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文档简介

1、 例题例题2.2 求下列向量矩阵的的秩，并判断它求下列向量矩阵的的秩，并判断它们是不是线性相关的。们是不是线性相关的。（1）（2）（3n维基本单位向量组维基本单位向量组123121= 0= 1= 1-112 123= 01 -1 2= 1 01 0= ， ，（， ， ， ）, ,（1 1, , 1 1, , 1 1, , 1 1）12,n 123( , , )A 121= 011-1 1212001解：(1)记| 0A 则因为 ，所以行列式的秩小于3，明显的，A的2阶行列式故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。容易求得容易求得r(A)=3,因此向量组线性无关。因此向量组线性无关。1230 11

2、 21 0101 111 (3) 因为因为1, 2 ,., n 对应的矩阵是单位矩对应的矩阵是单位矩阵阵, 从而其秩为从而其秩为n，故该向量组是线性无关的，故该向量组是线性无关的 (2)记记1122233312 ,2 ,2 123123102(,),(,),210021ABP 123, 例题例题2.3 设设 线性无关，且线性无关，且123, 证明：证明： 线性无关。线性无关。解：只对列向量的情形证明。记解：只对列向量的情形证明。记据已知条件知，据已知条件知，B=AP 而矩阵而矩阵P是可逆是可逆123, 的，因而，的，因而，r(A)=r(B)，因而，因而线性无关。线性无关。定理定理2.1 如果向

3、量组如果向量组1, 2, ., t可以由可以由1, 2,., s线性表示线性表示, 那么那么r1, 2, ., t r1, 2,., s推论推论2.1 如果向量组如果向量组1, 2, ., t可以由可以由1, 2,., s线性表示线性表示, 且且t s, 则向量组则向量组1, 2, ., t一定线性相关。一定线性相关。推论推论2.2 如果向量组如果向量组1, 2, ., t与向量组与向量组1, 2,., s等价等价, 那么那么r1, 2, ., t =r1, 2,., s推论推论2.3 如果向量组如果向量组1, 2, ., t与向量组与向量组1, 2,., s都线性无关且相互等价，则都线性无关且相互等价，则s = t例例2.4. 设有两个向量组设有两个向量组 112223, 331123, 123, 例例2.5 设向量组设向量组 可以由向量组可以由向量组112223331线性表示，并且123, 证明： 线性无关的充分必要条件是123, 线性无关。线性无关。123, 123, 证明：由已知 可以由 线性表示1231232()三个式子相加得1231231()2 即 。因而，同时由条件可以解出 ；将123, 1123221233312311()21()21()212

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