数学建模章绍辉版作业

1、第四章作业第二题：针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml的为醉酒驾车。下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。1、问题假设大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设（1）吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为也;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心2室的速率（吸收室在单位时间内

2、酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为k"（2）中心室的容积V保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0;在任意时刻,酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为k2；（3）在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设匕和心都是常量，与饮酒量无关。2、符号说明酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升；t-时刻（小时）；x（t）在时刻t吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；口。两瓶酒的酒精量（毫克）；c（t）在时亥【Jt吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；C2(

3、t)在时刻t中心室(血液和体液)的酒精含量(毫克/百毫升)；V中心室的容积(百毫升)；ki酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数(假设其为常数2.0079);k2酒精从中心室向体外排除的速率系数(假设其为常数0.1855);k3在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体积，即3D0/2V；而在较长时间内(2小时内)喝下三瓶酒的假设下就特指3D0/4V.3、模型建立和求解(1)酒是在很短时间内喝的：记喝酒时刻为t0(小时)，设c(0)0,可用C2(t)ek2tek1t来计算血液中的k1k2酒精含量，此时心k2为假设中所示的常数，而k3*“155.79.下面用MATLAB&

4、#174;序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero函数和fminbnd函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。MATLAB?序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;C=(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);f=(t)c(t)-20;g=(t)c(t)-80;h=(t)-c(t);t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12),t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12)t3,c3=fminbnd(h,0,24)fplot(c

5、,0,20,'k')holdonplot(0,20,20,20,'k',0,20,80,80,'k')holdoffxlabel('时刻t(小时)，从开始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml),)title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程')gtext('(0.06891,20)')gtext('(11.589,20)')gtext('(0.38052,80)')gtext('(4.1125,80)

6、9;)gtext('(1.307,122.25)')运行结果如下：t1=0.0689111.589t2=0.380524.1125t3=1.307c3=-122.25所绘图形如下：结果分析：所以，当t0.06891,0.38052)(4.1125,11.589时，20c(t)80,属饮酒驾车。当t0.38052,4.1125时，属醉酒驾驶；当t1.307时，血液中的酒精含量最高为122.25毫克/百毫升。(2)酒是在2小时内喝的：可假设三瓶啤酒是在2小时内匀速喝的.同样记喝酒时刻为t0(小时)，设c(0)0,则吸收室的酒精量为满足分段的初值问题解得于是中心室内的酒精含量C2（t

7、）满足分段的初值问题解得其中因为k13D0k3于kk3k1k2卜此k55k2,k7k3(e2k11)k8k4e2k1k§e2k2k6,k9k7k12.0079,k20.1855以及D0/V103.86,所以k377.896,k442.743,k5462.66,k74243.1,%101.43,k92328.3,k8e2k2k9e2(k2k1)%419.92k10207.82F面用MATLAB®序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero函数和fminbnd函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻MATLAB?序如下：k1=2.0079;k

8、2=0.1855;k3=155.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c1=(t)(k4.*exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+.(k10.*exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t).*(t>2);f1=(t)c1(t)-20;g1=(t)c1(t)-80;h1=(t)-c1(t);t1(1)=fzero(f1,1);t1(2)=fzero(f1,12),t2(1)=fzero(g1,1);t2(2)=fzero(g1,12),t3

9、,c3=fminbnd(h1,0,20)fplot(c1,0,20,'k')holdonplot(0,20,20,20,'k',0,20,80,80,'k')holdoffxlabel('时刻t(小时)，从开始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml),)title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程')gtext('(0.62321,20)')gtext('(12.62,20)')gtext('(1.6366,80)'

10、)gtext('(5.1412,80)')gtext('(2.6328,115.74)')运行结果如下：t1=0.6232112.62t2=1.63665.1412t3=2.6328c3=-115.74所绘图形如下：结果分析：所以，当t0.62321,1.6366)(5.1412,12.62时，20c(t)80,属饮酒驾车。当t1.6366,5.1412时，属醉酒驾驶；当t2.6328时，血液中的酒精含量最高，为115.74毫克/百毫升.下面用图形比较两种不同假设下血液中酒精含量的变化过程。MATLAB?序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=15

11、5.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c=(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);c1=(t)(k4.*exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+.(k10.*exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t).*(t>2);plot(0:0.01:20,c(0:0.01:20),'-k',0:0.01:20,c1(0:0.01:20),'k',2,c1(2)

12、,'.k')xlabel('时刻t(小时)，从开始喝酒算起)ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml)')title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程')legend('很短时间内喝三瓶啤酒,'两小时内匀速喝下三瓶啤酒,'函数的分段点')所绘图形如下：第四题：研究将鹿群放入草场后，草和鹿两个种群的相互作用，草的生长服从Logistic规律，年固有增长率0.8,最大密度为3000个密度单位，在草最茂盛时，每只鹿每年吃掉1.6个密度单位的草，若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9,而在

13、草最茂盛的时候草对鹿的死亡的补偿率为1.5。1、建立差分方程组模型，比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的两种草场的情况下，草和鹿两个种群的数量演变过程。(1)符号说明：xk第k年草场的密度单位yk第k年草场上鹿的数量r草场上草的年固有增长率a由于捕食导致的草的密度单位减少的速度大小d如果没有草，鹿群的年死亡率b草对鹿群死亡的补偿率N草的最大密度单位(2)模型的建立与求解：基于以上假设，由于草的生长服从Logistic模型，建立差分方程组模型如下所示：令XkiXkx,ykiyky,与上述方程组联立得到平衡点为Po(0,0)>P(N,0)、dNrN(bd)P2(1)bab以下

14、用MATLAB；现差分方程组模型。MATLABS序如下：n=20;r=0.8;a=1.6;b=1.5;d=0.9;N=3000;t=1:n+1;x1(1)=1000;y1(1)=100;fork=1:nx1(k+1)=x1(k)+r*x1(k)*(1-x1(k)/N)-a*x1(k)*y1(k)/Ny1(k+1)=y1(k)-d*y1(k)+b*x1(k)*y1(k)/Nendsubplot(2,2,1),plot(t,x1,'k”t,y1,'kv'),axis(-1,21,0,3000),xlabel('第k年'),ylabel('数量'

15、;),gtext('草密度'),gtext('鹿数量'),title(1草和鹿随时间的演变,);subplot(2,2,2),plot(x1,y1,'ko'),axis(1000,3000,0,1000),xlabel('草密度'),ylabel('鹿数量'),title('相平面图');x2(1)=3000;y2(1)=100;fork=1:nx2(k+1)=x2(k)+r*x2(k)*(1-x2(k)/N)-a*x2(k)*y2(k)/Ny2(k+1)=y2(k)-d*y2(k)+b*x2(k)

16、*y2(k)/Nendsubplot(2,2,3),plot(t,x2,'kA',t,y2,'kv'),axis(-1,21,0,3000),xlabel('第k年'),ylabel('数量'),gtext('草密度'),gtext('鹿数量'),title(1草和鹿随时间的演变,);subplot(2,2,4),plot(x2,y2,'ko'),axis(1000,3000,0,1000),xlabel('草密度'),ylabel('鹿数量'),ti

17、tle('相平面图');运行结果如下：x1=Columns1through8100014802032.52502.32759.32824.52787.32692.5Columns9through162548.52355.92126.11889.91692.91574.915501604.8Columns17through211708.61823.11912.71955.11946.9y1=Columns1through81006050.456.2676.015112.48170.09254.06Columns9through16367.44504.94645.29750.517

18、84.23742.22658.68576.34Columns17through21520.09496.32502.04530.32571.45x2=Columns1through8300028402718.825702378.221491910.41707.1Columns9through161580.61547.61596.616981813.619071954.21950.1Columns17through211905.91841.91779.71736.41720.3y2=Columns1through8100160243.2354.93491.58633.7744.29785.37Co

19、lumns9through16748.9666.76582.61523.37496.69500.06526.81567.43Columns17through21610.02642.33655.79649.15628.5所绘图像如下：由图像中可以看出P2(dN,rN(bd)为渐进稳定的平衡点。bab2、建立常微分方程组模型，重做以上问题。记草和鹿在第t年的数量分别记为xx(t)和yy(t),其余的符号假设与(1)相同，建立常微分方程组模型为：令rx(1)axy0且dykbxy0,得到常微分方程组的临界点为Po(0,0)、Pi(N,0)、NNNP2(dN,rN(bd),以下运用数值解，方向场和特征

20、线等技巧，用matlab绘制常微分方程组bab的解曲线图，并加以分析。为了消去方程中的参数t,将两式相除，得到：dyNdybxydxrx(Nx)axy当将100头鹿放入密度为1000与密度为3000的草场中，初始值分别为x(0)1000,y(0)100与x(0)3000,y(0)100.利用matlab实现上述过程的源程序与运行结果如下:函数m文件：functiondx=fun(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*0.8*(1-x(1)/3000)-1.6*x(1)*x(2)/3000;dx(2)=-0.9*x(2)+1.5*x(1)*x(2)/3000;主程序：t1,x

21、1=ode45('fun',0:20,1000100);t1,x1subplot(2,2,1)plot(t1,x1(:,1),'.-k',t1,x1(:,2),'.-k'),gridonaxis(02003000)title('草和鹿随时的演变(x_0=1000)')gtext('草密度'),gtext('鹿数量')xlabel('第k年'),ylabel('数量')subplot(2,2,2)plot(x1(:,1),x1(:,2),'.-k'),g

22、ridonaxis(100030000800)title('相平面图(x_0=1000)')xlabel('草密度'),ylabel('鹿数量')t2,x2=ode45('fun',0:20,3000100);t2,x2subplot(2,2,3)plot(t2,x2(:,1),'.-k',t2,x2(:,2),'.-k'),gridonaxis(02003000)title（'草和鹿随时的演变（x_0=3000）'）gtext('草密度'),gtext('鹿数量')xlabel('第k年'),ylabel('数量')subplot(2,2,4)plot(x2(:,1),x2(:,2),'.-k'),gridonaxis(10003000