数列的十种典型递推式

1、创作时间：二零二一年六月三十日1十年夜递推数列求通项：之答禄夫天创作创作时间：二零二一年六月三十日等差数列：an=an-i+d例1:已知：数列an中ai=1,an=an-i+3,(n2).求an的通项公式.答an=3n-2.等比数列：an=an-iq例2：已知：数列an中ai=1,an=2an-i,(n2).求an的通项公式.答an=2n1.似等差数列：an=an-i+f(n)用叠加法.例3:已知：数列an中ai=1,an=an-i+3n+1,(n2).求an的通项公式.2L-答an=3n5n6.2线性数列：an=pan-i+q构造等比数列.例4：已知：数列an中ai=3,an=2an-i-1

2、,(n2).求an的通项公式.答an=2n1.似等比数列：an=an-if(n)叠乘法.创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日例5:已知：数列an中ai=3,an=nan-i,(n2).求an的通项公式.答an=3n!.(6)三项递推：an=pan-i+qan-2设an+i-xan=y(an-xan-i),构造一个或二个等比数列再通过等差数列或解方程组求出.例6:已知：数列an中ai=i,a2=3,an=3an-i-2an-2,(nA3).求an的通项公式.答an=2n-i.例7：已知：数列an中ai=i,a2=3,an=4an-i-4an-2,(n3).求an的通项公式

3、.答an=(n+1)2n-2.例8:已知：数列an中ai=1,a2=4,an=4an-i-4an-2,(n3).求an的通项公式.答an=n2n-1.例9:已知：数歹！Jan中ai=2,a2=3,an=5an-i-6an-2,(nA3).求an的通项公式.答an=3x2n-1-3n-1.例10：已知：数列an中ai=a,a2=b,an=an-i-an-2,(nA3).求an的通项公式.答周期为6.例.11(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)福建卷(新课程)(22)已知数列满足%二L%二3逐I=弘1a.i-2%创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日(I)证明：

4、数列，+4)是等比数列；(II)求数列的通项公式；(m)若数列间满足次印士举“二(4+内国五证明是等差数列.似线性数列：an+i=pan+f(n),酿成旦娱之孚，即化为(3)型.ppp特别地an1panbnc型，还可以令anix(n1)yp(anxny),待定系数x,y,构造等比数列，要比通法简单.an1panqnb型，还可以令anixqn1yp(anxqny),待定系数x,y,构造等比数列，要比通法简单.例12：已知：数列an中ai=5,an=3an-i+3n-1,(n2).求an的通项公式.答an(n工)3n-22指数数列：an+1=pank,取对数,化为(4)型.例13:已知：数列an中

5、ai=4,an=n一3an-i3,(n4(n1)3n12).求an的通项公式.答an=2n2.创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日（9）分式递推:danman1,banc原理：设anirsr),先待定s,r的值，再取banc倒数.得：_JCb,令bni，化an1rs(anr)sanir为：bn+1=abn+C型，下略.求法：在上述原理中，称r为anidanm的特征banc根.特征根的求法除按上述方法逐步进行外，也可令x皿5，解关于x的方程，得出方程的根xi,X2即bxc为特征根ri,2.至此法（i）令anixis（anxi）,再根据原式中分子banc的an的系数待定出s

6、,既可求解.法（五）令bn,得an=xi,将该式代入anxibn已知等式即得bn的递推关系.先求出bn,再求an.注：该法更容易用.例i4（2006年奥林匹克竞赛山东省赛区预选赛i9题，即最后一*题）创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日已知：数列an满足an+ian+3an+i+an+4=0,(n2).(1)当ai=-1时，求an的通项公式.(2)当ai=-2.03时，求an的最小值和最年夜值(3)当az.是an中的最小项时,求ai的取值范围.答(1)an=-2+L(2)a34最小为-5;a35最年夜为-ni40ii40i3.(3)a220052006例i5在数列an中

7、，ai=4,且an+i=3an:,求an.答：an5ni2n5ni2n例i6已知曲线C：xyi,过C上一点An(xn,yn)作斜率kn为的直线交曲线C于另一点Xn2Ai(Xni,yni),点列A(n32,3,)的横坐标构成数列Xn其中XiU.7(I)求Xn与Xni的关系式；(n)求证：1是等比数列；Xn23(田)求证：23n*(i)X(i)X2(i)X3(i)Xni.(nN,ni).创作时间：二零二一年六月三十日创作时间:谜底:)Xn12Xn11Xn123(m)由(n)知an(2)n(i)当n为偶数时，1尸41(1)nXn1Qn112-332n122n12n1n13222n11)xi(1)2X

8、231)X3n1)Xn322324(ii)当综上所述:1)X1(1)2X2(1)3X3(n1)Xn1.(n1).(10)f(an,Sn)=0构造f(an-1,Sn-1)=0,两式相减.(11)两个数列的递推.若数列an,bn满足anka1bnmen1k2bn1m?bn1(n2).构造an+Xbn=y(an-1+Xbn-1)创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日bn14bni求解.例16已知：数列an,bn满足an2an1bn3ani(n2)且ai=2,b1=3，求an,bn的通项公式.答：an75n3,bn3(5n1).44421.anTan1二bn1例17已知：数列an

9、,bn满足33bn二an1二bn133(nA2)且a=10,b1=8，求an,bn的通项公式.答：1 .1an=9+?,bn=9-3n13n1(12)周期数列例18已知：数列an中a=a,a2=b,an=an-1-an-2,(n3).求an的通项公式.答：a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b,a7=a,a8=b,故an是周期为6的数列.例19已知：数列an中a1=a,an=%石，(n2).,3an11求an的通项公式.答：a1a,a2自3aa故an是周期为33a13a1的数列.注：特别地，a1=0时，常为考题.创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日例20已知：数列an中ai=1,a2).求an的通项公式答：ai=1,a?2.3,a332,a41,a2.3,a62/3,a71.故an是周期为6的数列.例21已知：数列an中a1=a,an=a1,(n2).求an11工41一a,a5a.故an是周期为a1aan的通项公式.答：aa,a2a1,a3a14的数列.2数列求和中经常使用的拆裂项方法(1)若an成等差数列，则(2)1anan1).an11anan1an2工(_2danan1an1an2).，(.a，b)(3)Cabm=c-cm+