCM,vDC=DE=4,BD=8,DC1.sin/CBD=-ZTL=-,BD2./CBD=30,（5分）./EBD=ZCBD=30,./ABF=90-30X2=30,（7分） BF平分/ABR8分）03把一张矩形ABCD氏片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上

4、)，折痕分别为BHDG(1)求证：BH9DGF(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长。【解答】解：（1）.四边形ABC比矩形,，AB=CDZA=ZC=90,/ABD4BDC.BEHABAH翻折而成， /1=/2,/A=/HEB=90,AB=BE.DGF是DGCB折而成， /3=Z4,/C=/DFG=90,CD=DF .BEHADFG中，ZHEB=ZDFGBE=DF/2=/3,.BEHDFG（2）二.四边形ABC比矩形，AB=6cm.AB=CD=6cmAD=BC=8cm.BD=小小8口=Vs2+62=10,由（1）知，BD=CDCG=FG.BF=10-6=4cm,设FG=x则BG=8

5、-x,在RtBGF中，B（G=BF2+FG2,即（8-x）2=42+x：解得x=3,即FG=3cm【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.BC=8cm04把一张矩形纸片ABCDK如图方式折叠， 使顶点B和顶点D重合，折痕为EF.若BF=4,FC=2贝U/DEF的度数是.考点：翻折变换(折叠问题)。专题：计算题。分析：根据折叠的性质得到DF=BF=4/BFE4DFE在R4DFC中，根据含30的直角三角形三边的关系得到/FDC=30,则/DFC=60,所以

6、有/BFE4DFE=(180-60)+2,然后利用两直线平行内错角相等得到/DEF的度数.解答：解：二.矩形纸片ABCDK如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF,DF=BF=4/BFE=/DFE在RHDFC中，FC=2,DF=4,/FDC=30,/DFC=60,/BFE4DFE=(180-60)+2=60,/DEF=BFE=60.故答案为60.点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也考查了矩形的性质和含30。的直角三角形三边的关系.05如图，在矩形ABCN,AB=&BC=1G将矢I形ABCLBEF折叠，使点C与点A重合，则6B.12C.折

7、痕EF的长为（）A.考点：翻折变换（折叠问题）.分析：设BE=x,表示出CE=1&x,根据翻折的性质可得AE=CE然后在RtABE中，利用勾股定理列出方程求出x,再根据翻折的性质可得/AEF4CEF根据两直线平行，内错角相等可得/AFE之CEF然后求出/AEF之AFE根据等角对等边可得AE=AF过点E作EHLAD于H,可得四边形ABEH矩形，根据矩形的性质求出EHAH,然后求出FH,再利用勾股定理列式计算即可得解.解答：解：设BE=X,贝UCE=BGBE=16x,沿EF翻折后点C与点A重合，.AE=CE=16x,5C在RtABE中，AB2+BE=AE,即82+X2=(16-x)解得X=

8、6,.AE=16-6=10,由翻折的性质得，/AEF=/CEF.矩形ABCD的对边AD/BC.AFE=/CEF.-ZAEF=/AFE.AE=AF=10过点E作EHLAD于H,则四边形ABE银矩形，EH=AB=8AH=BE=6，FH=AFAH=10-6=4,在RHEFH中，EF而而谭=质”=4面.故选D.点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口.06如图，将矩形纸片ABC可叠，使边ABCD匀落在对角线BD上，得折痕BEBF,则/EBF=分析：根据四边形ABC虚矩形，得出/ABE=/EB/ABD/DB后

9、/FBG/DBC再根据/ABEi/EBD/DBE/FBG/ABB90,得出/EBD/DBI=45,从而求出答案.解答：解：二四边形ABC虚矩形，根据折叠可得/ABE：/EBD：/ABD/DBE/FBG:ZDBC/AB/EBB/DBF/FBG/ABC=90,/EBD/DBF=45,即/EBF=45,故答案为：45.点评：此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，B.3二C.D.5再进行计算，是一道基础题.07如图，将矩形ABC酊EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上.若AB=6,BC=9,则BF的长为（）A.4考点：翻折变换（折叠问题）分析：先求出BC,再由图

10、形折叠特性知，CF=CF=BC.2.22.中，运用勾股定理BF+BC=CF求解.解答：解：二点C是AB边的中点，AB=6,.BC=3,由图形折叠特性知，CF=CF=BCBF=9-BF,2.22在直角二角形CBF中，BF+BC=CF,BF=9-BF,在直角三角形CBFBF2+9=(9-BF)2,解得，BF=4,故选：A.点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高.同时也考查了列方程求解的能力.解题的关键是找出线段的关系.08如图，将矩形ABC酊CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处.若AE=BE则长AD与宽AB的比值是考点：卜西换（折叠问1分析：由AE=BE可设AE=2k,贝U

11、BE=3k,AB=5k.由四边形ABC虚矩形，可得ZA=ZABCWD=90,CD=AB=5kAD=BC由折叠的性质可得/EFC至B=90,EF=EB=3kCF=BC由同角的余角相等，即可得/DCFWAFE在RtAEF中，根据勾股定理求出AF=JE2_百七由cos/AFE=c。夏DCF得出CF=3/5k,即AD=3而k,进而求解即可.解答：解：AE=BE设AE=2k,贝UBE=3k,AB=5k.四边形ABC比矩形，/A=/ABCWD=90,CD=AB=5kAD=BC.将矩形ABCDgCE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，/EFC=B=90,EF=EB=3kCF=BC/AFE吆DFC=90,/

12、DFC+FCD=90,./DCF=AFE，cos/AFE=c。夏DCF在RtAEF中，./A=90,AE=2k,EF=3k,AF=/EF2-AE2=k，鲤回，即幽县，匕、EFCF3kCF：.CF=3k,，AD=BC=CF=3k,长AD与宽AB的比值是当罡亚.5k5故答案为挈.点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义.解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用.09如图，已知在矩形ABCM,点E在边BC上，BE=2CE将矩形沿着过点E的直线翻折后,点CD分别落在边BC下方的点C、D处， 且点C、D、B在同一条直线上， 折痕与边AD交于点F,DF与BE交于点G.设AB=t

13、,那么EFG的周长为_2t_（用含t的代数式表示）.考点：翻折变换(折叠问题)分析：根据翻折的性质可得CE=CE,再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半判断出/EBC=30,然后求出/BGD=60,根据对顶角相等可得/FGEW/BGD=60,根据两直线平行，内错角相等可得/AFG=FGE再求出ZEFG=60,然后判断出EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF,即可得解.解答：解：由翻折的性质得，CE=CE,.BE=2CEBE=2CE,又./C=/C=90,EBC=30,./FDC=/D=90,，/BGD=60,/FGE=/BGD=60,1. AD/BC/AFG=FGE=6

14、0, ./EFG=(180-/AFG=(180-60)=60, .EFG是等边三角形，AB=t, .EF=t+W电外t,.EFG的周长=3X旦it=2vt.233故答案为：2.；t.10如图，将矩形ABC册BD对折，点A落在E处，BE与CDffi交于F,若AB=3,BD=6.(1)求证：EDFACBF(2)求 2EBC(第1题图)翻折变换(折叠问题)；全等三角形的判定与性质；矩形的性质(1)首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BCZE=ZC=90,对顶角/DF叵/BFG利用AAS可判定DE目BCF(2)在RtAABD,卞!据AD=3,BD=6,可得出/ABH30。，然后利用折叠的性质可得/

15、DBE=30,继而可求得/EBC勺度数.在DEFBCF中,/ABD=30,由折叠的性质可得；/DB=/AB*30,/EBG903030=30.本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角考点：分析:解答:(1)证明：由折叠的性质可得:DE=BC/E=ZC=90,2DFE:/EFCNE=/CDE降ABCI3(AAS；(2)解：在RtAABD,AD=3,BD=6,点评:形全等是关键.11如图，在矩形ABCDK点E,F分别在边ABBC上，且AE=LAR将矩形沿直线EF折叠,3点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q,对于下列结论：EF=2BE;PF=2PE;F

16、Q=4EQPBF等边三角形.其中正确的是（）.B.C.D.解答：解：.AE=1AEBBE=2AE由翻折的性质得，PE=BE,/APE=30,/AEP=9030=60,.ZBEF=i(180-/AEP2=60/EFB=9060=30,EF=2BE故正确；.BE=PE,EF=2PEEFPFPF2PE故错误；由翻折可知EFPB/EBG/EFB=30,BE=2EQEF=2BE=1(180-60)2FQ=3EQ故错误；由翻折的性质，/EFE=ZBF向30。，BFP=30+30=60,/PBF=90-/EB(=9030=60,./PBF=/PFB=60,，PBF是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是

17、.故选D.点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键.12已知矩形ABCD勺一条边AD=8,将矢I形ABCDf叠，使得顶点B落在CDi上的P点处.(1)如图1,已知折痕与边BC交于点Q连结AROPOA.求证：OC团PDA若OCPfPDA勺面积比为1：4,求边AB的长；(2)若图1中的点P恰好是CDa的中点，求/OAB勺度数；(3)如图2,在(1)的条件下，擦去折痕AO线段OP连结BP动点M在线段APto *餐上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM连

18、结M岐PB于点F,作MELBPT点E.试问当点MN在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.AB=AP=2OP=10.边AB的长为10.DPDC.D(=ABAB=AP,2/D=90,sin/DA叫,/DAR30.AP2薜答: 解：(1)如图1,.四边形ABCO矩形，AD=BCDGARZDAB=ZB=ZC=ZD=90.由折叠可得：AP=ABPOBQ/PAO/BAO/APB/B./APB90./APD=90/CPOZPGC./D=/C,/APB/POC.OCPPDX.OCPfPDA勺面积比为1:4,.旦=q=J比.PD=2OCPA=2OPDA=2CPFD

19、PADA42.AD=8,.CP=4,BC=8.设OP=x,则OB=x,C(=8-x,在RtPCO,./C=90,CP=4,OP=x,CG8x,1.x2=(8x)2+42.解得：x=5.(2)如图1,P是CD&的中点，DP1图1D/DAE=90,/PAO/BAO/DAF30,，/OAB30./OAB勺度数为30.（3）作MQAN交PB于点Q如图2.APABMQAN2.ZAPB=/ABP/ABf=ZMQP./APB：/MQP.MP=MQ3MPMQMaPQPE=EQPQ-BN=PMMf=MQBN=QMMQAN/QM=/BNF在MF0口NFB中，rZQMF=ZBNFZQn=ZBFN.MF姿NF

20、B.，QF=BF.Q卫CB.QM二BN2.EF=EQQFPQQBPB.由（1）中的结论可得：PG=4,BG=8,Z0=90.232PB+qi/.EF=.PB=2.，在（1）的条件下，当点MN在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2/5.13如图，正方形AB0D勺边长是16,点E在边AB上，AE=3,点F是边B0上不与点B、0重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B，处，若40DB恰为等腰三角形，则DB的长为【分析】若CDB恰为等腰三角形，判断以CD为腰或为底边分为三种情况：DB=DGCB=CDCB=DB,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解16或 455455【解析】本题考

21、查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.根据题意，若CDB恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB=DC时，则DB=16（易知点F在BC上且不与点CB重合）；（2）当CB=CD时，:EB=EB,CB=CB.点E、C在BB的垂直平分线上，EC垂直平分BB,由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB=DB时，作BGLAB与点G交CN点H/AB/CD1 1.BhlCDCB=DB,DH=CD=8,.AGDH=8,.GEAG-AE=5,在RtBEG43,2 2由勾股定理得BG=12,BH=GH-BG=4.在RtAB1DH中，由勾股定理得DB=4反,综上所述DB=

22、16或 4J54J5.14如图，矩形ABCD中，AB=8,BG=6,P为AD上一点，将ABP沿BP翻折至与CDf交于点Q且OE=OD则AP的长为PE5【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用【分析】如答图，二四边形ABCD是矩形，DAC90,ADBC6,CDAB8.根据折叠对称的性质，得 ABPABP EBP,EBP,EPAP,EA90,BEAB8.DE在ODP和OEG中，ODOE,DOPEOGODPOEGASA.OPOG,PGGE.CG8解得x.DGEP.APEPxPDGE6x,DGx,BG8在RtBCG24.AP的长为中，根

23、据勾股定理，得_2_2_2一.2BCCGBG，即624515如图，将YABCD沿过点A的直线折叠,使点D落到AB边上的点D#,折痕交CDS于点E,连接BE.(1)求证：四边形BCED是平行四边形;(2)(1)(1)如答图，.将YABCD沿过点A的直线 AEAE 折叠，.DEDE,12.四边形ABCD是平行四边形，DC/AB.113.23.DEAD.DEAD.YABCD,DCAB.ECDB.EC=DBDB.，四边形BCED是平行四边形【答案】证明:(2)(2)如答图,BE平分/ABC，45.四边形BCED是平行四边形，.EDED/CB.，46.56.由（1）23,263590,即AEB90.，在RtV