2.1常数项级数的概念和性质ppt课件

1、 无穷级数是微积分的一个不可缺少的部分，是无穷级数是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用自然科学和工程技术领域有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：题展开讨论：级数的收敛性判定问题，级数的收敛性判定问题，把已知把已知函数表示成级数问题，函数表示

2、成级数问题，级数求和问题。级数求和问题。第十一章第十一章 无穷级数无穷级数一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积n23 naaaA 21即即 n10310003100310331. 21a21aa naaa 21R11.1 11.1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质问题的提出问题的提出3.常数项无穷级数的概念常数项无穷级数的概念,321nuuuu其中第其中第 项项 叫做级数的一般项。叫做级数的一般项。一般地，如果给定一个数列一般地，如果给定一个数列 则由这数列构成

3、的表达式则由这数列构成的表达式nuuuu3211nnunnu叫做常数项无穷级数，记为叫做常数项无穷级数，记为即即nuuuu3211nnu4.(常数项常数项)无穷级数的部分和无穷级数的部分和令令这样所得到的数列这样所得到的数列 叫做级数的部分和数列叫做级数的部分和数列, 叫做级叫做级数的部分和数的部分和nnuuusuuusuusus2132132211,1 ns ns5.5.级数收敛的概念级数收敛的概念当级数收敛时，称当级数收敛时，称211nnniinnuuussr为级数的余项，这时为级数的余项，这时 为近似值产生的误差为近似值产生的误差nnrSS, 1nnu叫做这级数的和；假如叫做这级数的和；

4、假如 没有极限，则称无穷级数没有极限，则称无穷级数 定义定义 如果级数如果级数 的部分和数列的部分和数列 有极限有极限 , 即即1nnu1nnusssnnlim则称无穷级数则称无穷级数收敛，这时极限收敛，这时极限发散。发散。nssns例例 1 1 讨讨论论等等比比级级数数( (几几何何级级数数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的的收收敛敛性性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim 收敛,1时时当当 q nnqlim nnslim 发散时时如果如果1 q,1时时当当 q nasn

5、发散,1时时当当 q aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散 综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. . )12)(12(1 nnun解解),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn),1211(21 n)1211(21limlim nsnnn,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛例例3 证明级数证明级数 是发散的。是发散的。n321二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质性

6、性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. . 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性性质质2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, , 则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. . 结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu

7、21,kknss knknnnnss limlimlim 则则 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性质性质 4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .事实上，对级数事实上，对级数 1nnu任意加括号任意加括号 )()()(1111211kkpppppuuuuuu若记若记kkppkuub 11则加括号后级数成为则加括号后级数成为 1kkb记记 1nnu的部分和为的部分和为ns 1kkb的部分和记为的部分和记为k 注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去

8、括弧后所成的级数不一定收敛. ) 11 () 11 (例例如如 收敛 1111 发散那么那么kpks 由数列和子数列的关系知由数列和子数列的关系知kk lim必定存在必定存在nns limkk lim且且存在，存在，nns lim推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散, ,则则原原来来级级 数数也也发发散散. . 1nnus证明证明,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 如果级数如果级数 收敛，则它的一般项趋于零，即收敛，则它的一般项趋于零，即1nnu0limnnu性质性质5级数收敛的必要条件）级数收敛的必要条件）注注1级数的一般项趋

9、于零并不是级数收敛的充分条件。级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。2假设假设 ，则级数，则级数 发散。发散。3假设假设 ，则级数，则级数 不一定收敛。不一定收敛。1nnu0limnnu1nnu0limnnu注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1433221nn例例如如 发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. . n131211例例如如调调和和级级数数?,0lim但但级级数数是是否否收收敛敛有有 nnu )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm21每每项项均均大大于于2mm

10、项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .小结小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ; 2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ; 3 3. .按按基基本本性性质质. . 11.2 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的

11、近似值。但是除了少数几个特殊法求出它的和或和的近似值。但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法级数的敛散性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1. 正项级数概念正项级数概念各项都是正数或零的级数

12、称为正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.2. 正项级数的基本定理正项级数的基本定理定理定理1 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数正项级数收敛的充要条件是它的部分和数 列有界。列有界。结论结论:正项级数的部分和数列有界正项级数的部分和数列有界, 则正项级数一定则正项级数一定 收敛收敛; 反之反之, 若正项级数的部分和数列无界若正项级数的部分和数列无界, 那那么么 正项级数一定发散正项级数一定发散.定理定理2比较审敛法）比较审敛法） 设设 和和 都是正项级数，都是正项级数，且且 。若级数。若级数 收敛，则级数收敛，则级数 收敛；若级数收敛；若级数 发散，则级数发散，则级数 也发散。也发散

13、。1nnu1nnv1nnv1nnu1nnu), 2 , 1(nvunn1nnv3. 正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法推论推论1 设设 和和 都是正项级数都是正项级数, 且存在自然数且存在自然数N, 使当使当 时有时有 成立成立,若级数若级数 收敛，收敛，则级数则级数 收敛；若级数收敛；若级数 发散，则级数发散，则级数 也发散。也发散。1nnv1nnu1nnu)0( kkvunnNn 1nnv1nnu1nnv例例 1 1 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p解解, 1 p设设,11nnp .级级数数发发散散则则 P, 1 p设设由图可

14、知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211oyx)1(1 pxyp1234 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. . 比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，所要求的不等式，而这种不等式常常不

15、易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法审敛法例例 2 2 证证明明级级数数 1)1(1nnn是是发发散散的的. 证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发散发散级数级数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 假如假如那么那么(1) (1) 当当时时, , 两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，假设时，假设收敛收敛, , 那么那么收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 假设假设 1nnv发散发散, , 那么那么 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明证明lvunn