数学分析173多元函数微分学之方向导数与梯度

1、第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度定义1:设三元函数f在点P0(R,y0,z)的某邻域U(P0)?R3有定义，l为从点Po出发的射线，P(x,y,z为l上且含于U(P0)内的任一点，以p表示P与Po两点间的距离.若极限+f(P)-f(P0)=皆?存在,则称此极限为函数f在点P。沿方向l的方向导数，记作p,fi(Po)或fi(X0,yo,Z0).d若f在点P。存在关于x的偏导数，则f在P。沿x轴正向的方向导数为：士”上P；当l的方向为x轴的负方向时，则有po=-po.000000dexcex定理17.6:若函数f在点R(x0,y0m)可微，则f在点P0沿任一方向l的方向导数都存在，且fl(P

2、0)=fx(P0)COS%+fy(P0)COS/fz(P0)cos%其中cos/cos8cos丫是方向l的方向余弦.'x-x0=Ax=pcosa证：设P(x,y,z为l上任一点，于是有y-y0=Ay=pcos6z-z0=Az=pcosT:f在点P0可微，.f(P)-f(P)=fx(P0)Ax+fy(P0)Ay+fz(P0)Az+o(p),两边除以p得：f(P)-f(P0)=fx(F0)cosa+fy(F0)cos(3+fz(F0)cos廿0-立，ppfl(F0)=limf(P)-f(P°)=fx(P0)cosa+fy(F0)cos/fz(F0)cos.Tp注：二元函数f(x,

3、y)对应的结果是：fl(P0)=fx(x0,y0)cos%+fy(x0,y0)cos&其中,(3是平面向量l的方向角.例1:设f(x,y,z)=x+y+z3,求f在点R)(1,1,1)沿方向l:(2,-2,1)的方向导数.解:fx(R)=1；fy(P0)=2y|(w)=2;fz(R)=3z2|(w)=3;又cos0C=2=2;cos(3=-2；cos产1;22(-2)2123'.3'r35fl(P0)=fx(Po)COSo+fy(p0)cos/fz(Po)COS产2-+1=1.333例2:讨论f(x,y)='：0：tx"x<g时在原点处的方向导数

4、.Q其余部分解：f在原点不连续，所有不可微.但在始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上，f的函数值恒为0.根据方向导数的定义，在原点处沿任何方向l都有f|(0,0)=0.注：例2说明：(1)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，不是必要条件；(2)函数在一点连续既不是方向导数存在的必要条件也不是充分条件.定义2:若f(x,y,z在点P0(x0,y0,z0)存在对所有自变量的偏导数，则称向量(fx(P0),fy(P0),fz(P。)为函数f在点Po的梯度，记作：gradf=(fx(P0),fy(P0),fz(P0).向量gradf的长度(或模)为：|gradf|=，f；

5、(P。)+f：(P0)+f；(P°).若记l方向上的单位向量为：lo=(cosO,cos8cos由则方向导数公式可写成：fl(P0)=gradf(P0)lo=|gradf(Po)|cos0,这里0是梯度向量gradf(P0)与10的夹角.因此当仁0时，fi(R)取得最大值|gradf(Po)|,即当f在点P。可微时,f在点P0的梯度方向是f的值增长最快的方向，且沿这一方面的变化率就是梯度的模；而当1与梯度向量反方向(芹©时，方向导数取得最小值-|gradf(Po)|.例3:设f(x,y,z)=xy+y/,求f在Po(2,-1,1)的梯度及它的模.解：由fx(Po)=y2|(

6、2,-1,1)=1；fy(Po)=2xy+Z(2,-1,1)=-3;fz(Po)=3y由山尸田得，f在P0的梯度gradf=(1,-3,-3),模为：，12+(3)2+(-3)2=<19.习题1、求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2船方向1(方向角分别为60?,45?,603的方向导数.解：:Ux(1,1,2)=y2-yz|(i,i,2)=-1;uy(1,1,2)=2xy-xz(1,1,2)=0;Uz(1,1,2)=3-xy|(i,i,2)=11;cos60?=1;cos45i=2;一11fl(1,1,2)=(-1)x-+0+11x-=5.2、求函数u=xyz在点A(5,1,2

7、班至U点B(9,4,14»勺方向AB上的方向导数.解：:ux(5,1,2)=yz|(5,1,2)=2;Uy(5,1,2)=xz|(5,1,2)=10;Uz(5,1,2)=xy|(5,1,2)=5;cos=，°95=;cos=;cos产12;(9-5)(4-1)(14-2)131313二fl(5,1,2)=2X-+10X-+5X-=98.'/131313133、求函数u=/+2y2+3z2+xy-4x+2y-4小A(0,0,0)及B(5,-32)的梯度以及3它们的模.解：ux(0,0,0)=2x+y-4|(0,0,0)=-4;Ux(5,-3,2)=2x+y-4|(5,

8、-3,z3)=3;3Uy(0,0,0)=4y+x+2|(0,0,0)=2;Uy(5,-3,；)=4y+x+2|(5,-3Z3)=-5;32、Uz(0,0,0)=6z-4|(0,0,0)=-4;Uz(5,-3,-)=6z-4|(5,-3,2/3)=0;gradu(0,0,0)=(-4,2,-4)|gradu(0,0,0)|=.(-4)222(-4)2=6;gradu(5,-3,2)=(3,-5,0),|gradu(5,-3,|)|二.,32(-5)202=34.334、设函数u=ln1j,其中r=v(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,求u的梯度，并rjJ指出在空间哪些点上等式|gradu|

9、=1成立.du：:r1x-aa-xdu：:rb-ydufrc-z:Ux=-=；Uy=T；Uz=-；dr.xrrrdr.yrdrzzr.gradu=(W,整，弩).当|gradu|=1时，由rrr>!WW=J222(a-x)(b-y)(c-z)(x-a)2(y-b)2(z-c)2=1,即空间以(a,b,c)为球心，以1为半径的球面上的所有点，都有|gradu|=1.2225、设函数口=0-=-1，求它在点(a,b,c)的梯度.cab解：-Ux(a,b,c)=-T|(a,b,c)=-2；uy(a,b,c)=-yyr|(a,b,c)=-；aabb2z,2222、Uz(a,b,c)=|(a,b,

10、c)=-；gradu(a,bc)=(,-,-).ccabc6、证明：(1)grad(u+c)=gradu,(c为常数)；(2)grad(«u+的)=ogradu+例radv;(3)grad(uv)=ugradv+vgradu(4)gradf(u)=f'(u)gradu.证：设u=u(Xi，,Xn),v=v(Xi，,Xn)；贝U(1)grad(u+c)=(Hi,uxn)=gradu.(2)grad(ou+M=(ouxl+Wx1,，ouxn+(Xn)=o(ux1,uxn)+Rvx1,vxn)=ogradu+例radv.(3)grad(uv)=(vux1+uvx1，,vuxn+uv

11、xn)=u(vx1，,vxn)+v(ux1，,uxn)=ugradv+vgradu.(4)gradf(u)=(f'(u)ux1,f'(u)uxn)=f'(u)gradu.7、设r=，x2+y2+z2,试求：(1)gradr;(2)grad1.r解:(1)q=x;ry=y;rz=-;二gradr=1(x,y,z).rrrr(2)令u=1,贝Uux=durx=-23-;ry=-Jr;=-1;grad1=-；(x,y,z).rdrrrrrr8、设u=x2+y2+z2-3xyz,试问在怎样的点集上gradu分别满足：(1)垂直于x轴；(3)平行于x轴；(3)恒为零向量.解:ux

12、=2x-3yz;iy=2y-3xz;iz=2z-3xy;gradu=(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy).当gradu垂直于x轴时，.x轴的方向向量为(1,0,0),(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)(1,0,0)=2x-3yz=0即2x=3yz.当gradu平行于z轴时，生著二生符二空衿(常数)，即2x-3yz=c,2y=3xz,2z=3xy.(3)当gradu恒为零向量时,(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)=(0,0,Q)即2x=3yz,2y=3xz,2z=3xy解得x2=y2=：=：9、设f(x,y)可微，l是R2上的一个确定向量.倘若处处有fi(x,y)=0,试问此函数f有何特征？解：若fi(x,y)=fxCOS%+fyCOSB笔即(fx,fy)(coso,cos3)=0,说明函数f在定义域内任一点P(x,yH勺梯度向量与向量l垂直.10、设f(x,y)可微，1i与匕是R2上的一组线性无