高中全程复习方略配套等差数列）ppt课件

1、第二节第二节 等差数列等差数列 三年三年1212考考 高考指数高考指数: :1.1.了解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系；了解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系；2.2.掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n n项和公式；项和公式；3.3.能在详细的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知能在详细的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识处理相应的问题识处理相应的问题. .1.1.等差数列的通项公式与前等差数列的通项公式与前n n项和公式是调查重点；项和公式是调查重点；2.2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质运用归纳法、累加法、倒

2、序相加法、方程思想、函数的性质处理等差数列问题是重点，也是难点；处理等差数列问题是重点，也是难点；3.3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合那么以解答题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合那么以解答题为主题为主. .1.1.等差数列的定义等差数列的定义(1)(1)条件：一个数列从条件：一个数列从_起，每一项与前一项的差是同一起，每一项与前一项的差是同一个常数个常数. .(2)(2)公差：是指常数，通常用字母公差：是指常数，通常用字母d d表示表示. .(3)(3)定义表达式：定义表达式：_(nN+)._(nN+).第第2 2项项an+1-an=d(an+1-an=d(常数常数) )

3、【即时运用】【即时运用】判别以下数列能否为等差数列判别以下数列能否为等差数列.(.(请在括号中填写请在括号中填写“是或是或“否否) )(1)(1)数列数列0 0，0 0，0 0，0 0，0 0， ( ) ( )(2)(2)数列数列1 1，1 1，2 2，2 2，3 3，3 3， ( ) ( )(3)(3)数列数列 ( ) ( )(4)(4)数列数列a,2a,3a,4aa,2a,3a,4a， ( ) ( )2345， ， ， ，【解析】【解析】(1)(4)(1)(4)中从第二项开场，每一项与前一项的差为同一中从第二项开场，每一项与前一项的差为同一常数；而常数；而(2)(3)(2)(3)中从第二项

4、开场中从第二项开场, ,每一项与前一项的差并不是每一项与前一项的差并不是同一常数，故同一常数，故(1)(4)(1)(4)为等差数列，为等差数列，(2)(3)(2)(3)不是不是. .答案：答案：(1)(1)是是 (2)(2)否否 (3)(3)否否 (4)(4)是是2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式假设等差数列假设等差数列anan的首项是的首项是a1a1，公差是，公差是d d，那么其通项公式为，那么其通项公式为an=_.an=_.a1+(n-1)da1+(n-1)d【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：公差思索：公差d d与数列与数列anan的单调性有什么关系？的单调性有什么关系？

5、提示：当提示：当d0d0时，时，anan为递增数列；当为递增数列；当d0d0时，时，anan为递减数列；为递减数列；当当d=0d=0时，时，anan为常数列为常数列. .(2)(2)在等差数列在等差数列anan中，中，a5=10,a12=31,a5=10,a12=31,那么数列的通项公式为那么数列的通项公式为_._.【解析】【解析】a5=a1+4d,a12=a1+11d,a5=a1+4d,a12=a1+11d,an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.3=3n-5.答案：答案：an=3n-5an=3n-5111a4d10a2,a11d31

6、d3 解得(3)(3)等差数列等差数列1010，7 7，4 4，的第的第2020项为项为_._.【解析】由【解析】由a1=10,d=7-10=-3,n=20,a1=10,d=7-10=-3,n=20,得得a20=10+(20-1)a20=10+(20-1)(-3)=-47.(-3)=-47.答案：答案：-47-473.3.等差中项等差中项假设在假设在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数A A，使，使a,A,ba,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么_叫叫作作a a与与b b的等差中项的等差中项. .A A【即时运用】【即时运用】(1) (1) 是是a a，A A，b b成等差数列的成

7、等差数列的_条件条件. .(2)(2)假设等差数列假设等差数列anan的前三项依次为的前三项依次为a,2a+1,4a+2,a,2a+1,4a+2,那么它的那么它的第五项为第五项为_._.abA2【解析】【解析】(1)(1)假设假设 可知可知2A=a+b,2A=a+b,可推出可推出A-a=b-A,A-a=b-A,所以所以a,A,ba,A,b成等差数列；反之，假设成等差数列；反之，假设a,A,ba,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么 故故 是是a a，A A，b b成等差数列的充要条件成等差数列的充要条件. .(2)(2)由题意知由题意知2a+12a+1是是a a与与4a+24a+2的等差中项

8、，即的等差中项，即2a+1= 2a+1= 解得解得a=0,a=0,故数列故数列anan的前三项依次为的前三项依次为0 0，1 1，2 2，那么，那么a5=0+4a5=0+41=4.1=4.答案：答案：(1)(1)充要充要 (2)4 (2)4 abA,2abA.2abA2a4a2,24.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式(1)(1)知等差数列知等差数列anan的首项的首项a1a1和第和第n n项项an,an,那么其前那么其前n n项和公式项和公式Sn=_.Sn=_.(2)(2)知等差数列知等差数列anan的首项的首项a1a1与公差与公差d d，那么其前，那么其前n n项和公式项和

9、公式Sn=_.Sn=_.1nn(aa )21n(n1)nad2【即时运用】【即时运用】(1)(1)在等差数列在等差数列anan中，中，a1=5,an=95,n=10,a1=5,an=95,n=10,那么那么Sn=_.Sn=_.(2)(2)在等差数列在等差数列anan中，中，a1=100,d=-2,n=50,a1=100,d=-2,n=50,那么那么Sn=_.Sn=_.(3)(3)在等差数列在等差数列anan中，中，d=2,n=15,an=-10,d=2,n=15,an=-10,那么那么Sn=_.Sn=_.【解析】【解析】(1)(1)(2)(2)=50=50(100-49)=2 550.(100

10、-49)=2 550.(3)(3)由由an=a1+(n-1)dan=a1+(n-1)d得得, ,-10=a1+(15-1)-10=a1+(15-1)2,2,解得解得a1=-38,a1=-38,答案：答案：(1)500 (2)2 550 (3)-360 (1)500 (2)2 550 (3)-360 1nnn(aa )10 (595)S500.22n1n(n1)50 49Snad50 100( 2)22 1nnn(aa )S215 ( 38 10)360.2 等差数列的根本运算等差数列的根本运算【方法点睛】【方法点睛】1.1.等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的普通求法

11、是设出首项等差数列运算问题的普通求法是设出首项a1a1和公差和公差d d，然后由，然后由通项公式或前通项公式或前n n项和公式转化为方程项和公式转化为方程( (组组) )求解求解. .2.2.等差数列前等差数列前n n项和公式的运用方法项和公式的运用方法等差数列前等差数列前n n项和公式有两个，假设知项数项和公式有两个，假设知项数n n、首项、首项a1a1和第和第n n项项anan，那么利用，那么利用 假设知项数假设知项数n n、首项、首项a1a1和公差和公差d d，那么利用那么利用 在求解等差数列的根本运算问题时，在求解等差数列的根本运算问题时，有时会和通项公式结合运用有时会和通项公式结合运

12、用. .1nnn(aa )S,2n1n(n1)dSna.2【例【例1 1】(1)(2021(1)(2021广东高考广东高考) )等差数列等差数列anan前前9 9项的和等于前项的和等于前4 4项的和项的和. .假设假设a1=1,ak+a4=0,a1=1,ak+a4=0,那么那么k=_.k=_.(2)(2021(2)(2021湖北高考湖北高考) “竹九节问题：现有一根竹九节问题：现有一根9 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 4节的容积节的容积共为共为3 3升，下面升，下面3 3节的容积共节的容积共4 4升，那么第升，那么第5 5节的容积

13、为节的容积为_升升. .(3)(2021(3)(2021福建高考福建高考) )知等差数列知等差数列anan中，中，a1=1,a3=-3.a1=1,a3=-3.求数列求数列anan的通项公式；的通项公式；假设数列假设数列anan的前的前k k项和项和Sk=-35Sk=-35，求，求k k的值的值. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)根据根据S9=S4S9=S4求公差求公差d d，利用，利用ak+a4=0ak+a4=0求求k.k.(2)(2)转化为关于转化为关于a1,da1,d的方程组，先求的方程组，先求a1,d,a1,d,再求再求a5a5，或直接转化，或直接转化为关于为关于a5,da5,d的

14、方程组求解的方程组求解. .(3)(3)求出公差求出公差d d后直接写出后直接写出anan，求出，求出SnSn，根据，根据Sk=-35Sk=-35求求k k的值的值. .【规范解答】【规范解答】(1)S4=S9,(1)S4=S9,答案：答案：1010k4k44 39 814 1d9 1d,d,226117a1(k1) ()k,66611a1 3 (),62171aa0k0,k10.662 解得则由，得(2)(2)方法一：设自上第一节竹子容量为方法一：设自上第一节竹子容量为a1,a1,依次类推，数列依次类推，数列anan为等差数列为等差数列. .又又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a1

15、+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4,a7+a8+a9=3a1+21d=4,解得解得1137a,d,22665113767aa4d4.226666 方法二：设自上第一节竹子容量为方法二：设自上第一节竹子容量为a1a1，依次类推，依次类推, ,那么第九节那么第九节容量为容量为a9,a9,且数列且数列anan为等差数列为等差数列. .a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即即4a5-10d=34a5-10d=33a5+9d=43a5+9d=4联立解得联立解得a5=a5=答案：答案：67.666766

16、(3)(3)设等差数列设等差数列anan的公差为的公差为d d，由由a1=1,a3=-3a1=1,a3=-3可得可得1+2d=-31+2d=-3，解得，解得d=-2.d=-2.从而从而an=1+(n-1)an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(-2)=3-2n.由知由知an=3-2n,an=3-2n,由由Sk=-35Sk=-35得得2k-k2=-35.2k-k2=-35.即即k2-2k-35=0k2-2k-35=0，解得，解得k=7k=7或或k=-5.k=-5.又又kN+,kN+,故故k=7.k=7.2nn1 (32n)S2nn .2【互动探求】本例【互动探求】本例(3)(3)中，假设将中，

17、假设将“a1=1,a3=-3a1=1,a3=-3改为改为“a1=31,a1=31,S10=S22S10=S22，试求，试求Sn;Sn;这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值. .【解析】【解析】S10=a1+a2+a10,S10=a1+a2+a10,S22=a1+a2+a22S22=a1+a2+a22，又，又S10=S22S10=S22，a11+a12+a22=0a11+a12+a22=0， 即即a11+a22=2a1+31d=0,a11+a22=2a1+31d=0,又又a1=31,d=-2,a1=31,d=-2,112212(aa )0,22

18、n1n(n1)Snad31nn(n1)32nn .2方法一：由知方法一：由知Sn=32n-n2,Sn=32n-n2,当当n=16n=16时，时，SnSn有最大值，有最大值，SnSn的最大值是的最大值是256.256.方法二：由方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n),Sn=32n-n2=n(32-n),欲使欲使SnSn有最大值，应有有最大值，应有1n32,1n6),Sn=324(n6),求数列求数列anan的项数及的项数及a9+a10.a9+a10.【解题指南】【解题指南】(1)(1)根据根据S2=S6S2=S6，先求，先求a4+a5a4+a5的值，再求的值，再求a5.a5.(2)(2)根

19、据性质知根据性质知a1+a17=a7+a11=a5+a13=2a9a1+a17=a7+a11=a5+a13=2a9求解求解. .(3)(3)根据前根据前6 6项与最后项与最后6 6项的和求出项的和求出a1+an,a1+an,再求再求n n及及a9+a10.a9+a10.【规范解答】【规范解答】(1)S2=S6(1)S2=S6，S6-S2=a3+a4+a5+a6=0S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，2(a4+a5)=0,2(a4+a5)=0,即即a4+a5=0a4+a5=0，a5=-a4=-1.a5=-a4=-1.答案：答案：-1-1(2)(2)数列数列anan为等差数列，且为等差数列，且

20、S17=51S17=51， =51, =51,即即a1+a17=6a1+a17=6，a5-a7+a9-a11+a13a5-a7+a9-a11+a13=(a5+a13)-(a7+a11)+a9=(a5+a13)-(a7+a11)+a9=6-6+3=3.=6-6+3=3.答案：答案：3 311717(aa )2(3)(3)由题意知由题意知a1+a2+a6=36 a1+a2+a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 an+an-1+an-2+an-5=180 + +得得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216(a1+an)+(a2+an-1)+(

21、a6+an-5)=6(a1+an)=216，a1+an=36,a1+an=36,又又18n=324,n=18.18n=324,n=18.a1+a18=36,a1+a18=36,a9+a10=a1+a18=36.a9+a10=a1+a18=36.1nnn(aa )S324,2【互动探求】假设本例【互动探求】假设本例(1)(1)条件不变，改为求此等差数列的前条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值多少项的和最大，并求出最大值. .【解析】在本例【解析】在本例(1)(1)中已求解出中已求解出a5=-1,a5=-1,又又a4=1,a4=1,得公差得公差d=-2,d=-2,前前4 4项

22、的和最大项的和最大, ,且且S4=1+3+5+7=16.S4=1+3+5+7=16.【反思【反思感悟】感悟】1.1.在等差数列在等差数列anan中，假设中，假设m+n=p+q=2k,m+n=p+q=2k,那么那么am+an=ap+aq=2akam+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例是常用的性质，本例(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)题都用到题都用到了这个性质，在运用此性质时，一定要察看好每一项的下标规了这个性质，在运用此性质时，一定要察看好每一项的下标规律，不要犯律，不要犯a2+a5=a7a2+a5=a7的错误的错误. .2.2.本例本例(2)(2)也可先求也可先求a1a1与与d

23、 d的关系，然后求解的关系，然后求解, ,但不如用性质简但不如用性质简单单. .【变式备选】等差数列【变式备选】等差数列anan的前的前n n项和为项和为SnSn，知，知am-1+am+1-am2am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38, =0,S2m-1=38, 求求m m的值的值. .【解析】【解析】am-1+am+1=2am,am-1+am+1=2am,am-1+am+1-am2=2am-am2=0am-1+am+1-am2=2am-am2=0，解得解得am=0am=0或或am=2.am=2.又又a1+a2m-1=2am,a1+a2m-1=2am,am0,am=2,am0,am=

24、2,2m-1=19,2m-1=19,解得解得m=10. m=10. 12m 12m 1maaS(2m1)(2m1)a38,2【总分值指点】等差数列客观题的规范解答【总分值指点】等差数列客观题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2021)(2021广州模拟广州模拟) )知等差数列知等差数列anan满足：满足：a3=7a3=7，a5+a7=26a5+a7=26，anan的前的前n n项和为项和为Sn.Sn.(1)(1)求求anan及及SnSn；(2)(2)令令 (nN+) (nN+)，求数列，求数列bnbn的前的前n n项和项和Tn.Tn.n2n1ba1【解题指南】分析题意知，对此题【解

25、题指南】分析题意知，对此题(1)(1)可列方程组求解；可列方程组求解；(2)(2)将将anan代入代入bnbn后，表示出后，表示出bnbn是解题关键是解题关键. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设等差数列设等差数列anan的公差为的公差为d d，由于由于a3=7a3=7，a5+a7=26a5+a7=26，所以有，所以有解得解得a1=3,d=2a1=3,d=2，33分分所以所以an=3+2(n-1)=2n+1, an=3+2(n-1)=2n+1, 6 6分分11a2d72a10d26，2nn(n1)S3n2n2n.2(2)(2)由由(1)(1)知知an=2n+1an=2n+1，所以所以 9

26、 9分分所以所以 11 11分分即数列即数列bnbn的前的前n n项和项和 12 12分分n22n1111ba1(2n1)14n(n1)111()4nn1，n111111T(1)4223nn111n(1),4n14(n1)nnT.4(n1)【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示和备考建议：失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项能准确求出首

27、项a a1 1和公差和公差d d；(2)(2)在求解数列在求解数列bbn n 的前的前n n项和时，不能熟练准确地利用裂项和时，不能熟练准确地利用裂项公式项公式. . 备备考考建建议议 解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注考时要高度关注: :(1)(1)对通项公式与前对通项公式与前n n项和公式记忆错误；项和公式记忆错误；(2)(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项. .

28、另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地解决一些数列求和问题解决一些数列求和问题. . 1.(20211.(2021大纲版全国卷大纲版全国卷) )设设SnSn为等差数列为等差数列anan的前的前n n项和，假项和，假设设a1=1,a1=1,公差公差d=2,Sk+2-Sk=24,d=2,Sk+2-Sk=24,那么那么k=( )k=( )(A)8(A)8(B)7(B)7(C)6(C)6(D)5(D)5【解析】选【解析】选D.Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)D.Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)2=242=24，k=5.k=5.2.(20212.(2021天津高考天津高考) )知知anan为等差数列，为等差数列，SnSn为其前为其前n n项和，项和，nN+,nN+,假设假设a3=16,S20=20,a3=16,S20=20,那么那么S10S10的值为的值为_._.【解析】由题意知【解析】由题意知答案：答案：110