数字信号处理中的有限字长效应

1、数字信号处理中的有限字长效应29.1 引言引言数字信号字长有限，引起误差。一般有三种原因数字信号字长有限，引起误差。一般有三种原因v 模数转换（模数转换（A/D）的量化效应）的量化效应v 系数用有限位二进制数表示的量化效应系数用有限位二进制数表示的量化效应v 数字运算中的有限字长效应数字运算中的有限字长效应研究目的研究目的v 选择合适的字长选择合适的字长v 作误差分析作误差分析返回返回39.2 二进制数的表示及其对量化的影响二进制数的表示及其对量化的影响二进制最基本算法：二进制最基本算法：定点制、浮点制、成组浮点制定点制、浮点制、成组浮点制 一、一、3种算术运算方法种算术运算方法 1. 定点二

2、进制定点二进制 二进制小数点位置固定不变，运算中动态范围小，二进制小数点位置固定不变，运算中动态范围小，有溢出现象。有溢出现象。 通常将数值范围压缩在通常将数值范围压缩在-1与与1之间，还要进行尾数处理之间，还要进行尾数处理（舍入或截尾）（舍入或截尾）优点：快速简单，只有乘法才出现舍入或截尾误差优点：快速简单，只有乘法才出现舍入或截尾误差缺点：动态范围小，为防溢出，信号压缩降低了信噪比。缺点：动态范围小，为防溢出，信号压缩降低了信噪比。42. 浮点二进制数（类似于科学记数法）浮点二进制数（类似于科学记数法） M 是尾数，是尾数，c 是指数，称阶码。是指数，称阶码。运算中动态范围大，但阶码占用存

3、储空间。运算中动态范围大，但阶码占用存储空间。优点：动态范围大优点：动态范围大缺点：运算速度慢，加法和乘法都会产生舍入或截尾误差缺点：运算速度慢，加法和乘法都会产生舍入或截尾误差53. 3. 分组浮点二进制数分组浮点二进制数 一组数共用一个阶码，从而节省了存储器。一组数共用一个阶码，从而节省了存储器。 定点：定点： 10.1001 10.1001 浮点：浮点： 010211. 0 6二、负数的表示法二、负数的表示法 1.原码原码 记尾数以整数位为符号位，记尾数以整数位为符号位， 符号位符号位 尾数（尾数（b位）位） 尾数以数的绝对值表示，又称尾数以数的绝对值表示，又称“符号符号-幅度码幅度码”

4、。 7加减不方便，需判断正负及相减绝对值大小。加减不方便，需判断正负及相减绝对值大小。 例：例：+0.25 0.010 -0.25 1.0108利用补码，可把加减法统一为加法。利用补码，可把加减法统一为加法。另一种求补码的方法称为另一种求补码的方法称为“求反加求反加1 1”，即各位求反，末位加，即各位求反，末位加1 1。 2.2.补码（又称补码（又称“2 2的补码的补码”） 例：例：+0.25 0.010+0.25 0.010 -0.25 1.110 -0.25 1.11093.反码：又称反码：又称“1的补码的补码”，各位求反，各位求反， （其中（其中1.1111为为b+1位）位） 例：例：+

5、0.25 0.010 -0.25 1.10110反码与补码关系：反码与补码关系： 11三、量化方式三、量化方式舍入与截尾舍入与截尾 尾数的截尾或舍入处理引起的误差取决于：二进制数的位数数的运算方式（定点或浮点）负数的表示法（原码、补码或反码）尾数的处理方法（舍入或截尾）1. 1. 定点制截尾定点制截尾 （1）对正数： 截尾后： 12截尾误差 最大截尾误差 0)22(1 TbbE即令令 b 2，称为，称为“量化步阶量化步阶”或或“量化步长量化步长”或或“量化宽度量化宽度”。13（2）对负数：原码时： 截尾后： 截尾误差： 14补码时： 1121biiiax截尾后： biiiTaxQ121截尾误差

6、： 1102bbiiiTTaxxQE0 TE15反码时： 截尾后： biiiTaxQ121截尾误差： 1110222bbibbiiTTaxxQE TE0正数及补码负数正数及补码负数0 TE原码负数及反码负数原码负数及反码负数 TE0概括起来，定点制截尾的误差范围定点制截尾的误差范围应为162.2.定点制舍入定点制舍入 十进制舍入是四舍五入，类似地二进制舍入不是简单截尾，而是选靠得最近的量化层的标准值，故其误差总在 之间2 即 22 REb 2，xxQERR ，3.3.浮点制的截尾浮点制的截尾 浮点与阶数 c有关，相对误差 xxxQ 更重要。 （1）对正数： 0 TE绝对误差： 02 xTc ，

7、0 x，ccx221 02 T 相对误差： 17（2）对负数： 原码及反码时： TE0绝对误差： ， cTx20 122 ccx相对误差： 02 T 0 x补码时： 0 TE绝对误差： ，02 xTc 相对误差： 20T 0 x概括起来，浮点制截尾的相对误差范围浮点制截尾的相对误差范围应为原码、反码原码、反码02 T 补码补码 0,200, 02x x TT 184.4.浮点制的舍入浮点制的舍入 记 xxQERR ，xxxQRR 尾数误差在 2 之间，阶码为 c2222 cRcE绝对误差：cccRcx x2222221 即19（1）对正数： 若 R 为正，则 2221 cRcRx R 若 R

8、为负，则 2221 cRcRx R 总之 R 20（2）对负数： 同理可得 概括起来，浮点制舍入的相对误差范围浮点制舍入的相对误差范围应为219.3 A/D9.3 A/D变换的量化效应变换的量化效应 A/D是从模拟信号经采样转化为数字信号，而数字信号总是有限字长的，故与原信号相比产生一定的误差，分析A/D量化效应当目的在于选择合适的字长以满足信噪比指标。另外，模拟信号必须是带宽有限的，才能以2倍带宽以上的采样频率进行采样，而不产生混叠失真。 在信号幅度方面，令模拟信号乘一个比例因子A，以满足A/D动态范围（A/D变换器总是定点制的）。记为在动态范围内可表示为： 221)(221bbnx（ 是二

9、进制位数） 22如令采样值为 ，则量化误差（绝对误差）为： 量化后如果采用补码表示，则误差范围为： （1）舍入量化时： 2)(2neRb 2，（2）截尾量化时： 23一、量化误差的统计分析一、量化误差的统计分析 )(ne通常假定平稳随机序列与抽样信号不相关序列本身的任意两个值之间不相关（白噪声序列）在误差范围内是均匀分布故采样量化过程可用下图表示： )( )(nxtxnTta )(ne 24所谓统计分析就是研究随机过程的统计特性，特别是各阶矩特性，尤其是一阶矩（均值） 和二阶矩（方差） 。 （1）对定点舍入量化方式， )(ne的概率密度函数为： 其均值为： E表示求统计平均。 25方差为： （

10、2）对定点补码截尾方式： 有直流分量 与舍入情形相同26对随机序列，常用自相关函数或去掉均值后的自相关函数，又称自协方差进行分析。对任何分布的白噪总有自协方差是 函数，其功率谱是一常数。对舍入误差也是如此，用数学定量表示为： 用 描述是绝对误差的概念，实际中相对误差也很重要，我们对随机信号的振幅求相对误差没有意义，因均值为零时，振幅误差正负相互抵消也为零，但实际有误差，故采用振幅平方，即信号功率与噪声功率的相对比较来度量（相对误差），称之为信噪比，是信号功率比噪声功率大多少倍。记信号功率为 ，则 )(ne2x27实际采用对数方式 输入信号为 时， )(nAx信号功率越大，信噪比越高；随着字长的

11、增加，信噪比也增大。若输入信号幅度压缩，则有：因此压缩输入信号幅度，将使信噪比减小。28如取 ，则 越大信噪比越高 例如，给定 要求 ，求 最少为多少位。 NSdB40提高信噪比的方法：增大输入信号，但受限于A/D变换器的动态范围增加字长，但受限于输入信号 的本身信噪比)(txa29二、量化噪声通过线性系统二、量化噪声通过线性系统 系统的线性性质使加性噪声的输入在输出端也产生加性响应，如下图所示： 由于 是白噪，故其自协方差、自相关是 函数，即 )(ne)(nh)()()()()()()(nfnynhnenhnxny )(nx)(ne 30自协方差在 时是噪声功率，得到白噪的功率是 ，该噪声通

12、过 的过滤，产生的噪声功率为 2e31把 看成信号，按帕塞瓦尔定理：时域能量（功率）= 频域能量（功率），上式还可以写成： )(mh注：这是 无直流分量，即舍入白噪时的结果，如果是截尾白噪，有一个直流分量项 ，相应还有一个 项输出。 )(nefm返回例：设有一8位（b=7）的A/D转换器，它的输出 经下列系统函数的IIR滤波器：求此滤波器输出端的量化噪声功率。解： 由于A/D转换器的量化效应，输入此滤波器的噪声功率为根据留数定理，可求得9.4 9.4 数字滤波器的系数量化效应数字滤波器的系数量化效应理想数字滤波器 系数都是无限精度。由于有限字长效应，系数量化会使零极点偏移，造成频响有偏移，甚至

13、严重时，如果z平面单位圆内极点偏移到单位圆外，系统就不稳定，滤波器就不能使用了。系数量化对滤波器的影响固然和字长有关，和滤波器的结构也有密切的关系。通过极点灵敏度的分析，能反应不同结构下，系数量化对零、极点位置的影响。从而选择合适的字长，以满足频率响应指标的要求。一、极点位置灵敏度一、极点位置灵敏度极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的灵敏程度。现在分析一个N阶直接型结构的IIR滤波器的系统函数当系数量化后，其实际系统函数为：式中， 分别是量化以后的系数 ,kka b现在分析极点的情况，设A(z)的根为zi，于是令 的极点为 此式表明 值的大小决定着系数 的偏差 对极点偏差 的影响程度。

14、 越大， 对 的影响也越大， 就是极点 对系数 变化的灵敏度，下面根据多项式A(z)来求这个极点位置灵敏度的表达式ikzaikzaikzakaizkakaizkaiz由此得出根据A(z)的表达式，可以求得和因此，极点位置灵敏度为从这个公式看到，分母中的每个因子代表着某一极点指向当前极点的矢量，而整个分母正是所有极点指向当前极点的矢量的乘积。这些矢量越长即极点彼此间距越远，极点位置灵敏度就越低；这些矢量越短即极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高。如下图所示 矢量越长，极点彼此间越远时，极点位置灵敏度就越低；矢量越短，极点彼此越密集时，极点位置灵敏度就越高。上图(a)表示带通滤波器，(b)图表示低

15、通滤波器，前者极点间距离比后者长，因此前者极点位置灵敏度比后者小，即在相同程度的系数量化下所造成的极点位置误差前者比后者要小。现在以一个低通滤波器为例，来说明系数的微小变动将对极点位置产生很大影响，并可能使系统变为不稳定。例：设一低通滤波器的系统函数为式中， 并且123123( )1A za za za z 1232.9425,2.8934,0.9508aaa 分析计算系数量化对极点位置的影响。解：经计算求得H(z)的极点分别是下面研究当 时，仅仅由一个系数 的量化所引起的极点 的变化 ，这种情况并不是最坏的情况，如果这种情况下系数 的量化已导致极点位置过大地移动，那当所有系数同时有量化误差时

16、可能出现的最坏情况将更严重。130aa 2a1z1z2a由于 ，所以 130aa 如果字长为8位，则由量化引起的误差 可达 ka1/2512约为0.002，求得 10.2584z极点远远超出单位园，这样的变化显然是太大了。411. IIR数字滤波器的系统量化的统计分析ii ,其中是量化误差2,2( 122 采用定点制舍入处理时，ii ,范围为均值为零 ，方差为二、系数量化效应的统计分析二、系数量化效应的统计分析42定义频响的偏差度量为频响的均方偏差432. FIR数字滤波器的系数量化的统计界限无论FIR还是IIR滤波器 偶对称频响偏差44实现滤波器的三个基本运算：相乘、相加、延时。在定点制表数

17、运算中： 相加不会增加尾数，只可能溢出；相加不会增加尾数，只可能溢出； 相乘则使尾数增加，要作量化处理。相乘则使尾数增加，要作量化处理。分析目的选择合适位长，满足信噪比要求。定点制相乘运算模型9.5 9.5 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应45一、一、IIR滤波器的有限字长效应滤波器的有限字长效应现在以一个一阶IIR滤波器为例来讨论。表示其输入与输出关系的差分方程为由于上式含有乘积项，这将引入一个舍入噪声，其统计分析流图如下图所示由于e(n)叠加在输入端，因此由此可以求得输出噪声的方差为或者式中，H(z)为一阶IIR系统的系统函数，即最后可求得2212e由此可见，字

18、长b越大，数字滤波器输出端的噪声越小。下面用一实例来说明这一应用，同时还得出一个重要的结论：IIR滤波器的有限字长效应与它的结构有密切的关系。例：采用定点制算法，尾数做舍入处理，分析计算系统函数的直接型、级联型和并联型三种结构的输出噪声方差。解：（1）直接型结构直接型结构的流图如下图所示： 图 直接型的舍入噪声(a)相乘引入的舍入噪声 (b)三个舍入噪声通过相同的传输网络图中，e0(n)、e1(n)、e2(n)分别是系数0.04、1.7以及-0.72相乘后的舍入噪声，它们均经过相同的传输网络H1(z)=1/B(z)h1(n)是H1(z)的单位脉冲响应，输出噪声的方差代入相应的值，并利用留数定理

19、，就能得到（2）级联型结构将H(z)分解为级联型结构的流图如下图所示： 图 级联型的舍入噪声从图中可以看出噪声e0(n)、e1(n)通过网络而噪声e2(n)只通过网络H2(z)=1/B2(z)，因此代入相应的值，并利用留数定理，就能得到（3）并联型结构将H(z)分解为部分分式，即级联型结构的流图如下图所示：从图中可以看出并联结构需要4个系数，因此共有4个舍入噪声，e0(n)e1(n)只通过网络1/B1(z)， e2(n)e3(n)只通过网络1/B2(z)，因此输出的方差为 图 级联型的舍入噪声代入相应的值，并利用留数定理，就能得到 比较这三种结构的误差大小，可以看到直接型结构的输出误差最大，级

20、联型其次，并联型结构的误差最小。这是因为直接型结构中所有舍入误差都要经过全部网络的反馈环节，因此，使这些误差在反馈过程中积累起来，使误差很大。级联型结构，每个误差只通过其后面的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，因而误差要比直接型小。在并联型结构中，每个并联网络的舍入误差仅仅通过本通路的反馈环节，与其他并联网络无关，因此累积作用最小，误差最小。二、二、FIR滤波器的有限字长效应滤波器的有限字长效应上述方法也同样适用于FIR滤波器，但FIR没有反馈环节，其分析方法比IIR要简单，这里仅就定点实现的横截型FIR滤波器的量化噪声进行讨论。一个N阶FIR滤波器的横截型实现可以按下列线性卷积式得到：在有

21、限精度舍入运算时每一次相乘以后产生一个舍入噪声，即因此这样，就得到输出噪声为这个结果可以从下图看出图 横截型FIR滤波器的舍入噪声分析这样可以直接得出输出噪声的方差为输出的方差与字长b有关，也与阶数N有关，很明显，滤波器的阶数越高，字长越短，量化噪声越大。9.5 极限环振荡极限环振荡用一阶IIR滤波器为例来说明这一现象假设一阶滤波器的系统函数为在无限精度运算下，系统的差分方程为在定点运算中，每次乘法运算以后均要对尾数进行舍入处理，因此，实际的非线性差分方程为一、零输入极限环振荡一、零输入极限环振荡在无限精度情况下，如果输入信号x(n)由 到0，即78则其输出1a 只要 ，y(n)将逐渐衰减到0假设在这个一阶系统中字长b=3位，对于二进制，系统a=0.100,则输入信号