通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

1、第二章习题习题设随机过程X(t)可以表示成：X(t)2cos(2t),t式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=,P(=/2)=试求EX(t)和RX(0,1)。解：EX(t)=P(=0)2cos(2t)+P(=/2)2cos(2t)=cos(2t)sin2t2cost习题设一个随机过程X(t)可以表示成：X(t)2cos(2t),t判断它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。1T/2Rx()limTT"X(t)X(t)dt1T/2limTt/22cos(2t)*2cos2(t)dtj2tj2t2cos(2)ejejj2fzj2tj2t

2、、j2f.P(f)Rx()ejd(ejej)ejd(f1)(f1)习题设有一信号可表示为:4exp(t)X(t)f,t0,t<0e(1j)tdt1j试问它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：X()x(t)ejtdt04etejtdt40G(f)=|X(f)则能量谱密度=习题X(t)=X1cos2tX2Sin2t，它是一个随机过程，其中捲和x?是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2。试求：(1) EX(t)，EX2(t)；(2)X(t)的概率分布密度；(3)Rx(tt2)解：(1)EXtEx1cos2tx2sin

3、2tcos2tEx1sin2tEx20Px(f)因为禺和X2相互独立，所以EX1X2EX1EX2。又因为EXiEX20,22EXtcos2tEXi2sin22tE2Xi，所以EXi222Ex；2。因为Xi和X2服从高斯分布,Xt是Xi和X2的线性组合，所以Xt也服从高斯分i布,其概率分布函数pxV22zexp(3)RXti,t2EXtiXt2E(x1cos2tix2sin2ti)%cos2t2x2sin2t22cos2ticos2t2sin2tisin2t22cos2t2ti习题试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(i)fcos22f；(2)afa；(3)expaf2解：根据功率谱密度P

4、(f)的性质：P(f)0,非负性；P(-f)=Pf)，偶函数。可以判断和满足功率谱密度的条件，不满足。习题试求X(t)=Acost的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率解：R(t，t+)=EX(t)X(t+)=EAcost*Acos(t)i八2匚AEcos2A2cos(2t)cosR()2功率P=R(0)=.A22习题设Xit和X2t是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为Rxi和Rx2。试求其乘积X(t)=Xi(t)X2(t)的自相关函数。解：I(t,t+)=EX(t)X(t+)=EXi(t)X2(t)Xi(t)X2(t)=EXi(t)Xi(t)EX2(t)X2(t)=Rxi()

5、Rx2()习题设随机过程X(t)=m(t)cost，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为Px(f)104f2,10kHZf10kHZ0,其它(i)试画出自相关函数Rx()的曲线；试求出X(t)的功率谱密度Px(f)和功率P。1,10解：(1)Rx1010,其它其波形如图2-1所示。2因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PxRx。由图2-8可见，Rx的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此112Px0oSa12221Sa20Sa2-0422P1Pxd!,或SRx01222习题设信号x(t)的傅立叶变换为X(f)=亦彳f。试求此信号的自相关函数RMT)。解：x(t)的能量谱密

6、度为qf)=x(f)2=|sinf|1,10其自相关函数RXG(f)ej2fdf1010,其它习题已知噪声nt的自相关函数Fn-e1，k为常数2(1)试求其功率谱密度函数Pnf和功率P；(2)画出Rn和Pnf的曲线解：(1)Pn(f)Rn()ejdk2k2(2f)2PRn0k2(2) 尺()和Pnf的曲线如图2-2所示1)习题已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:R()1,11试求X(t)的功率谱密度Px(f)并画出其曲线。解：详见例2-12习题已知一信号x(t)的双边功率谱密度为f10kHZPx(f)104f2,10kHZ0,其它试求其平均功率。解：PPx(f)df

7、10*10342010fdff32二2*104*3100|*1°8习题设输入信号x(t)波器(见图2-3)上，RC=解：高通滤波器的系统函数为H(f)=X(t)2cos(2t输入信号的傅里叶变换为et/t0,将它加到由电阻0,t0。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。R和电容C组成的高通滤),X(f)=j2f1j2f输出信号y(t)的能量谱密度为t图2-3RC高通滤波器Gy(f)Y(f)2X(f)H(f)R1(R)(1j2fCj2f习题设有一周期信号y(t)=dx(t)/dt式中，x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).解：输出信号

8、的傅里叶变换为丫(f)=*j2f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2f习题设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为n°的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。2解：参考例2-10习题设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为n°的高斯白噪声时，试求2(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC低通滤波器的系统函数为2H(f)=2j2fLj2fC122142f2LC输出过程的功率谱密度为P0()R()H()2n。1212LCCno对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关

9、函数为Ro()Cexp(ClI)04Ll(2)输出亦是高斯过程，因此Cn。4L2R°(0)R0()&(0)习题若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为匹的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。2解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程%由题可知E(y(t)=0,2yR0(0)4RC所以输出噪声的概率密度函数Py(X)2RC一exp(n。2x2RC)no习题设随机过程(t)可表示成(t)2cos(2t)，式中是一个离散随变量，且p(0)1/2、p(/2)1/2，试求E及R©1)。解.E(1)1/2*2cos(20)1/2*2

10、cos(2/2)1;R(0,1)E(0)(1)1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2习题设Z(t)XoswotX2Sinwot是一随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有2均值为0、方差为的正态随机变量，试求：2(1) EZ(t)、EZ(t)；(2) Z(t)的一维分布密度函数f(z)；B(t1，t2)和只仙讥2)。解：(1)EZ(t)EX1cosw0tX2sinw0tcosw0tEX1sinw0tEX20因为X1和X2是彼此独立的正态随机变量，X1和X2是彼此互不相关，所以EX1X202EZ(t)22EX1cosw0tX2222222sinw0tcos

11、w0tEX1sinw0tEX2又EX10.D(xjEXjEX22EX12同理EX2222代入可得EZ(t)又因为Z(t)是高斯分布可得DZ(t)2fZ(t)右exp(B(t1,t2)R(t1,t2)EZ(t1)EZ(t2)R(t1,t2)E(X1cosw0t1X2sinw0t1)(X1cosw0t2X2sinw0t2)22E(X1cosw°t1cosw°t2X2sinwsinw°t2)2cosw0(t1t2)由EZ(t)=0；EZ(t)cosw0令t1t2习题求乘积Z(t)X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与丫(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关

12、函数分别为Rx()、Ry()。解:因X(t)与Y(t)是统计独立，故EXYEXEYRz()EZ(t)Z(t)EX(t)Y(t)X(t)Y(t)EX(t)X(t)EY(t)Y(t)Rx()Ry()习题若随机过程Z(t)m(t)cos(w0t)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数1,10Rm()1,01Rm()为0,其它是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。(1) 证明Z(t)是宽平稳的；(2) 绘出自相关函数Rz()的波形;(3) 求功率谱密度Pz(w)及功率S解：(1)Z(t)是宽平稳的EZ(t)为常数;EZ(t)Em(t)cos(w0t)Em(t)Ecos(wot)2c

13、os(w0t0)dEZ(t)0Rz(ti,t2)EZ(ti)Z(t2)Em(ti)cos(woti)m(t2)cos(Wot?)Em(t1)m(t2)Rm(t2t1)只与t2t1有关：令t2t1Ecos(w0t1)cosw0(t1)Ecos(w0t1)cos(w0t1)cosw0sin(w0t|)sinw02cosw0*Ecos(w0t1)sinw0*Ecos(w0t1)sin(w0t1Em(t1)m(t2)Ecos(wot1)cos(Wot?)cosw0*E-1cos2(w0t1)021cos(w0)所以RZ(t1,t2)2cos(w0)*Rm()只与有关，证毕（2）波形略;12(1)cos

14、(w°),1011Rz()qCOSM。)*Rm()2(1)cos(w°),010,其它Pz(w)Rz()而Rz（）的波形为可以对Rm（）0Rm''()(1)2()(1)Pm(w)Sin(w/2)w/22wS%)2)功率S:SRZ(0)1/2习题已知噪声n（t）的自相关函数）旦exp(a2），a为常数:求Pn(w)和S;解:exp(a因为2a2wa2所以Rn()texp(pn（w）2a22waSR(0)t习题（t）是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2S的周期函数。在区间（-1，1）上,该自相关函数R（）1。试求（t）的功率谱密度P（w）解：见第2.4题

15、R（12wSa2(w)因为Tn(t2n)所以(t)R()*T(t)据付氏变换的性质可得P（W）Pr(w)F(w)(t2n)(wn)P(w)FR(w)F(w)故2wn(wn)Sa2()*(wn)习题将一个均值为0，功率谱密度为为no/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为Wc、带宽为B的理想带通滤波器上，如图求滤波器输出噪声的自相关函数;(1)（2）解：写出输出噪声的一维概率密度函数。(1)2P/w)H(w)P(w)匹H(w)2(2)G2w0（W）因为W0Sa(w0G2B(w)BSa(B)又H(w)G2B(w)*(wwC)(w由付氏变换的性质可得FO(w)r（Eo(t)所以(wwJWc)(WWc)1

16、COS(Wc)1F1(w)*F2(w)n°n°0H(w)0G2b22)n0BSa(B)cos(wC)(w)*(wWc)(WWc)0；R(0)Eo2(t)Bno；R()R(0)R()Bn。E2o(t)02又因为输出噪声分布为高斯分布fo（t）可得输出噪声分布函数为exp(t22Bn0习题设有RC低通滤波器，求当输入均值为0,功率谱密度为no/2的白噪声时,输出过程的功率谱密度和自相关函数解:H(w)jwC1jwC1jwRC1,2FO(w)R(w)H(w)(1)no*121(wRC)2exp(a因为2aa2Po(w)所以n0*122(wRC)1Ro()4RCexp(RC习题将均

17、值为0,功率谱密度为n0/2高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,（1）求输出噪声的自相关函数；（2）求输出噪声的方差。解:RH(w)RjwLR0(w)R(w)H(w)(1)2E*皮2R2(wL)2R&()4Lexp()noEn°(t)0；7R(0)R()R(0)晋Tb习题设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为Tb，脉冲幅度取1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证:R(t)0,(1)自相关函数Tb(2)功率谱密度P(w)TbSa(fTb)解:R()E(t)(t) 当IITb时，(t)与(t)无关，故R()=

18、0 当Tb时，因脉冲幅度取1的概率相等，所以在2Tb内，该波形取-11-1、11、-11、1-1的概率均为4。(A)波形取-1-1、11时,1/41人、疗T亠R()E(t)(t)-*1在图示的一个间隔Tb内，4(B)波形取-11、1-1时，在图示的一个间隔Tb内,R()Tb1E(t)；*(TbTbTbT.R()E(t)(t时，)2*2*1(%HU44TTA_其中2为时域波形的习题有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，（t）是平稳的，求1（t）与2（t）的互功率谱密度的表示式。（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）解：l(t)(t)hi()d2(t)(t)h2()d00R2(t1,ti)El(t|)2(t1)E(ti)hi()d(ti)d00hi(此()R()dd00Pl2(W)FU)ejwdddhi()R()ejwd所以令Pi2(w)h()ejwdh()ejwdR(')ejwH1*(w)H2(w)P(w)00习题若（t）是平稳随机过程，自相关函数为R（），试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。解