一条空间曲线每一正常点都有切线

1、一条空间曲线每一正常点都有切线、主法线、副法线，与之相对应的基本向量为单位切向量、单位主法向量、单位副法向量，下面就空间两曲线对应点的切向量（）、主法向量（）、副法向量（）以及该点的曲率()、绕率()之间的关系来讨论研究。由伏雷内公式，有（一） 假设两曲线建立了一一对应关系，一曲线为：分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记。另一曲线为 ：分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记。两曲线的曲率分别为、，简记；两曲线的绕率分别为，简记；一参数，简记为，其中分别为的自然参数。探究空间两曲线的基本向量之间的关系，即讨论一条曲线的切向量、主法向量、副法向量在对应点处与另一条曲线切向量、主法向量、副法向

2、量之间的平行、重合、定夹角的位置关系存在的结论。探究命题 1若曲线与的对应点的切线平行，即有（），则它们对应点的主法线、副法线也平行，且。证明：因为，两边关于求导得 ( 1 ) 于是，又，从而，因此它们对应点的主法线、副法线也平行；令 () ( 2 )则有，即。两边关于求导得 ，即得 ( 3 )由式（1），（2）得 ( 4 )又得，得证综上所述，命题得证。探究命题 2若曲线与在对应点的主法线平行，即（），则对应点的切线夹角为定值。分析：从结论出发，若对应点的切线夹角为定值，则的点积为常数，从而考虑对求导的值是否为零。证明：因为，而，则于是 ，即，由此说明在对应点的切线夹角为定值。探究命题 3若

3、曲线与在对应点的副法线平行，即（）则在对应点的切线，主法线也平行，且（）。证明：因为，两边关于求导，得 ( 5 ) 于是 ，令（） （6）又 ，从而，因此因此它们对应点的切线、主法线也平行；令 （）两边关于求导得 （7） 由式（5）、（6）得 （8）由式（6）、（7）得 （9） 又得（），得证综上所述，命题得证。探究命题 4若曲线与在对应点切线重合,则这两曲线不存在。证明：假设存在这样的两条曲线，则：，两边关于求导得两边点积得 ，即。若，则，两曲线重合;若，则表示两重合直线，所以命题得证。探究命题 5 若曲线与在对应点主法线重合，则这两曲线为曲线。 证明：由曲线定义可知。探究命题6曲线与在对应

4、点副法线不可能重合。证明：假设曲线与在对应点副法线重合，令：，两边关于求导得 （10） 式（10）两边点积得 ，即常数。于是，两边关于求导得两边点积得 ，由于，所以，矛盾，这说明只有平面曲线才有可能是命题成立，从而命题得证。探究命题 7若曲线的切线与的对应点的主法线平行,则。证明：由条件可设（），两边关于求导得两边平方得 ，命题得证。探究命题 8若曲线的主法线与的对应点的副法线平行，则。证明：由条件令 （）两边关于求导得两边平方得 ，命题得证。探究命题 9若曲线的副法线与的对应点的切线平行，则。证明：由条件令（），两边关于求导得两边平方得 （11）类似得到 （12）式得 ，即 ，命题得证。探究

5、命题 10若曲线的主法线与的对应点副法线重合，则（常数）。证明：由条件可设：，两边关于求导得两边点积得 ，即常数。于是，两边关于求导得两边点积得 ，即，命题得证。探究命题 11若曲线的切线与的对应点的主法线重合,则(1) 两曲线的切线夹角的余弦值为或;(2) 。证明：由条件可设 ：,两边关于求导得 （13） 两边点积得 ,即，从而（1）的前半部得证。式（13）关于求导得两边点积得 ，由此（1）的后半部得证。式（13）两边平方得 ，由此（2）得证。探究命题 12若曲线切线与的对应点切线夹角为定值，则。证明：由条件可设 ，其中为定角。两边关于求导得即 ，命题得证。探究命题 13若曲线的主法线与对应点的主法线成定角，则。证明：由条件可设 ，其中为定角，两边关于求导得即 ，命题得证。探究命题 14若曲线的副法线与对应点的副法线成定角，则。证明：由条件可设 ，其中为定角，两边关于求导得即 ，命题得证。探究命题 15 若曲线的切线与对应点的主法线成定角，则。证明：由条件可设 ，其中为定角，两边关于求导得即 ，命题得证。探究命题 16若曲线的主法线与对应点的副法线成定角，则。证