重庆市南开中学2019届高三考前第一次模拟考试数学(理)试题

1、重庆南开中学高2019级考前模拟测试卷理科数学能力测试数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。3 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4 所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。5 考试结束，将试卷和答题卡一并收回。一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求.1.（1、2i）2=（）

2、A.32、2i3兀3兀B.3一2、2iC.-1-22iD.-1Z2i2cot()=()25A3兀3:3兀A.tanB.cotC.-cotD.-'tan-55553.在等差数列an中，a1a3知=27,则其前11项的和$1=（）A.99B.198C.聖D.1284三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相邻排列的概率是（）A.丄B.丄C.丄D.-30JJ1055.已知ABC的外心为O,AOAB=8,则|AB|=()A.8B.4C.2D.16.代B为ABC的两内角，则“AB”是“cos2A:cos2B”的如下哪个条件（）A.充分不必要B.必要不充分C.不

3、充分不必要D.充分必要7在ABC中，A=90；,B60一椭圆与一双曲线都以B,C为焦点，且都过A,它们的离心率分别为e,仓，则e,+e2的值为（）A.2、3B.、3C.3D.f(x)满足f(x)=f(x2),当x3,4时,&定义在上的偶函数正确的是（）1 .A.f（sin）f（cos-）2 2C.f（sin1）：f（cos1）9. 已知y=f（x）为上的连续可导的函数，当1f（x）0的根的个数为（）xA.0B.110. 如题10图，面ABC_:-,为AB的中点,f(x)=2x,则下列不等式中nB.f(sin)f(cos)3 333D.f(cos-)：f(sin)22x=0时，f'

4、;(x)丄也0,则关于的方程x|AB|=2,.CDB=60,为内的动点，且到直线CD的距离为,3,则.APB的最大值为()A.30°B.60°C.90°D.120°二、填空题：111.不等式一.x的解集是x本大题共5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上y沁I12已知实数x,y满足不等式组x2,则目标函数z=x3y的最大值为BiAiy-0C113.如题13图，在正三棱柱ABC-ABQ,中，已知AB=1,B题13图A点在棱BB1上，且BD=1,且AD与平面AAC1C所成的角的正弦值是.C14设函数f(x1)=xx2x3xn(x=0,1),且f(x)中

5、所有项的系数和为an,则lim竺=.2n1*15.把数列(nN)的所有项按照从大到小的2n1原则写成如题15图所示的数表，其中的第k行有2k4个数，第k行的第个数(从左数起)记为A(k,s),则A(10,495)=.13171151519117丄11丄191131211292三、解答题：本大题共6小题，共75分.(各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程)题15图16. (本小题满分13分)A已知A、B、C为ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c,若m=(2cos,tanA),A1n=(-cos,cotA),且mn.22(I)求角A;(n)若bc=4,.；ABC的面积为、3,求17

6、. (本小题满分13分)在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”某考生已确定有6道题是正确的,其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生：(I)得50分的概率；(n)设该考生所得分数为，求的数学期望.P题18图CFD18. (本小题满分13分)如题18图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,PD_面ABCD,PD2,E,F分别为BC,AD的中点.(I)求直线DE与面PBC所成的角；(n)求二面角P-B

7、F-D的大小.19. (本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(x1)(x1)2，其中，为实常数且a=0.(I)求f(x)的单调增区间；a(n)若f(x)Y对任意x(1J恒成立，求实数的取值范围20. (本小题满分12分)已知曲线C上任意一点M至惊F(1,0)的距离比它到直线X-2的距离小1.(I)求曲线C的方程；(n)直线l:yxb与曲线C相交于A,B两点，P(1,2),设直线PA、PB的斜率分别为k1,k2,求证：k1k2为定值.21. (本小题满分12分)设各项为正的数列Gn!满足:ai",也=(n1)an!,令d二知二n2ai厶厶anan书a2a31-d(n_2).an1

8、(I)求an；111(n)求证：(1)(1)(1):：:4(n_1).bib2bn数学(理工类)参考答案一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分.15DDACB610DACAB10提示：空间中到直线CD的距离为.3的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，所以在内的轨迹为一个椭圆，为椭圆的中心，3-3,a2,则c=1,于sin60c为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，故为60°.是A,B、填空题：本大题共5小题，共25分.XX£-1或Ocxc1；12.4;13.20111cosA,所以A=120：2=i：'3,得be=4,三、解答题：本

9、大题共6小题，共75分.1 2a116.解：(I)由mn,得-2cos1=2 2211(n)由SABCbcsinAbesin120"22a2=b2c2-2bccosA=b2c2be=(bc)2-be=12,所以a=2、,313分17.解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件代“有一道可判断一个选项是错误的”选择对为事件B,“有一道因不理解题意”选择对为事件C,则111P(A)亍叶严二11111(I)得50分的概率为卩=丄丄丄丄=丄；5分223448(n)的可能值是30,35,40,45,5011231得30分的概率为P;6分22348得35分的概率为p=c2X-x-+.

10、8分223422342234481123111131112117得40分的概率为p=汉一x_x：_+c；汇一沃一沃一+c；一沢一汇一汉一=一10分22342234223448'得45分的概率为18.解:r11131121“11117PC222342234223448卫11771455E&：=30(3540)4550-8484848(I)取PC的中点N,连接DN,EN,12分13分19.解:PND4分CMA7分13分2分)4分时6分12分(X)°此时f(x)的单增区间为(-1上单调减，在(-1得°:=ln:)上增当a:0时，f(x)在(-1(x)0,此时f(x

11、)的单调增区间为(-1,=),二PM_BF10分2二52当a：0时，2(x1)-a,即x-1)由(I)知，当a0时，f(x)在(-1,：)单调增，而当x>0时，f(x)>-:=所以此时f(x)无最小值，不合题意7分-EBa所以f(x)恒成立，即f(-12_旦=aIn2-PD_面ABCD,二PD_BC,又由题意，有BC_DCBC_面PDC,面PBC_面PDC,又PD=DC知DN_PC,DN_面PBC,所以.DEN为直线DE与面PBC所成的角由题意DN=$2,DE之点I所以sinDEN二2=0,V55所求角为arcsin105)过作DM_BF,交BF的延长线于M,连接PM,幕PD_面A

12、BCD,所以PM在面ABCD内的射影为DM所以.PMD为二面角P-BF-D的平面角由Rt=DMF与RtBAF相似，所以列二匚二DMABBF乞e=_2e2乞a:02_空10分2PDL所以tan._PMD5DM所求二面角大小为arctan、_5a2(x1)2af(x)2(x1)X+1x+1因为f(x)的定义域为(一1：),所以x10当a0时12(n(n(I(I)由题意，M到F(1,0)距离等于它到直线x=-1的距离，由抛物线定义，知C为抛物线，F(1,0)为焦点，x=-1为准线,20.解:(n)设A(xi,yi),B(X2,y2)y=_X+b22联立2=x_(2b+4)x+b=0J=4x2x(x2

13、=2b4,XrX2=b6分kik2yi2y22(yi2)(X21)+(y22)(Xi1)十=X|-1X?-1(Xi-1)(X2-1)yx2y12x22*yx2y2x+2(X11)(X21)WX2yx1(y)=2(xx)4(X1-1)(x2-1)10分x2(_为b)x"_x2b)_(_为b_x2b)_2(x1x2)4(X1-1)(x2-1)-2x1x2(b-1)(论x2)4-2b(X11)(X21)-2b2(b-1)(2b4)4-2b(X11)(X21)0所以k1k2为定值12分an1_n1anna丄n+1n+121解：(i)令t,则nt1=t或t-1(舍去)即antn annandn-1a?3a?2.=III=an4n-1an_2n-2a22a11将以上各式相乘得：an=n.4分111(n):bn=门2印二飞2(n_2).a2a3anJ211小1 bn二n21丐二2(n-2).n2232(n-1)=务12丄n23(n-1)n24丄丄1L=b.±(n1)22232