WJF8-4几类可降阶的二阶微分方程ppt课件

1、8.4 8.4 几类可降阶的二阶微分方程几类可降阶的二阶微分方程型型)(xfy 型型),(yxfy 型型),(yyfy 二阶微分方程的一般形式是：二阶微分方程的一般形式是：0, ）（yyyxF，）（yyxfy ， ）（）（）（yyfyxfxfy，可以显化：可以显化：几种特殊形式：几种特殊形式：一、一、 型型解法：两次积分即可得出解解法：两次积分即可得出解 特点：特点：.yy 及及不显含未知函数不显含未知函数)(xfy 21)(CxCdxdxxf如如xy2 两边积分得：两边积分得：2133CxCxy 再积分得：再积分得：12Cxy 一般地对一般地对n n阶方程阶方程)()(xfyn 积分积分n

2、n次便可得到通解次便可得到通解 nnnnnCxCxCxCdxxfy12211)(个个)(xpy 设设)(xpdxdpdxydy 则则一一阶阶方方程程，的的代代入入原原方方程程得得到到新新函函数数)(xp原方程通解为原方程通解为21),(CdxCxpy 特点：特点：. y右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：二、二、 型型),(yxfy 此一阶微分方程可求出其通解此一阶微分方程可求出其通解)(1Cxpp， )(,(xpxfp ，积积分分得得由由),(1Cxpy 两边对两边对x求导求导yyyx 例例1 1 求方程求方程 xeyy 的通解的通解. 解解 )(xpy dxdpy xepdxdp

3、)()()(1111CxeCdxeeexpxdxxxd 211)(CeCexedxCxeyxxxx 令令那么那么 原方程化为原方程化为 这是一阶线性微分方程，其通解这是一阶线性微分方程，其通解 故原方程通解为故原方程通解为 )(1Cxedxdyx 即即.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xpy 设设代入原方程得代入原方程得, 0 pdxdpx分离变量分离变量, ,得得两端积分两端积分, ,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xpy ,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例

4、例2 2,xdxpdp xCp1 积分，得：积分，得：,613231CxCxCy ,2241432241CxCxCxCy 三、三、 型型)(ypy 设设dxydy 则则解法：解法：),(yyfy ),(pyfpp 代代入入原原方方程程得得设所求出的通解为设所求出的通解为 ),(1Cypp ),(1Cypdxdy ),(21CCxyy 即即 用分离变量法解此方程，可得原方程的通解用分离变量法解此方程，可得原方程的通解 .特点：右端不显含自变量特点：右端不显含自变量x两边对两边对x求导求导yyyx dxdydyyd dxdydydp ,pp .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydppy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 02 pdydppy, 0)( pdydpyp即即0 pdydpy由由,1yCp 可得可得.12xCeCy 原方程通解为原方程通解为yCdxdy1 例例3 3, 0 yp若若.12xCeCy 所以原方程通解为所以原方程通解为，ydypdp dxCydy1 ,ln21CxCy .，包含在通解里，包含在通解里则则Cy 小结小结解法：通过代换将其化成一阶的微分方程解法：通过代换将其化成一阶的微分方程 来求解来求解.