X08-4,5二阶微分方程ppt课件

1、8-48-4二阶线性常系数微分方程的解解构二阶线性常系数微分方程的解解构引入引入例例: :设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初如果使物体具有一个初始速度始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振动附近作上下振动.试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢恢复复力力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若若受受到到铅铅直直干干扰扰力力pthx

2、kdtdxndtxdsin2222 强迫振动的方程强迫振动的方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程的一般形式阶线性微分方程的一般形式).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 注:1) 非齐次方程通解 = 对应齐次方程通解 + 非齐次方程一特解 2常数变易法： 3) 公式: dxxPdxxPeCdxexQy)()()().()(xQyxPdxdy 1.1.二阶齐次方程的基本解组二阶

3、齐次方程的基本解组: :问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy定定义义：设设nyyy,21为为定定义义在在区区间间I内内的的n个个函函数数如如果果存存在在n个个不不全全为为零零的的常常数数，使使得得当当x在在该该区区间间内内有有恒恒等等式式成成立立 02211 nnykykyk，那那么么称称这这n个个函函数数在在区区间间I内内线线性性相相关关否否则则称称线线性性无无关关例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x特别地特别地: 若若在在 I 上上有有常常数数， )()(21x

4、yxy则则函函数数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线线性性无无关关.例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 定理定理 ： 当当y1，y2为非齐次线性方程解时，为非齐次线性方程解时，y1-y2为齐次线性方程解。为齐次线性方程解。( )( )( )yP x yQ x yf x( )( )0yP x yQ x y2.2.二阶非齐次线性方程的一般解二阶非齐次线性方程的一般解: :定理定理 设设*y是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 )2()()()(xfyxQyxPy 的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)

5、对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yYy 是二阶非齐次线性是二阶非齐次线性微分方程微分方程(2)(2)的通解的通解. . 定理定理 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . 解的叠加原理解的叠加原理复数解的叠加原理复数解的叠加原理8-58-5二阶常系数线性微分方程的

6、解法二阶常系数线性微分方程的解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式1、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 有两个不相等的实根有两个不相等的实

7、根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为 有一对共轭复根有一对共轭复根

8、,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为230.yyy求方程的通解解解特征方程为特征方程为2230 ,rr解得解得121,3 ,rr 故所求通解为故所求通解为例例1 1312;xxyC eC e.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例2 2.052的的通通解解求求方方

9、程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3方方程程。的的一一个个特特解解，求求此此微微分分微微分分方方程程是是二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次：已已知知例例txsin4 解：解：ir 21，特特征征根根012 r特特征征方方程程为为：0 xx齐次方程为齐次方程为的通解。的通解。求微分方程求微分方程例例05 ayy02 ar解解：0, 0)1(21 rraxyy 21, 1xccy21 iara 21, 0)2(，xayxaysin,cos21 ara 21, 0)3(，xaxae

10、cecy 11xacxacysincos21 n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程: 特征根特征根 通解中的对应项：通解中的对应项： 单实根：单实根： Cex 共轭单复根：共轭单复根：i ex(C1cosx+C2sinx) k重实根：重实根： (C1+C2x+Ckxk-1)exk 重 共 轭 复 根重 共 轭 复 根 i e x ( ( C 1 + C 2 x + C k x k -1)cosx+(D1+D2x+Dkxk-1)sinx)例例 1 求线性常系数齐次方程求线性常系数齐次方程 y”+y=0通解通解 例例2：已知线性常系数齐次方程特征根如下：已知线性常系数齐次方程特征根如下试写出相应

11、的阶数最低微分方程试写出相应的阶数最低微分方程（1） r1=-1,r2,3=i (2) r1,2=2特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例4 4小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1写出相应的特征方程写出相应的特征方程;（2求出特征根求出特征根; （3） 02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情

12、情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx , 00,xtD时在平衡位置直径为设水的密度为x轴向下为正。则按题意浮筒的运动是无阻尼自由振动22222222222222216,44,),)2(,4,)2(TDgmTmDgTxxmDgdtxdxDgdtxdm由此可得公斤浮筒的质量是公斤195),(19514. 3162)5 . 0(8 . 9100022例例5：设圆柱形浮筒，直径为：设圆柱形浮筒，直径为0.5m铅直放在水中，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮

13、筒在水中上下振动的当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为周期为2S求浮筒的质量求浮筒的质量解：解：2.2.欧拉方程解法欧拉方程解法 x2y”+axy+by=0 (a,bx2y”+axy+by=0 (a,b为常数）为常数） x=et t=lnxx=et t=lnxdtdyxdxdtdtdydxdy1dxdtdtydxdtdyxdtdyxdxddxyd2222211)1(0) 1(22bydtdyadtyd)(122222dtdydtydxdxyd3.二阶线性常系数非齐次微分方程的解法二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 非齐次常系数方程非齐次常系数方程 y”+py+qy =f(x) 非齐

14、次方程通解非齐次方程通解 = 对应齐次方程通解对应齐次方程通解 + 非齐次方程特解非齐次方程特解y*。1 1常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy 设非齐次方程解为设非齐次方程解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (1)()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (2) )()()(0)()(221

15、12211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系系数数行行列列式式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy例1 求解 y”+y=1/cosx解：特征方程r2+1=0 r=i, 基本解组y1=cosx, y2= sinx按照常数变易法 (x) y1+u2 (x) y2=0 u1 (x) y1+u2 (x) y2= f(x) 1u (x)

16、cosx+u2 (x)sinx=0 -u1 (x) sinx+u2 (x)co sx =1/cosx 1u解得 u1 (x)= -sinx/cosx u2 (x)=1解得 u1 (x)= lncosx +C1 u2 (x)=x+C2方程通解：y=C1 cosx+C2 sinx+ lncosx cosx+x sinx例 2 知 (x-1) y”-xy+y=0通解y=C1x+C2ex求非齐次方程(x-1) y”-xy+y=（x-1)2通解。解： y”-x y /(x-1) +y/(x-1)=（x-1)按照常数变易法 (x) y1+u2 (x) y2=0 u1 (x) y1+u2 (x) y2=f(

17、x) 1u (x)x+u2 (x)ex=0 u1 (x) +u2 (x)ex =x-1 1u解得 u1 (x)= -1 u2 (x)=xe-x解得 u1 (x)= -x +C1 u2 (x)=-xe-x-x+C2方程通解：y=C1 x+C2 ex -x2+(-xe-x-x)ex若已知二阶齐次方程的一个特解利用常数变易法求齐次方程的通解。例3已知x+2y”-(2x+5)y +2y=0一个特解y1=e2x,求通解。解：求另一个与y1无关的解y2, y2/y1 =u(x) 不是常数。 y2=u(x)e2x 代入方程得： u”/u= -2+1/(x+2) 两边积分： u(x)=(x+2)e -2x (

18、取C=0) u(x)= -1/4 (2x+5)e - 2x y2=u(x)e2x= -1/4 (2x+5)通解： y= C1e2x C2 /4 (2x+5) 待定系数法待定系数法 1 . f(x)= Pm(x) (Pm(x)为为m次的多项式次的多项式) 设特解为设特解为y*=Q(x) Qx与与Pm(x)同次多项式代入方程待定系数同次多项式代入方程待定系数)(xfqyypy 22327yyyx 例：求微分方程的一个解。2yaxbxc2yaxb2ya2222(2)3()27aaxbaxbxcx 9,12,14abc291214yxx)(xfqyypy )()()(10mmxmxxaxaaexPex

19、f 2 2、特解形式特解形式)()(10nnxnxxbxbbexQe 代入原方程，并消去代入原方程，并消去ex，有，有)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQmnnn 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQmn 可可设设;)(*xmexQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQmn 可可设设综上讨论综上讨论, )(*xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k.)(*2xmexQxy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp ,

20、02 p ),()(xxQxQmn 可可设设;)(*xmexxQy )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQmnnn 的的通通解解。：求求微微分分方方程程例例21xyy 02 rr解：解：1, 0 rrxeccy 21)(2cbxaxxy cbxaxy 232baxy26 222326xcbxaxbax 2, 1,31 cbaxeccxxxy 2123231方方程程的的通通解解为为例 2 求微分方程的一般解（1y”-2y+y=(x+1)ex 解：=1是重特征根y*=x2(B0+B1x) ex（ y*）=(2B0 x+3B1x2) ex+(B0 x2+3B1x3) ex（ y*）”=(

21、2B0+6B1x) ex+2(2B0 x+3B1x2) ex +(B0 x2+B1x3) ex代入： 2B0+6B1x = x+1 B0=1/2 B1=1/6一个特解： y*=x2(1/2+x/6) ex 微分方程的一般解：Y=(C1+C2x) ex+ x2(1/2+x/6) ex.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于于是是原方程通解为原方

22、程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例3 33423xyyye例 ：求微分方程的通解。3, 121 rr解：解：xxececy321 xAxey3 xxe341 xxxxeececy332141 例5 设出下列微分方程的特解形式（1y”-2y-3y=(x+1)e-x =-1是特征根y*=x(ax+b) e-x (2) y”-2y-3y=(x2+1)ex =1不是特征根y*=(ax2+bx+c) ex(3) y”-2y-3y=(x2+1)e - x + e3x =-1是特征单根y1*=x(ax2+bx+c) e x=3是特征单根y1*=xd e 3x解解设设 的特解为的特解为2

23、644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 例例6写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 练习练习设设)(x 函函数数连续连续, ,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. . )()()()(0 xxdttxxexxx )()(xexx xexx )()( 012 rir xcxcysincos

24、21 xAey xe21 1)0(, 1)0( )sin(cos21)(xexxx 22123,2xxxxxxxxyxeeyxeyxeeeypyqyexe例：已知是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个特解，求此微分方程。,31xeyy 解解：,221xeyy 11 r特特征征根根22 r特特征征根根0)2)(1( rr特特征征方方程程为为：022 rr02 yyy齐齐次次方方程程为为xxxeeyyy22 微微分分方方程程为为分分方方程程。求求该该方方程程的的通通解解并并求求微微特特解解为为的的一一个个分分方方程程：设设二二阶阶常常系系数数线线性性微微例例,)1(82xxxexeyreyyy xx

25、xxeeey 2解：分析解：分析齐次方程的解齐次方程的解xe2不是齐次方程的解不是齐次方程的解xxe是是齐齐次次方方程程的的另另一一个个解解xe2特特征征根根为为1特征根为特征根为0232 rr特征方程为特征方程为023 yyy即即微微分分方方程程为为为为非非齐齐次次的的一一个个特特解解又又xxey 1 r代代入入方方程程得得是是非非齐齐次次方方程程的的一一特特解解xxxxeececy 221通通解解：先求辅助方程先求辅助方程()( )ixnypyqyP x e那么那么 Rey*是方程是方程的的特特解解xexPqyypyxl cos)(那么那么 Imy*是方程是方程的的特特解解xexPqyypyxl sin)(3、类型、类型( )cosxnypyqyP x ex( )sinxnypyqyP x exy”+py+qy = e x P n(x)cosx +i e x Pn(x)sin x = e x P n(x)(cos x +i sin x ) 欧拉公式：欧拉公式： ei x=cos x+i sin x 转化为第转化为第2型型 = + i 设特解：设特解：y*=xkQm(x) ex 不是特征根不是特征根K=0、是特征根、是特征根,K=1 ，用比较系数法定，