控制系统的滞后-超前校正设计

1、课程设计206年12月_3课程设计任务书题目：控制系统的滞后-超前校正设计初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是G(s)Ks(s1)(s4)试设计校正装置使得系统白静态速度误差系数Kv10秒1,相位裕度50,幅值裕度h10dB。要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、用MATLAB乍出满足初始条件的K值的系统伯德图，计算系统的幅值裕度和相位裕度。2、在系统前向通路中插入一校正网络，确定校正网络的传递函数，并用MATLA城行验证。3、用MATLA吩析未校正和已校正系统的根轨迹，单位阶跃响应和单位斜坡响应。4、课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过

2、程，列出MATLABS序和MATLAB俞出。说明书的格式按照教务处标准书写。时间安排：任务时间（天）指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料2分析、计算2编写程序1撰写报告2论文答辩1指导教师签名：系主任（或责任教师）签名:目录摘要1基于频率响应法校正设计概述12串联滞后-超前校正原理及步骤22.1 滞后超前校正原理2.2.2 滞后-超前校正的适用范围.32.3 串联滞后-超前校正的设计步骤33串联滞后-超前校正的设计4.3.1 待校正系统相关参数计算及稳定性判别43.1.1 判断待校正系统稳定性43.1.2 绘制待校正系统的伯德图63.1.3 绘制待校正系统的根轨迹图83.1.4 绘制待校正系

3、统的单位阶跃响应曲线83.1.5 绘制待校正系统的单位斜坡响应曲线93.2 滞后超前-网络相关参数的计算1.03.3 对已校正系统的验证及稳定性分析123.3.1 绘制已校正系统的伯德图123.3.2 判断已校正系统的稳定性143.3.3 绘制已校正系统的根轨迹图163.3.4 绘制已校正系统的单位阶跃响应曲线173.3.5 绘制已校正系统的单位斜坡响应曲线183.3.6 串联滞后-超前校正设计小结1.94心得体会20参考文献21武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书摘要本题是一个在频域中对线性定常系统进行校正的问题。所谓的校正，就是在系统中加入一些其参数可以改变的机构或装置，使系统的整个特性

4、发生变化，从而满足给定的各项性能指标。目前工程实践中常用的三种校正方法为串联校正、反馈校正和复合校正。本篇论文主要采用串联滞后-超前校正的方法，对待校正系统进行校正使其满足给定的静态速度误差系数和相角裕量的要求，并结合所学知识对未校正系统和已校正系统进行对比，分析其稳定性及各项性能指标，在此基础上运用著名科学计算软件MATLAB的相关工具箱绘制出系统的波特图、根轨迹图、奈氏图、单位阶跃响应曲线，并利用SIMULINK对控制系统进行建模仿真，验证效果。MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化

5、以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。学会利用MATLAB进行建模仿真应当是大学生的一项基本技能。关键字：频域串联滞后-超前校正MATLAB/SIMULINK性能指标武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书控制系统的滞后-超前校正设计1基于频率响应法校正设计概述所谓的校正，就是在系统中加入一些其参数可以改变的机构或装置，使系统的整个特性发生变化，从而满足给定的

6、各项性能指标。如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出时，一般采用时域法校正；如果性能指标以系统的相角裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特征量给出，如本题，一般采用频率法校正。在频域内进行系统设计，是一种间接而又简单的设计方法，它虽然以伯德图的形式给出非严格意义上的系统动态性能，但却能方便的根据频域指标确定校正装置的参数，特别是对已校正系统的高频特性有要求时，采用频域校正法较其他方法更为方便。一般来说，开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能；开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能；高频段表征了闭环系统地复杂性和噪声抑制性能。

7、因此，用频域校正法设计控制系统的实质，就是在系统中加入频率特性形状合适的校正装置，使开环频率特性形状变成所期望的形状：低频段增益充分大，以保证稳态误差的要求；中频段对数幅频特性斜率一般为-20dB/dec,并占据充分宽的频带，以保证具备适当的相角裕度；高频段增益尽快减小，以削弱噪声影响，若系统原有部分高频段已经符合该种要求，则校正时可保持高频段形状不变，以简化校正装置形式。常用的校正形式有串联超前校正、串联滞后校正、串联滞后-超前校正。每种方法都有不同的适用范围，应当根据实际要求恰当的选择，由于本题要求采用串联滞后-超前校正，下面将着重介绍这种方法。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书2串联

8、滞后-超前校正原理及步骤2.1 滞后超前校正原理无源滞后超前校正网络电路图如下图所示:R1r>C2U101U2C2图1无源滞后超前校正网络电路图其传递函数为:Gc(s)=(1+TaS)(1+TbS)2一一一、，TaTbS+(Ta+Tb+Tab)s+1式中Ta=RG,Tb=R2c2,Tab=RQ2经适当化简无源滞后-超前网络的传递函数最后可表示为:Gc(s)=(1+TaS)(1+TbS)_Th(1+TaS)(1+TbS)其中，1,(1+TaS)/(1+TaS)为网络的滞后部分，(1+TbS)(1+TbS/的超前部分。无源滞后-超前网络的对数幅频特性如图2所示：(2.2-1)(2.2-2)为

9、网络OdB/dec图2源滞后-超前网络的对数幅频特性曲线武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书其低频部分和高频部分均起始于和终止于0分贝水平线。由图可见。只要确定a,b,，或者确定Ta,就可以确定滞后-超前网络的传递函数。2.2 滞后-超前校正的适用范围有时候单独使用串联超前校正和串联滞后校正都无法达到指标要求，而滞后-超前校正兼有滞后校正和超前校正的优点，即已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能也较好。当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，以采用串联滞后-超前校正为官。其基本原理是利用滞后-超前网络的超前部分增大系统的相角裕度，同时利用滞后

10、部分来改善系统的稳态性能。2.3 串联滞后-超前校正的设计步骤串联滞后-超前校正的设计步骤如下：1)根据稳态性能要求确定开环增益K;2)绘制待校正的对数幅频特性，求出待校正系统的截止频率c',相角裕度及幅值裕度h'(dB);3)在待校正系统对数幅频特性曲线上，选择斜率从-20dB/dec变为-40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率b。b的这种选法，可以降低已校正系统的阶次，且可保证中频区斜率为期望的-20dB/dec,并占据较宽的频带；4)根据响应速度的要求，选择系统的截止频率c''和校正网络衰减因子1/。要保证已校正系统截止频率为所选的c&#

11、39;',下列等式应成立：-20lg+L'(c'')+20lgTbc''=0式中：Tb=1/b,L'(c'')为待校正系统的幅频特性曲线在c''处的值，L'(c'')+20lgTbJ可由带校正系统幅频特性曲线斜率为-40dB/dec的部分在c''处的数值确定，因此可以求出值；5)根据相角裕度要求，估计校正网络滞后部分交接频率a；6)校验已校正系统的各项性能指标。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书3串联滞后-超前校正的设计3.1 待校正系统相关参数计算及稳定性判别3

12、.1.1 判断待校正系统稳定性1)首先根据静态速度误差系数的要求求出待校正系统的开环根轨迹增益:由于系统的开环传递函数为：G(s)Ks(s1)(s4)(3.1.1-1)(3.1.1-3)(3.1.1-4)(3.1.1-5)根据静态速度误差系数的定义知:(3.1.1-2)KvlimsG(s)lims0s0(s1)(s4)4题目要求Kv=10S-1,所以K40S，于是可得出待校正系统的开环传递函数为：现将其写成最小相位典型环节相乘的形式：G(s)40Ws(s1)(s4)s(s1)(0.25s1)2)运用劳斯稳定判据判断系统稳定性因为该系统为单位反馈系统，由此可得系统的闭环传递函数为:(s)4310

13、21G(s)0.25s31.25s2s10由此可得系统的闭环特征方程为：D(s)0.25s31.25s2s10列出劳斯表，如下表所示：武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书ns第一列第二列3s0.2512s1.25101s-100s100由于劳斯表第一列中有一个系数为-1<0,因此第一列系数变化两次，说明系统闭环特征方程有两个正实部的根，系统不稳定。3)运用奈奎斯特稳定判据判定待校正系统稳定性:由于奈奎斯特稳定判据是在频率域中进行，因此先将开环传递函数从s域变换到频率域中，令s=j，带入系统开环传递函数中得:G(j)1077ji)(0.25j15(3.1.1-6)令从0变化到+，-变化到

14、0,可以得到系统的奈氏曲线，在MATLAB命令窗口中键入如下命令：>>num2=10%分子多项式系数按降幕排列>>den2=conv(conv(1,0,1,1),0.25,1)%分母多项式系数按降幕排列>>sys2=tf(num2,den2)%求解系统的开环传递函数>>nyquist(sys2)%绘制系统的开环幅相特性曲线即奈奎斯特曲线>>title(未校正系统奈氏图)结果如下图所示：武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书图3待校正系统奈奎斯特曲线从图中可以看出未校正系统开环幅相特性曲线包含（-1,j0）点2次，所以R=2,由系统的开

15、环传递函数可知其没有s右半平面的极点，所以P=0,由幅角原理可知闭环特征方程位于s右半平面的零点数Z=P-R=2,不等于0,所以可以判定系统不稳定。由以上分析可知待校正系统是不稳定的。3.1.2绘制待校正系统的伯德图伯德图由两部分组成，分别为幅频特性曲线和相频特性曲线，从伯德图中我们可以得到开环系统的频域特性如穿越频率、截止频率以及对应的幅值裕度、相角裕度，借助MATLAB我们很容易做到这一点，在其命令窗口中输入如下命令：> >num2=10>>den2=conv(conv(1,0,1,1),0.25,1)>>sys2=tf(num2,den2)> &

16、gt;margin(sys2)%未校正系统bode图> >gridon武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书> >title(未校正系统bode图')> >hdb2,r2,wx2,wc2=margin(sys2)>>sys2_step=feedback(sys2,1)%求未校正系统闭环传递函数>>sys2_bandwidth=bandwidth(sys2_step)%求未校正闭环系统带宽频率结果如下图所示：(9P)opnilu6GzBSP)35ELICL未校正系统bod电图-225-270Wi2W'1100101W2F

17、requency(rad/s)在命令窗口得到：hedb2=0.5000wx2=2.0000;sys2_bandwidth=3.8971o图4待校正系统的伯德图r2=-15.0110;wc2=2.7797;由此可知未校正系统的穿越频率为2.0000rad/s对应的幅值裕度为0.5000dB,截止频率为2.7797rad/s对应的相角裕度为-15.0110O由于相角裕度小于零，幅值裕度大于零，亦证明系统不稳定。闭环系统的带宽为3.8971rad/s.武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书3.1.3绘制待校正系统的根轨迹图根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程的根的变化轨迹，借助

18、MATLAB可以画出系统的根轨迹图，在命令行中输入如下命令：>>rlocus(sys2)%画未校正系统根轨迹图>>holdon>>title(未校正系统根轨迹图)未校正系统根轨迹图结果如下图所示：151060石10-15-10-505F?ealAxis(seconds-1)图5待校正系统的根轨迹图3.1.4 绘制待校正系统的单位阶跃响应曲线为了直观的看出待校正系统的动态性能，可以做出闭环系统在时域中对典型输入信号的响应曲线，一般以单位阶跃信号作为输入。在MATLAB命令窗口中输入如下命令：>>sys2_step=feedback(sys2,1)%

19、求未校正系统闭环传递函数武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书>>step(sys2_step)校正系统单位阶跃响应H(S)=1>>holdon>>title(未校正系统单位阶跃响应)结果如下图所示：君H-dE<50Time(seconds)未校正系统单位阶跃响应图6待校正系统的单位阶跃响应曲线从图中可以看出系统的单位阶跃响应呈发散震荡形式，系统严重不稳定3.1.5 绘制待校正系统的单位斜坡响应曲线在MATLAB命令窗口中输入如下命令：>>sys2_step=sys2/sA2%求未校正系统闭环传递函数>>impulse(sys2

20、_step)%校正系统单位斜坡响应>>holdon>>title(未校正系统单位阶跃响应)结果如下图所示：武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书图7待校正系统的单位斜坡响应曲线3.2滞后超前-网络相关参数的计算由前所述串联滞后-超前校正网络的传递函数为:(3.2-1)Gc(s)=(i+Tas)(i+y)(1+Tas)(1+Tbs)1）已校正系统开环截止频率的选取：由系统的开环幅频特性曲线可以得出斜率为-20dB/dec的渐近线与斜率为-40dB/dec的渐近线的交接频率为1rad/s斜率为-40dB/dec的渐进线与斜率为-60dB/dec的渐进线的交接频率为2rad/

21、s,为了使中频区占据一定的宽度并且使系统有较好的动态性能，通常取校正后的开环截止频率c''=121.41rad/s。2）校正网络传递函数中参数、Ta、Tb的计算：根据前述滞后-超前校正的一般步骤，取斜率从-20dB/dec变为-40dB/dec10武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率b,即取b=1rad/s,所以Tb=1/b=1(3.2-2)要保证已校正系统截止频率为所选的J=1.41rad/s,下列等式应成立：-20lg+L'(c'')+20lgTbc''=0(3.2-3)由待校正系统的开环幅频

22、特性曲线可知L'(c'')=L'(1.41)=14rad/s,所以上或等同于如下方程：-20lg+L'(1.41)+20lg(11.41)=0(3.2-4)可以解得7.08,带入到滞后-超前校正网络的传递函数中得：Gc(s)=(1+TaS)(1+s)(1+7.08Tas)(1+7.08s)(3.2-5)式中只有Ta一个未知参数，因此校正后系统的开环传递函数为:G'(s)Gc(s)G(s)10(Ts1)s(0.25s1)(7.08Ts1)(0.1412s1)(3.2-6)令s=j,带入上式得:G'(j)10(1jT)j(1j0.25)(1j

23、7.08T)(1j0.1412)(3.2-7)根据相角裕度的计算公式校正后系统在新的截止频率c''处的相角裕度C"Tarctan0.1412ccc为："18090arctanc"Tarctan0.25c"arctan7.08cc(3.2-8)令'=45°,c''=1.41rad/s可得如下方程：4518090arctan1.41Tarctan0.251.41arctan9.98Tarctan0.14121.41(3.2-9)这是一个较为复杂的方程，借助MATLAB我们可以求出上述方程的解，在MATLAB命

24、令窗口中键入如下命令：>>solve('0.0271+atan(1.41*x)-atan(10.0111*x)=0')得到Ta=22.411武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书于是串联滞后-超前校正网络的传递函数为:Gc(s)=(1+22.4s)(1+s)(1+158,592s)(1+0,1412s)(3.2-10)运用MATLAB绘出校正网络的伯德图，命令行如下:%校正装置num1=conv(22.4,1,1,1)den1=conv(158.5920,1,0.1412,1)sys1=tf(num1,den1)margin(sys1)%S正装置bode图title

25、('校正装置bode图')gridon校正装置bode图结果如下图所示：50-5-10-15-20-4510-410-310-210-1100101102103Frequency(rad/s)9045图9校正网络的伯德图3.3对已校正系统的验证及稳定性分析3.3.1 绘制已校正系统的伯德图将校正网络与待校正系统的串联后，利用MATLAB绘出已校正系统的伯德图，键入如下命令：12武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书%校正装置>>num1=conv(22.4,1,1,1)>>den1=conv(158.5920,1,0,1412,1)>>sys

26、1=tf(num1,den1)>>num2=10>>den2=conv(conv(1,0,1,1),0.25,1)>>sys2=tf(num2,den2)>>sys3=series(sys1,sys2)>>margin(sys3)%已校正系统bode图>>hdb3,r3,wx3,wc3=margin(sys3)>>sys3_step=feedback(sys3,1)%求校正后系统闭环传递函数>>sys3_bandwidth=bandwidth(sys3_step)%求校正后闭环系统带宽频率结果如下图

27、所示：BodeDiagram图10已校正系统的伯德图命令行中的结果为：hdb3=7.7284;r3=59.5279;wx3=5.2824;wc3=1.3194因此校正后系统穿越频率为5.2824rad/s相应的幅值裕度为7.7284dB,截止13武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书频率为1.3194rad/s相应的相角裕度为59.5279o大于45o满足要求。相应的闭环系统的带宽频率为2.3337rad/s为了便于对比现将待校正系统、校正网络、已校正系统的伯德图绘制在同一幅图中，在MATLAB中键入如下命令：>>margin(sys1)%5正装置bode图>>hold

28、on>>margin(sys2)%未校正系统bode图>>holdon>>margin(sys3)%已校正系统bode图>>gridon结果如下图所示：BodeDiagramooonuo1.OO092-云mp)olcfl奔llcl1O410210。w2Frequency(rad/s)-UO9Bn1-270Gm=17.SdS(atE.2Grad/s),Pm=59,5deg(at1.32rad/s)200图11混合图3.3.2 判断已校正系统的稳定性1)运用劳斯判据判断已校正系统的稳定性用MATLAB求出系统的闭环传递函数，命令如下:14武汉理工大学

29、自动控制原理课程设计说明书>>sys3_step=feedback(sys3,1)%求校正后系统闭环传递函数结果为:2(3.3.2-1)“、224s234s10(5) 54325.598s67.67s221.1s384s235s10所以已校正系统的闭环特征方程为：5432D'(s)5.598s67.67s221.1s384s235s10(3.3.2-2)列出劳斯表，如下表所示：ns第一列第二列第二列5s5.598221.12354s67.67384103s189.33229.2402s302.071001s222.97000s1000从劳斯表中可以看出第一列系数全部大于零，

30、所以闭环系统稳定。2)运用奈奎斯特稳定判据判定系统的稳定性在MATLAB中绘制校正后系统的开环幅相特性曲线，在命令行中键入如下命令：>>sys1=tf(num1,den1)>>sys2=tf(num2,den2)>>sys3=series(sys1,sys2)>>nyquist(sys3)>>title('已校正系统奈氏图')结果如下图所示：15已校正系统奈氏图opkAvra«paaml05050501-武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书2520-18-16-14-12-10-8-6-4-20RealAx

31、is15图12已校正系统的开环奈奎斯特曲线从已校正系统的开环传递函数可以看出其没有s右半平面的极点所以P=0从图中可以看出已校正系统开环幅相特性曲线包围(-1,j0)点零次，所以R=0曲幅角原理知闭环特征方程在s右半平面的零点数Z=P-N=0,所以闭环系统稳定。3.3.3绘制已校正系统的根轨迹图用MATLAB绘制出已校正系统的根轨迹图，命令如下:>>rlocus(sys3)%已校正系统根轨迹图>>title('已校正系统根轨迹图')结果如下图所示：16武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书SdnoceotsIXAVFanlaxamlr-O50505050

32、52!5召2211-已校正系统根轨迹图-25-20-15-10-50510RealAxis(seconds-1)图13已校正系统的根轨迹图3.3.4绘制已校正系统的单位阶跃响应曲线为了更加直观的得出校正后系统的动态性能，现做出校正后系统的单位阶跃响应曲线，在MATLAB中键入如下命令：>>sys3_step=feedback(sys3,1)%求校正后系统的闭环传递函数>>step(sys3_step)%已校正系统单位阶跃响应H(S)=1>>title('已校正系统单位阶跃响应)结果如下图所示：17武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书图14已校正系统

33、的单位阶跃响应曲线从图中可以看出上升时间0.981s,峰值时间2.35s,超调量22%,调节时间8.18s(=2%)。从图中可以看出校正后系统的单位阶跃响应收敛于稳态值1,系统稳定。3.3.5 绘制已校正系统的单位斜坡响应曲线在MATLAB中键入如下命令：>>sys3_step=sys3/sA2%求校正后系统的闭环传递函数>>step(sys3_step)%已校正系统单位阶跃响应H(S)=1>>Qtle('已校正系统单位阶跃响应,)结果如下图所示：18武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书5伯28.6/.21.3.64.2口1111oooO已校正系统

34、单位斜坡响应4060601001201401601802mTime(seconds)20图15已校正系统的单位斜坡响应曲线3.3.6 串联滞后-超前校正设计小结至此，全部校正工作已经完成，对比校正前后的系统可以发现：1）校正前系统不稳定，校正后系统变稳定；2）校正后系统的相角裕度从-15.01100提高到59.52790幅值未谷度从0.5dB提高到7.7284dB。其中相角裕度的增加意味着阻尼比增大，超调量减小，系统动态性能变好；3）校正后系统截止频率从2.7797rad/s下降至I1.3194rad/$对原本就稳定的系统来说截止频率的减小意味着调节时间增大，收敛过程变缓慢；4）校正后系统的带宽从3.8971rad/s减小到2.3337rad/s,这意味着系统抗高频噪声的能力增强，同时意味着调节时间变长。从前后对比中可以看出，所得出的结论与串联滞后-超前校正的特点一致，同时可以看出系统的各项性能指标之间存在着矛盾的，比如超调量和调节时间，因此在实际的操作过程中应综合考虑校正网络的特点和