曲线的凹凸与拐点87628ppt课件

1、6.4 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从虽然都是从A点单调上点单调上升到升到B点，但它们的弯曲方点，但它们的弯曲方向却不一样。向却不一样。 L1 是是“凹凹(上凸上凸)”弧，弧，L2是是“凸凸(下凸下凸)”弧弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们既有凸弧，也

2、有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。K切=f(x)0y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方.凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方.K切=f(x) 0 0 , ,则则 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 的的 图图 形形 是是 凸凸 的的 ; ;( ( 2 2 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 时时，,0 y0,) 曲 线 在为 凸 的 ；.点点( (0 0, ,0 0) )是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法连连 续续 曲曲 线线 上

3、上 凹凹 凸凸 的的 分分 界界 点点 称称 为为 曲曲 线线 的的 拐拐 点点 .1.1.定义定义注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .2.2.拐点的求法拐点的求法证证,)(二二阶阶可可导导xf,)(存存在在且且连连续续xf , )()(0两两边边变变号号在在则则xxfxf ,)(,(00是是拐拐点点又又xfx,)(0取取得得极极值值在在 xxf 由由可可导导函函数数取取得得极极值值的的条条件件, ,.0)( xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐

4、点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不不是是拐拐点点点点不不变变号号两两近近旁旁xfxxfx 例例2 24 43 3求求 曲曲 线线 y y = = 3 3 x x- - 4 4 x x+ + 1 1 的的 拐拐 点点 及及凹凹 、 凸凸 的的 区区 间间 . .解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy令令 y y = = 0 0, ,.32, 021 xx得得x)0 ,(),32( )32,0(032)( xf )( xf 00凸的凸的凹的凹的凸的凸的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32,0,0,( 凹凹凸凸区

5、区间间为为方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的的拐拐点点线线是是曲曲那那末末而而且且的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导在在设设函函数数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2,0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f,0 2)47( f,0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意

6、: :二阶导数变号，二阶导数变号，是是拐拐点点则则)(,(00 xfx例例5 5.3的的拐拐点点求求曲曲线线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,( y内内但但在在(, 0 ; 曲 线 在上 是 凸 的,0,),0( y内内在在0,).曲线在上是凹的.)0,0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 例例6求曲线求曲线)0(sin tteyextt的拐点的拐点解解tttetetedxdycossin ttcossin )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )cos(sintett )sin(cos022

7、 dxyd令令ttsincos 4 t时时当当40 t022 dxyd时时当当 t4022 dxyd)21,(44 ee是拐点是拐点例例7)()(, 0)(1,11121iniiiniiniinxfpxpfxfpppp 则则若若是一组正数，且是一组正数，且设设Jensen不等式不等式证证 niiixpx10记记maxmin0iixxx 则则由由Taylor公式，得公式，得20000)(2)()()()(xxfxxxfxfxf 0)( xf)()()(000 xxxfxfxf ), 2 , 1()()()(000nixxxfxfxfii 各式乘以各式乘以ip再相加，得再相加，得)()()(101

8、0101 niiniiiniiniiipxxpxfpxfxfp=1=10 x )(0 xf niiiniiixfpxpf11)()(的拐点与凸向区间求曲线31xxy323)1(31xxxy解32)1(334xx8例3532) 1)(34(92) 1(34 xxxy35)1(964xx不存在。时，；时，当yxyx 1023 443 0 0 23 1 3f(x)(x)fx不存在列表讨论如下：。和拐点是内向上凸；内向下凸，在区间及曲线在区间)443,23()0, 1 (23, 1,231,3思考题思考题设设)( xf在在),(ba内内 二二 阶阶可可 导导， 且且0)(0 xf，其其 中中),(0bax ， 则则,(0 x)(0 xf是是 否否 一一定定 为为曲曲 线线)( xf的的 拐拐 点点？ 举举例例 说说明明 .思考题解答思考题解答故故,(0 x)(0 x