信号与系统4.1-2

1、信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系1第四章第四章 连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号与系统的复频域分析第四章第四章 连续时间信号与系统的连续时间信号与系统的复频域分析复频域分析信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系2u 频域分析频域分析 以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。率的虚指数分量之和。

2、使响应的求解得到简化。物理意义清楚。 频域分析的频域分析的不足之处不足之处：1.1. 要求要求f(tf(t) )满足狄里赫利条件；满足狄里赫利条件；有些重要信号虽然不满足该条件，但他们仍然存在傅里有些重要信号虽然不满足该条件，但他们仍然存在傅里叶变换，如叶变换，如u(t), tu(t)等，但其变换中常带有等，但其变换中常带有d(wd(w) )，不利，不利于计算和分析；于计算和分析；有些信号根本不存在傅里叶变换，如有些信号根本不存在傅里叶变换，如eatu(t),(a0);2.2. 频域分析只能确定频域分析只能确定r rzszs(t(t) )，无法求，无法求r rzizi(t(t););导致无法使

3、用导致无法使用FTFT或频域分析方法或频域分析方法3.3. 求傅里叶反变换也比较麻烦。求傅里叶反变换也比较麻烦。信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系3拉普拉斯变换拉普拉斯变换完全可以避免上述问题，它是分析连续线性时完全可以避免上述问题，它是分析连续线性时不变系统更为有效的工具。不变系统更为有效的工具。其主要其主要优点优点体现在以下几个方面：体现在以下几个方面：求解系统响应的步骤更为简化；求解系统响应的步骤更为简化；同时求出特解和齐次解；同时求出特解和齐次解；初始条件自动包含在变换式中；初始条件自动包含在变换式

4、中；将将微分和积分微分和积分运算转换为运算转换为乘法和除法乘法和除法运算运算 变微分方程为代数方程变微分方程为代数方程某些不满足狄里赫利条件的函数，不能进行傅里叶变换，某些不满足狄里赫利条件的函数，不能进行傅里叶变换，但可以进行拉氏变换；但可以进行拉氏变换；满足卷积定理，即将时域的卷积运算转换成变换域的乘满足卷积定理，即将时域的卷积运算转换成变换域的乘法运算。法运算。信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系44.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换Laplace Transform (LT)Laplace Tra

5、nsform (LT)一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数有些函数不满足绝对可积条件不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e- t( 为实常数）乘以信号为实常数）乘以信号f(t) ，适当选取适当选取 的值的值，使乘积信号，使乘积信号f(t) e- t当当t时信号幅度趋近于时信号幅度趋近于0 ，从而满足绝对可积条件，使从而满足绝对可积条件，使f(t) e- t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 故称故称e- t为为收敛因子收敛因子思想：思想：想办法构想办法构造满足造满足绝对可积绝对可积条件的函数条件

6、的函数f(t)必然是发散的必然是发散的4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系5( )110( )jtFf t edtww()00( )( )tjtjtf t eedtf t edtww1 1、单边拉普拉斯变换、单边拉普拉斯变换 若若单边信号单边信号f(t)=f(t)u(tf(t)=f(t)u(t) )，不满足狄利克雷条件，不满足狄利克雷条件则适当选择则适当选择 ，可使信号，可使信号f f1 1(t)=f(t)(t)=f(t)e e- - t t 满足满足狄利克雷条件狄利克

7、雷条件。f f1 1(t)(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为令令s= +jw w，并用，并用F(s)代替代替F1(w w)j , , sw其中具有频率的量纲称为复频率。单边单边拉普拉斯拉普拉斯变换变换dtetfsFst 0)()(4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系6f1(t)的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为( )111( )( )=2tjtf tf t eFedwww( )( )()1111( )=22jttjtf tFe edFedwwwwww令令s= +jw w，

8、则，则ds=jdw w, , 并用并用F1(w w)代替代替F(s) jjstdsesFjtf )(21)(单边单边拉普拉斯反拉普拉斯反变换变换4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系7 由于由于s= +jw w为复数，为复数，所以所以F(s)是定义在是定义在复平面上的复函数复平面上的复函数 复频域是用直角坐标复频域是用直角坐标 s= +jw w表示的复表示的复数平面，简称为数平面，简称为S平面平面或连续时间或连续时间复频复频域域（s域域）.单边单边拉普拉斯变换及其逆变换：

9、拉普拉斯变换及其逆变换：01( )( )( )1( )( )( )2stjstjF sf t edtf tf tF s e dsf tj LL原函数原函数象函数象函数复频率复频率: )(: )(:tfsFjsw( )( ):f tF s 也记作L L jw w0 0S平面平面4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系8若信号若信号f(t) 为双边信号，为双边信号，则则f(t)e- t 可能可能满足满足狄利克雷条件狄利克雷条件。虽然虽然f(t)乘以衰减因子乘以衰减因子e- t后

10、，在后，在t 0, 若满足若满足 则称则称 当当t+时是时是收敛收敛的。的。 称称 0为为收敛条件收敛条件； 称称 0为为收敛坐标；收敛坐标； 称称 = 0为为收敛轴收敛轴。 对满足收敛条件的对满足收敛条件的s值的集合称为值的集合称为LT的的收敛域收敛域。记为：记为：ROC(Region of Convergence)( )lime0ttf t( )etf t4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系13零极点零极点 只要只要f(tf(t) )是实指数或复指数信号的线性组合，

11、是实指数或复指数信号的线性组合，F(sF(s) )就就一定是有理的一定是有理的, ,具有如下形式：具有如下形式：( )( )( )B sF sA s B(s B(s) )和和A(sA(s) )分别为分子分别为分子多项式和分母多项式。多项式和分母多项式。 使使B(sB(s)=0)=0的根的根称为称为F(sF(s) )的的零点零点，在，在s s平面上用平面上用“o o”表示。表示。 使使A(sA(s)=0)=0的根的根为为F(sF(s) )的的极点极点，在，在s s平面上用平面上用“”表示。表示。bwjb4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工

12、程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系14，无界，不定Re,1ss()j11 limee()ttts w10( )tstF se edt例例1 因果信号因果信号f1(t)= e t u(t) ，求其单边拉普拉斯变换。，求其单边拉普拉斯变换。 ()()00ststeedts j0收敛域收敛域收敛边收敛边界界可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res= 时，其单边拉氏变时，其单边拉氏变换存在。换存在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。解解 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换因果信号：因果信号：t0时时,f(t)=0信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（

13、威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系15例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= e tu(-t) ，求其双边拉普拉斯变换。，求其双边拉普拉斯变换。 解解 02( )e edtstbFst，不定无界)(1.Re,ss可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res= 时，其收敛域时，其收敛域为为 Resa (a可为任意实数可为任意实数)。8. 比指数信号增长还快的信号不收敛，如比指数信号增长还快的信号不收敛，如 等等结论：结论：22, ttete有限时长信号有限时长信号4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换举例举例举例举例举例举例举

14、例举例信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系22( ) tdL L(0)d)()(fttftdROC：全平面全平面0()ttdL LROC：全平面全平面4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换0( )dstt etd 01stte00()dsttt etd00ststt tee信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系23 0( )dstu tetL L011lim1stteesss ROC： 04.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯

15、变换01stes 信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系2400sin( )cos( )t u tt u tww( )000sinsindstt u tt etwwL L00(j)t(j)t02200001111d2j2jjj- s- seets-sswwwwww( )000coscosdstt u tt etwwL L00(j)t(j)t01d2- s- seetwwROC： 04.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换()00jtjt01d2j-steeetww()00jtjt01d2-steeetww220

16、001112jjss-sswww信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系25( )nt u t 0edsttttL L20111estsss 0ednnstttt L L 0 1dettsnstn 0 de1stts 0 0dee1ttsstst2n 2232212tL tss ss L L3n 323433 26tL tss ss L L1nnntL tsL L 0estnst 0 1dettsnstn1!nnnts L L1 n 所以所以ROC： 04.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统

17、哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系26式中：式中：a是常数是常数( )( )atf te u t( )0datatste u te et L LROC： a4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换()0ds a tet1saa a 可正、可负、可零，可正、可负、可零，ROCROC都为都为 aa( )0datatsteu teet L LROC： -a()0ds a tet1sa信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系27序号序号原函数原函数 f(

18、t) (t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)11 ( u(t) )1s2d d (t) (单位脉冲函数单位脉冲函数)13K (常数常数)Ks4t (单位斜坡函数单位斜坡函数)1s24.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系28序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe4.1

19、4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系29序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)9sinw wtw ws2+w w210cosw wtss2+w w211e -at sinw wtw w(s+a)2+w w212e -at cosw wts+a(s+a)2+w w24.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系30序号序号原

20、函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)13 (1- -e -at )1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin(w wt + )w w cos + s sin s2+w w21a1b- -a1b- -a4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系314.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变单边拉普拉斯变换换

21、信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系32一、线性一、线性若若f1 (t ) F1 ( s)，f2 (t ) F2 ( s)，则则 af1 (t ) bf 2 (t ) aF1 ( s) bF2 ( s)ROC： R1ROC： R2ROC： R1 R200000() ()() ()edL Lstf tt u ttf tt u ttt 0de)(0tsttttf0tt 令，0,dd ,ttt则有代入上式0000() ()( )eedL Lstsf tt u ttf 0( )estF s 证明：证明：0000( )

22、( ) () ()( )e,(0)若，则stf tF sf tt u ttF st 二、时移性二、时移性ROC不变不变注：注：t0的正负的正负 1）对傅里叶变换无影响；）对傅里叶变换无影响； 2）对双边拉式变换无影响；）对双边拉式变换无影响； 3）对单边拉式变换有影响；（积分限）对单边拉式变换有影响；（积分限）4.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系33( )22211111ssF ssss( )( )2cos,( )4f ttu tF s已知求。( ( ) )

23、( () )( ( ) )sFttutf求求,1 已知已知【例【例】( )2cos cos2sin sincossin44f tttttsss e112【例【例】( ( ) )( () ) ( () ) ( () )( () ) 1111 tututLttuLsF4.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质ROC： 0ROC： 0信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系340000( )e( )eed()ttstsssf tf ttF s L L证明：证明：00( )( ) ( )e()s tf tF s

24、f tF ss若， 则三、三、s域平移性域平移性平移后的收敛域：平移后的收敛域： 若若s0= 1+jw w1 ，平移，平移s0在在 和和jw w上均有移位，上均有移位，但在但在jw w上的移位不影响收敛域，此时上的移位不影响收敛域，此时 收敛域为收敛域为 0+Re(s0) ()0220:cos( )s t u ts已知L L( () )( () )2020)(cose sstutt 所以所以( () )( () )20200)(sine:stutt 同理同理的的拉拉氏氏变变换换求求tt0cose 例例4.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）

25、信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系351 () () 再尺度变换：sbasf atb u atbFeaa 时移和标度变换都有时时移和标度变换都有时: : ( () )1() ()e 0,0若bsasf atb u atbFabaa L L 0()()edstf atf att L L01( )edsaf a 1sFaa ( () )1( )( ), () 0若sf tF sf atFaaa 证明：证明：四、尺度变换性四、尺度变换性0( )ed令sataf a ()( )e先移位，sbf tb u tF sb 收敛域：收敛域：Res/a 0 Resa

26、 04.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系36五、卷积定理五、卷积定理证明：证明：( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( () )121212000ededdststx xtftftftfttt L L交换积分次序交换积分次序( ( ) )( () )1200eddstfftt ( ( ) )( ( ) )12FsFs1212( )( )( )( )f tf tF sF s时域卷积定理: 1122( )( )( )( )f t

27、F sf tF s若，11212211( )( )( )( )2( ) ()2jjf tf tF sF sFjF sdj s域卷积定理: ROC： R1 R2( ( ) )( ( ) )210edsFfs 4.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系37六、时域微分六、时域微分11( )0 ( )( )( )( )(0 )( ) ( )(0 )若，则 nnnn rrnrdf tf tF ssF sfdtdfts F ssfdt 证明：证明：( ( ) )( ( )

28、)( ( ) )00ededststftfttf t L L( ( ) )( ( ) )( () )00ee( )0ststf tsf tdtsF sf 4.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质t = 0- 信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系38七、时域积分七、时域积分证明：证明：( )( )0ddedttstf f t L L( )( )001ededtststf f tts ( )( )010df F ss ()()( )10fF sss( () )1(0 )( )( )( )( )d若，则

29、 tfF sf tF sf ss ( () )( () )011( )( )d , (0 )=( )d其中则tftf ff 分部积分分部积分( () )( )( )( )=00( )d若为因果信号，即，则 tF sf tf ttf s ()()100f4.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系39八、八、s域微分域微分( )( )( )( )( ) ()( )若，则 nnndF sf tF stf tdsdFstf tdsn为整数为整数证明：证明：0( )( )edstdF sdf ttdsds()1( )( )dF sf ttdsL=L=()0( )edstf ttt4.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系40九、九、s域积分域积分证明：证明：( )( )( )( )d若，则 sf tf tF sFt 0( )d( )eddtssFf tt 0( )eddtsf tt 01( )edtsf ttt 01( ) edstf ttt 1( )( )ds