数学初中竞赛方程和不等式专题训练含答案

1、数学初中竞赛方程与不等式专题训练一.选择题1 .方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x,y）的组数为（）1 .3B.4C.5D.62 .已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（ab）,按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）A.11平方厘米B.12平方厘米C.24平方厘米D.48平方厘米3 .球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）A. 12B

2、. 16C. 201M-y-1=04.由方程组以少消去y后化简得到的方程是（G-1，4二。_2_2_2_A.2x2-2x-6=0B.2x2+2x+5=0C.2x2+5=0D.24)2D. 2x2x+5=05.某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（A.25本B.20本C. 15本D. 10本6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的“算筹”.算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）.当

3、表示一个多位数时，像阿拉伯计类推.例如3306用算筹表示就是,则2022用算筹可表示为（I11IIIIllimilTTT用加骐式代的小等救码A.C.=117.如图是某汽车公司销售点的环形分布图.公司在年初分配给ABC、D四个销售点某种汽车各50辆.在销售前发现需将AB、CD四个销售点的这批汽车分别调整为40、45、54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动辆次n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）C.17D.18数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百“0”用空位来代替，以此位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万

4、位数用横式表示;8.已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x=3时，该式的值是2008;当x=7时，该式的值是2009,这样的代数式有（A. 0个B. 1个C. 10个D.无穷多个9.对于任意的有理数a,方程2x2+（a+1）x-（3a24a+b）=0的根总是有理数，贝Ub的值为（）A. 1B. 一1C. 2D.010 .已知关于x的方程(x-a)(x-b)-1=0(avb)的两根为p、q(pvq,且pq0),则一定有（A.avpvqvbB.电哈C.D,0)名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.

5、若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口.19 .某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆.如果每辆车刚好坐满(即每个人都刚好有一个座位)，就会余下-14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车，每辆的乘客座位有个.20 .甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝(不足5枝不送)；

6、乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元.解答题上升2灯十了21.解方程组:22.已知关于x的一元二次方程x2+2(k+1)x+k2+2=0有两个实根x1,x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若|x1|Tx4=25,求k的值.23.将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2,第二个数除以2,第三个数减1,第四个数加2,得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59,求这三位数.24.a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c=0的两实根的绝对值；都小于1-求a+b+c的最小值.25.见微知著谈到：从一，个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简

7、单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.例如，ab=1求证：-1=11十包+1证明：原式=1+bab+a-1|l+b+_L_1+bL+b波利亚在怎样解题中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看,他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等式Vab0,b0）,当且仅当a=b时等号成立，它是

8、解决最值问题L的有力工具.X有最小值，最小值是多少?例如：在X0的条件下，当X为何值时,当且仅当x=,即x=1时，x有最小值，最小值为2.请根据阅读材料解答下列问题：(1)已知ab=1,求下列各式的值:1-Ha1,1+l-hb211十炉1十b口(2)若abc=1,解方程ab+a+1bc+b+1ca+c+1=1(3)若正数a、b满足ab=1,求M=的最小值.选择题参考答案1.解：方程变形得：（x+y）2+2y2=34,34与2y2是偶数，x+y必须是偶数,设x+y=2t,则原方程变为：（2t）2+2y2=34,-2t2+y2=17,它的整数解为rt=2Ly=3则当y=3,t=2时，x=1;当y=

9、3,t=2时，x=-7；当y=-3,t=2时，x=7；当y=-3,t=2时，x=-1.原方程的整数解为：(1,3),(-7,3),(7,-3),(-1,-3)共4组.故选：B.2 .解：依题意，得：2/十2匕，签整理，得:(2-)+2,得：ab=24.故选：C.3 .解：分别设三种票买了x、v、z张.则根据题意，得Ox+15y+20z=4SO:x+y+z=40由，得:y=40-x-z,将代入，得：x-z=24.故选：D.4.解:x-y-l=0Cx-L2+(y-nl)2+4=0由，得x=y+1，将代入，得(x-1)2+x2+4=0,化简，得22x-2x+5=0,故选：D.5 .解：设甲种笔记本买

10、了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40-x）本,乙种笔记本的单价是（y+3）元,根据题意，得:&尸125(y+3)=300-68+1E解得：、答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本.故选：C.6 .解：二.各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位,十万位数用横式表示；“0”用空位来代替,2022用算筹可表示为故选：C.7 .解：根据题意可得：互不相邻两点B、D,B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次,两处之和至少16辆次，因而四个销售点调动至少16辆次，又A、B的数量减少，C、D的数量增加，所以从A调11辆到D,从B调1辆到A,调4辆到C,

11、共调整了11+1+4=16辆.综上，最少调动16辆次.故选：B.8 .解：根据题意，得储Hb+49xZ009,由-，得4b+40c=1,a、b、c都是整数，的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选：A.9 .解：方程的4=(a+1)2+8(3a24a+b)=(5a3)2+8b-80,当8b-80时，必定0,即方程必有实根，b1,当b=1时，3a2-4a+1=(3a1)(a1),，十字因式分解得方程为(x-a+1)(2x+3a-1)=0,b=1成立，当b=2时，3a2-4a+b=3a2-4a+2不能因式分解，方程有可能为无理数解，同理可得b=-1以及0时，方程有可能为无理数解

12、，故b的值为1.故选：A.10 .解：设y=(xa)(xb),则此二次函数开口向上，当(xa)(xb)=0时，即函数与x轴的交点为：(a,0),(b,0),当(xa)(xb)=1时，-p、q是关于x的方程(x-a)(x-b)-1=0的两实根,，函数与y=1的交点为：(p,1),(q,1),根据二次函数的增减性，可得：当avb,pvq时，pvavbvq,故一-二vqb当p,q同为负数不合题意,故上不成立，P软故选：C.11.解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计(53-x)支，由题意，得.10x+3X(53-x)&300.解得：xW210，最多可购买电子体温计20支,故选：A.12.解：一

13、半同学是48+2=24人,1号名3=2+1名打电话，2号名4=2+2名打电话，3二也5=2+3名打电话，n号名2+n=24名打电话，所以n=22,48-22=26,该班有女生26名，故选：D.二.填空题(共8小题)13 .解：蜀X1+X2=2009qx1x2=-=287q=7X41xqX1和x2都是质数则只有x1和x2是7和41,而q=1所以7+41与p=336所以p+q=337故填：33714 .解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒,.每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，0x10,0Vy11,0vzW15,且x,y,z都是整数，则10x+9y+6z=108,10

14、8-9y-623(36-3y-22)10-10?-0x10,且为整数,.36-3y-2z是10的倍数,即：36-3y-2z=10或20或30,当363y2z=10时，y=；,0y11,0VzW15,且y,z都为整数,26-2z=3或6或9或12或15或18或21或24,DR-，、（舍）或z=10或z=17（舍）或z=7或z-?（舍）或z=4或z=-（舍）当z=10时，y=2,x=3,当z=7时，y=4,x=3,当z=4时，y=8,x=3当z=1时，y=8,x=3,当363y2z=20时，y=二,.10y11,0VzW15,且y,z都为整数,16-2z=3或6或9或12或15或18或21或24,

15、132（舍）或z=5或z=（舍）或z=2或z=/（舍）当z=5时，y=2,x=6,当z=2时，y=4,x=6,当363y2z=30时，y=1一,.10y11,0VzW15,且y,z都为整数,6-2z=3,制（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6.15.解：设AB,C组调整前的人数分别是心,nc,则AB,C调整后的人数分别是以+1,nc-1,设A,B,C组调整前各组的号码之和分别为wa,wb,世，则A,B,C调整后各组的号码之和分别为wa+27,性+16,世-43,根据题意得-由得，nB=20一_声口_.36.2一37,20即724VWBV740又n/+ns+nc=60nc=40-n/

16、3)兜r-43w产-7=0-5-b40-n-l4。-口且整理得：二?!：.-i.-由得二，.r.!;W+Wx=250056nAv.十,(60+1)(60).又诃二十帮h十WE2-1日3。，岫=1830-(2500-56nA)=-670+56nA.724V-670+56nA740解得1394141056口456nA为正整数，所以nA=25所以本题答案为2516 .解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+(x-50)(a+50)+(x-100)(a+100)+(x-150)(a+150)+(x-200)(a+200)+(x-250)(a+250)+(x-300)(a+300

17、)=308700,化简整理,得7ax+1050x-1050a-227500=308700,两边除以7,得ax+150x-150a-32500=44100,所以(x-150)(a+150)=54100.即10月4日这一天收入54100元.故答案为：54100.17 .解：设第一组x人，第二组y人，第三组(20-x-y)人，由题意得：5x+4y+10(20-x-y)=100100-x=5.x,y为正整数,.100-6y为5的整数倍，.y=5或10或15.x=14或8或2故答案为：14或8或218 .解：设一个窗口每分检出的人是c,每分来的人是b,至少要开放x个窗口;a+30b=30c，a+10b=

18、2x10cMa+5bw5xxxc,由-得：c=2b,a=30c-30b=30b,30b+5b5XxX2b,即35b0,，在不等式两边都除以10b得：x3.5,答：至少要同时开放4个检票口.19 .解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，根据题意知：xy+14=(x+1)y-x-1,得y=x+15,又知xy900,即x(x+15)900,x2+15x-9000,-15+73325-15-73325，仝土、解得：x或x23.43,当x=24时，y=39,xy=936,当x=25时，y=40,xy=1000（不符合题意）即这种客车每辆的乘客座位有39个，故答案为：39.20 .解：因为甲店实行每买5枝送1枝，所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，剩下7枝到乙店购买，用去了7X0.85=5.95,所以小王一共花了：5+5.95=10.95元.故填：10.95.三.解答题（共5小题）.珈/”力孙十/小21 .解：彳二20由得，（x+y）2=9,贝Ux+y=3或x+y=3,与组成方程组所以原方程组的解为22 .解：（1）二原方程有两个实数根,.=2(k+1)2-4(k2+2)=8k-40,解得kn二.(2) x1x2是方程x2+2(k+1)x+k