多元复合函数的求导法则

1、整理课件1第四节第四节一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 第九章第九章 整理课件2).(),(),(tgfytgxxfy 一元复合函数求导的链式法则一元复合函数求导的链式法则txxytydddddd y x t推广推广: :多元复合函数求导的链式法则多元复合函数求导的链式法则1. 中间变量均为一元函数中间变量均为一元函数; ;2. 中间变量均为多元函数中间变量均为多元函数; ;3. 中间变量既有一元函数又有多元函数中间变量既有一元函数又有多元函数. .整理课件3情形情形1 复合

2、函数的复合函数的中间变量均为一元函数中间变量均为一元函数且有且有可导可导在点在点则则具有连续偏导数具有连续偏导数在对应点在对应点可导可导都在点都在点如果如果, )(),( , ),( ),( , )(),( tttfzvuvufzttvtu 变量关系图变量关系图zuvt.dd称为全导数称为全导数tztvvztuuztzdddddd 整理课件4 , 则则若若ttt ),()( ),()(tttvtttu ),(),()(),(ttfttttfz , ),( ),( 具有连续偏导数具有连续偏导数在点在点因为因为vuvufz , )( ovvzuuzz 所所以以.)()( 22vu 其中其中 ,)(

3、totvvztuuztz 证证得得上上式式两两边边同同除除, t 整理课件5, 0 时时当当 ttuddtotvvztuuztz )( tvdd0.ddddlimdd 0tvvztuuztztzt 推广推广.ddddddddtwwztvvztuuztz ztuvwto )( )( o )()(22tvtu (t0 时时, ,根式前加根式前加“”号号) )整理课件6.dd,cos,e,sintztwtvuwuvzt求求设设 twwztvvztuuztzdddddddd 1cos)sin(e wtuvt.cos)sin(cosetttt 例例1解解:ztuvw, vuz ,uvz ,coswwz

4、,ddtetu ,sinddttv , 1dd tw整理课件7情形情形2 复合函数的复合函数的中间变量均为多元函数中间变量均为多元函数且且有有可可微微在在点点函函数数则则复复合合具具有有连连续续偏偏导导数数在在对对应应点点微微可可都都在在点点如如果果函函数数, ),( ),(),( , ),( ),( , ),( ),(),( yxyxyxfzvuvufzyxyxvyxu 变量关系图变量关系图zuvxy,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz 整理课件8推广推广:变量关系图变量关系图,xwwzxvvzxuuzxz .ywwzyvvzyuuzyz ).,( ),( ),( ),(yxwyx

5、vyxuwvufz zuvxyw整理课件9.,sine yzxzyxvxyuvzu 求求设设xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 1cosesine vyvuu).cos()sin(eyxyxyxy 1cosesine vxvuu).cos()sin(eyxyxxxy 例例2解解zuvxy整理课件10情形情形3 中间变量为一元或多元函数中间变量为一元或多元函数且且有有的的偏偏导导数数均均存存在在和和关关于于件件下下类类似似的的条条那那么么在在满满足足与与情情形形数数复复合合成成二二元元函函设设, , 2 ),(),( )(),(),( yxzyyxfzyvyxuvufz 变量关系图变量关

6、系图zuvxy,xuuzxz .ddyvvzyuuzyz 整理课件11.,e),arcsin(2yzxzyvxuuvzy 求求设设zuvxyxuuzxz ,e1ee1242222yyyyxyvuv yvvzyuuzyzdd .e1e)2(242yyyxxyy 例例3解解yvuuxvuvy21e12222 整理课件12两者的区别两者的区别特别地特别地, 复合函数的某些中间变量本身又是函数的复合函数的某些中间变量本身又是函数的自变量自变量, 如如).,(),(yxuyxufz zuxy的偏导数的偏导数看作常数而对看作常数而对中的中的把复合函数把复合函数xyyxyxfz,),( 的偏导数的偏导数看作

7、常数而对看作常数而对及及中的中的把把xyuyxufz),( xfxuufxz yfyuufyz 则为了防止记号的混淆则为了防止记号的混淆, 有有整理课件13.,sin,e 2222yzxzyxuzuyx 求求设设,sin,e),( 2222yxuuyxfzuyx 令令xfxuufxz 222222e2sin2e2uyxuyxxyxu yfyuufyz 222222e2cose22uyxuyxyyxu ,e )sin21(22422sin22yxyxyxx .e )cossin(22422sin4yxyxyyxy 例例4解解fuxy整理课件14.dd,cos,e,sintztvutuvzt求全导

8、数求全导数设设 tftvvftuuftz ddddddttuvtcossine tttttcossinecose .cos)sin(cosetttt 例例5解解:vfut则则令令 .sin),( tuvtvufz 整理课件15例例6. ,)( ),( xyzyzyxzxuFxyxFxyz 证证明明为为可可导导函函数数设设证明证明: :).( , uxFxyzxyu 则则令令Fuxy)()(uFxxuFyxz xuuFxuFy )()(),()(xyFxyxyFy 整理课件16).( , uxFxyzxyu Fuxy)(uFyxxyz yuuFxx )().(xyFx )()()( xyFxyx

9、yFxyxyFyxyzyxzx )(2xyFxy .xyz 整理课件17.,),( 2)2(zxxCfxyzzyxf 求求设设 ).,( , , vufxyzvzyxu 则则令令xvvfxuufx ,vfyzuf )()(2vfyzufzxzzx .)()(vfyvfzyzufz 例例7解解xyz uv整理课件18.)()(2vfyvfzyzufzzx zvufvzuufuufz )()()(.222vufxyuf zvvfvzuvfuvfz )()()(.222vfxyuvf xyzuf uvyxzvf uv整理课件19),(),(xyzzyxfvuf , , , , , 221212222

10、2221121那么那么记记uvffvuffvffuffvffuff .)(222212112f yf zxyfzxyfzx .)( 2222222vfyvfzxyvufzxyufzx 代代入入得得整理课件20,xyvxyu )1(213fxfxx ),(),(3vufxyxyfxz 例例8. 已知已知解解: 令令具有连续的二阶具有连续的二阶偏导数偏导数,求求.,22yzyz 则则)(213yvfyufxyz ),(2214fxfx )()(222121211422yvfyufxyvfyufxyz .222123115fxfxfx fuvxy整理课件21二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性设

11、函数设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz 的全微分为的全微分为yyzxxzzddd xxvvzxuuzd)( yyvvzyuuzd)( uz vz uz 可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu )dd(yyvxxv 则复合函数则复合函数) (fz ),(, ),(yxyx udvz vd都可微都可微, , 其其全微分表达全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.整理课件22 )cos( )sin(yxyxeyx 例例2 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例9利用全

12、微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例2. 解解: :) (dd zuveudsin xyxyxyeyxd)cos()sin( )cos()sin(yxyxyexzyx )cos()sin(yxyxxeyzyx 所以所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx )(dyx)(dyx yyxyxxeyxd )cos()sin( )d(dyx )dd(yxxy 整理课件23.dd,cos,e,sintztvutuvzt求全导数求全导数设设 )sin(ddtuvz )(sind)(dtuv ttvuuvdcosdd tttttdcos)sin(cose 例例10解解

13、:利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例5:ttteetttdcos)(cosd)(dcos ttttettettdcosdsindcos .cos)sin(cosdd tttetzt 整理课件24例例11., ,),( zuyuxufzyyxfu 求求具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设函数设函数解解: :)(d),()(d),(d 21zyzyyxfyxzyyxfu 2221ddddzzyyzfyyxxyf zfzyyfzfyxxfyd d)1 (d 1222121 ,1 1fyxu ,1212fzfyxyu .22fzyzu 整理课件25内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全