数列求和考点与题型归纳

1、数列求和考点与题型归纳、基础知识1.公式法(1)等差数列an的前n项和Sn=nai+annn1d推导方法：倒序相加法.(2)等比数列an的前n项和Sn=na1,q=1,a11qn-，qw1.1-q”推导方法：乘公比，错位相减法.一些常见的数列的前n项和:nn+11+2+3+n=2；2+4+6+2n=n(n+1);1+3+5+2n-1=n2.2.几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和.(3)错位相

2、减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.考点一分组转化法求和n2+n典例已知数列an的刖n项和Sn=-2-,neN.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.解(1)当n=1时，a=S1=1;n2+nn-12+n-1当n>2时，an=SnSn1=-2-2=n.又ai=1也满足an=n,故数列an的通项公式为an=n.(2)由知an=

3、n,故bn=2n+(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+-+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,2122n则A=22n+1-2,12B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n2.解题技法1 .分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和.2 .分组转化法求和的常见类型题组训练1c1,已知数列an的通项公式是an=2n-2n,则其刖20项和为()A.

4、379+*B.399+产C.419+220D.439+我解析：选C令数歹Uan的前n项和为Sn,则S20=ai+a2+a3+a20=2(1+2+3+1.1.1.111+20)2+22+23+220=420122。=419+220.an+2,n是奇数，2. (2019资阳诊断)已知数列an中，a=a2=1,an+2=则数列an2an,n是偶数，的前20项和为()A.1121B,1122C.1123D,1124解析：选C由题意可知，数列a2n是首项为1,公比为2的等比数列，数列a2n1是1X1-21010X9八首项为1,公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为+10X1+二一X21-22=11

5、23.选C.考点二裂项相消法求和1考法(一)形如an=1型nn+k典例(2019南宁摸底联考)已知等差数列an满足a3=7,as+a7=26.(1)求等差数列an的通项公式；(2)设cn=,nCN*,求数列Cn的前n项和Tn.anan+1解(1)设等差数列的公差为d,a1+2d=7,a1=3,则由题意可得解得2a1+10d=26,d=2.所以an=3+2(n1)=2n+1.一11(2)因为Cn=,anan+12n+12n+3所以Cn=22n+1-2n+3'1111111111n所以Tn=-0-7+7-：；+=-q-=以以ln235572n+12n+3232n+36n+9.、一一,1一，

6、考法(二)形如an=-j=一-型Rn+k+#n1*典例已知函数f(x)=x"的图象过点(4,2),令an=fn+1+fn,nCN.记数列Jan的前n项和为Sn,则S2019=()A."0181B.7T0191C.120201D.，2020+1一一,一，1一1解析由f(4)=2可得4"=2,解得a=1则f(x)=x2n-12n+122n12n+1'.an=/fn+1+fnqn+1+2S2019=a+a2+a3+a2019=(平币)+b/3-V2)+(V4-V3)+(2019-W018)+(W02072019)=42020-1.答案C解题技法1 .用裂项法求和

7、的裂项原则及消项规律2 .常见的拆项公式(1)-=-7；2n(4)2n12n+11二21_n+11.'，nn+1nn+1题组训练1.在等差数列an中，a3+a5+a7=6,a11=8,则数列an+3an+4的前n项和为（）nB.-n+2n+1A.；n+22n*解析：选C因为a3+a5+a7=6,所以3a5=6,a5=2,又aii=8,aiia5所以等差数列an的公差d=1,11-5所以an=a5+(n5)d=n3,1111所以=",an+3an+4nn+1nn+1一，,一.1111111nC.2.各项均为正数的等比数列an中，a=8,且2a1,a3,3a2成等差数列.(1)求

8、数列an的通项公式；.一1(2)若数列bn满足bn=-,求bn的前n项和S.niog2an解：(1)设等比数列an的公比为q(q>0).-2a1,a3,3a2成等差数列,2a3=2a1+3a2,即2a1q2=2a+3aq,12q2-3q-2=0,解得q=2或q=(舍去)，an=8X2n-1=2n+2.11111由可得bn=noh=ttt=2丁储,Sn=b+b2+b3+bn111111+一一一+一一-+132435nn+21+22n+11n+2因此数列an+3an+4的刖n项和为12+23+彳_：7=1工7=故选3，42n+1n+232n+342n+1n+2考点三错位相减法典例(2017山

9、东高考)已知an是各项均为正数的等比数列，且ai+a2=6,aia2=a3.(1)求数列an的通项公式；bn，(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列云的刖n项和Tn.解(1)设an的公比为q,由题意知：a(1+q)=6,a2q=a1q2.又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知，2n+1b+b2n+1S2n+1=2=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1W0,所以bn=2n+1.人bn2n+12n12n+12n，令Cn=a；,则5=丁,3572n12n12n+2n+1，因此TnC1+C2+Cn2+

10、三+23+，+13.57,又2Tn22+23+24+两式相减得131.1,上，2n+131012n+152n+52Tn=2+2+22+Q=2+-2-”=2-户7,2n+5所以Tn=5-2-变透练清1 .变结论若本例中an,bn不变，求数列anbn的前n项和Tn.解：由本例解析知an=2n,bn=2n+1,故Tn=3X21+5X22+7X23+(2n+1)X2n,2Tn=3X22+5X23+7X24+(2n+1)X2n+1,上述两式相减，得，一Tn=3X2+2X22+2X23+2X2n(2n+1)2n+181-2n1d=6+(2n+1)2n+11-2=(1-2n)2n+1-2得Tn=(2n-1)

11、X2n+1+2.2.已知an为等差数列，前n项和为Sn(nCN*),bn是首项为2的等比数列，且公比大于。，b2+b3=12,b3=a42a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(nCN*).解：(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q?+q6=0.因为q>0,解得q=2,所以bn=2n.由b3=a42a1，可得3da1=8.由Sn=11b4,可得a+5d=16.联立，解得a1=1,d=3,由此可得an=3n2.所以an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公

12、式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n2,有Tn=4X2+10X22+16X23+(6n-2)X2n,2Tn=4X22+10X23+16X24+(6n-8)X2n+(6n-2)X2n+1,上述两式相减，得-Tn=4X2+6X22+6X23+6X2n(6n2)X2n+112X1-2n=-4-(6n-2)X2n+112=-(3n4)2n+216,得Tn=(3n4)2n+2+16.所以数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n+2+16.易误提醒(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n1项和当作n项和.(3)在应

13、用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q=1和qwi两种情况求解.课时跟检测11.数列an的通项公式为an=若该数列的前k项之和等于9,则卜=()#十中1B.81A.80C.79D.82解析：选Ban=1,=/n-Jn-1，故Sn=5,令Sk=，k=9,解得k=81,茹十/n1故选B.2.若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a+a2+&。=()A.15B.12C. 12D.15解析：选Aa+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=1+47+1013+1619+2225+28=5X3=15,故选A.一一一一一一.1,3.已知an是首项为1的

14、等比数列，Sn是an的前n项和，且9Sb=S6,则数列的an前5项和为()喋或5A.185或531C.1615D. 8解析：选C设an的公比为q,显然qwl,由题意得91q31-q6,所以1+q3=9,得q=2,所以1-是首项为1,公比为2的等比数列，前an21-5一2315项和为-=16.1124.在等差数列an中，a4=5,a7=11.设bn=(1)nan,则数列bn的前100项之和S100=()A.-200B.100C.200D.100a1+3d=5,a1=1,解析：选D设数列an的公差为d,由题意可得？an=a1+6d=11d=22n-3?bn=(-1)n(2n-3)?Sio0=(a+

15、a2)+(a3+a4)+(a99+a00)=50X2=100,故选D.5.已知Tn为数列Z21的前n项和，若m0+1013恒成立，则整数m的最小值为1026B.1025C.1024D.1023解析：选C1-Tn=n+12n,T10+1013=11/+1013=1024尹,又m>T10+1013,.整数m的最小值为1024.一一一1dd16.已知数列：2,2，3g,n+N，则其前n项和关于n的表达式为解析：设所求的前n项和为Sn,则nn+1Sn=(1+2+3+-+n)+2+4+了=-21±21一2门+1.2nn+1125+1.心走nn11答案：2齐+1k=iSk7.（2017全国

16、卷n）等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,&=10,则解析：设等差数列an的首项为ai,公差为d,ai+2d=3,ai=1,依题意有解得4a1+6d=10,d=1,nn+1所以Sn=2，1_21Snnn+12nn1因此=2Skk=1111111。+。+r>一223nn+12nn+1答案:2nn+18.已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nCN),则S2018=解析：:数列an满足a=1,an+an=2n,n=1时，a2=2,n>2时，anan-1=2n1,an+1由得=2,an1数列an的奇数项、偶数项分别成等比数列，1_210092121009.S2018=

17、+=3芯0093.1-21-2答案:3I00939. （2019成都第一次诊断性检测）已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=3,S4=16,nCN*.（1）求数列an的通项公式；1（2）设bn=,求数列bn的前n项和Tn.anan+1解：（1）设数列an的公差为d,a2=3,S4=16,.a1+d=3,4a1+6d=16,解得a1=1,d=2."an=2n1.(2)由题意知，bn=-=5屋一i一屋二i，2n-12n+122n-12n+1Tn=b1+b2+bn1111=23+3-5+2n-12n+1=22n+1n=z;.2n+110. (2018南昌摸底调研)已知数列an的前n项和S

18、n=2n+1-2,记bn=anSn(nCN*).(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.解：(1产二？112,.Jn=1时,a1=S1=21+1-2=2;当n>2时，an=Sn-Sn1=2n+12n=2n.又a1=2=21,，an=2n.(2)由(1)知,bn=anSn=2-n2n+1,414n.Tn=b1+b2+b3+bn=2(41+42+43+4n)(22+23+2n+1)=2X1-4412n21-23%+12n+2+4.3B级1. (2019潍坊统一考试)若数列an的前n项和Sn满足S=2anX>0,nCN*).证明数列an为等比数列，并求an；(2)若入=4,bn=an，n为前的'(nCN*),求数列bn的前2n项和T2n.log2an,n为偶数解：(1)-Sn=2an当n=1时，得a1=%当n>2时，Sn1=2an1%.SnSn-1=2an2an-1,即an=2an2an-1,an=2an-1,数列an是以入为首项，2为公比的等比数列,-an=入nr1,