数学分析教案第十六章多元函数的极限与连续

1、第十六章多元函数的极限与连续教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。教学时数：16学时§ 1 平面点集与多元函数一.平面点集:平面点集的表示：£=（1,力（工）满足的条件.余集成.1.常见平面点集：全平面和平平面:民工：吐口，,二二二：，.，二二二，（工，力>2©+身等.矩形域：皿出小心切|小|邓1.圆域：开圆，闭圆，圆环.圆的个部分.极坐标表示，特别是<2（ko$

2、6）和（rr&加而切.角域：（匕即已三"四.简单域：x-型域和y-型域.2.邻域：圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域，空心方邻域与集（V）|O|xo|。0|厂先|。的区别.二.点集拓扑的基本概念：1 .内点、外点和界点：集合总的全体内点集表示为祉月,边界表示为集合的内点eE,外点至£,界点不定.例1确定集£=（叮）|0（广始+（/2y1）的内点、外点集和边界.例2E=（1,刈04D,。为Dirichlet函数.确定集E的内点、外点和界点集.2 .（以凝聚程度分为）聚点和孤立点：孤立点必为界点.例3E=（冗丁）|丁=时.确

3、定集£的聚点集.x解£的聚点集=£u-1J'.3 .（以包含不包含边界分为）开集和闭集：时称£为开集，£的聚点集c£时称3为闭集.存在非开非闭集.必和空集，为既开又闭集.4 .（以连通性分为）开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5 .有界集与无界集：6 .点集的直径d：两点的距离闾.7 .三角不等式：1彳1（或”内1）4人"产五%74|芥勺i+i乃一以3 .点列的极限：设乌=（%/），4=（"戈）.定义lim月二8的定义（用邻域语言）.例411:三一:：，八一九，一二。：.例5设立为点集

4、3;的一个聚点.则存在£中的点列（月），使上二一一.4 .火中的完备性定理：1 .Cauchy收敛准则：先证（4小）为Cauchy列0工J和片）均为Cauchy列.2 .闭集套定理：P116.3 .聚点原理：列紧性，Weierstrass聚点原理.4. 有限复盖定理:五.二元函数：1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例6求定义域：Inyx>/(二力=/2一;11>/(几力=J/十/7IrO-x+1)3. 二元函数求值:y例7/(xj)=2x-3y”,求/(1，-).例87(xj)=ln(l+x2+ya),求j'(0co$8,0smg).4. 三种特殊函

5、数：(1)变量对称函数：f(x,y)=/&,工),例8中的函数变量对称.变量分离型函数：，(兀J)二.例如2=4，吗2-xy+2x+y+2,/(几历=也毕学二等.但函数2二1+y不是变量分离型函数.具有奇、偶性的函数:§2二元函数的极限一.全面极限与相对极限：1,全面极限lim用月由lim/=W的定义引入.例1用“E-5”定义验证极限例2用“E-定义验证极限f22x-yxy例3/（苞田一/0,全面极限亦称为二重极限工的定义：亦可记为11m/（0）=A.lun(V+=7.P94例1二二-.TT。工+V尸0J(")K(0,0),(工力=(0,0)一P94例2.证明lim

6、/（冗j）=0.（用极坐标变换）（如川2, 相对极限及方向极限相对极限lim/（F）=A和方向极限Ft片免。M/（鼠先+4L%=的定义.黑T斯3, 全面极限与相对极限的关系Th1螃J（尸）=儿4寸D的每一个子集E,只要点F°是E的聚点就有匕一.M.推论1设&C。，片是片的聚点.若极限处/(F)不存在,则极限lim/(f)也不存在.推论2设片旦M,Fq是瓦和片的聚点.若存在极限啊*P)=4,如/=为，但4H乩，则极限11nl/(F)不存在.人mPt"11Ft"MtMi凡。推论3极限lim/阴存在，O对D内任一点列己),£一匕但月父丸,数列仇用)收敛

7、.通常为证明极限血/(F)不存在，可证明沿某个方向的极限不存在,或Pt晶证明沿某两个方向的极限不相等，或证明方向极限与方向有关.但应注意，沿任何方向的极限存在且相等R全面极限存在(以下例5).,上,、1a，：，(3)H(QQ),、m1£(,例4/阮川证明极限如了(见力不存U(W)=。0).在.(考虑沿直线)=束的方向极限).全面极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例5求下列极限：x>u>(*阿下；也>,"；.4, 极限lim/阮j）=加的定义：其他类型的非正常极限，（冗y）T无穷远点的情况.1例6验证tai一：=+b.（划出则2?+3y2二.累次极限：1

8、 .累次极限的定义：定义.xy例7=_7,求在点（0,0）的两个累次极限.P97例6.?-y3例8/Sj）=fT，求在点（0,Q）的两个累次极限.工十例9/（工川=xsin1+>sin1,求在点（0,0）的两个累次极限.yx2 .全面极限与累次极限的关系：两个累次极限存在时，可以不相等.（例9）两个累次极限中的一个存在时，另一个可以不存在.例如函数=xsm一在点（0,。）的情况.y全面极限存在时，两个累次极限可以不存在.例如例8中的函数,全面极限存在，但两个累次极限均不存在.两个累次极限存在（甚至相等）中全面极限存在.（参阅例7）.综上，全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但

9、有以下确定关系.Th2若全面极限lim/（见了）和累次极限而如/（冗）（或另一WjM乐片）珀产用次序）都存在,则必相等.（证）P98.推论1全面极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等.系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2两个累次极限存在但不相等时，全面极限不存在.但两个累次极限中一个存在，另一个不存在R全面极限不存在.§3二元函数的连续性一.二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1. 连续的定义：定义用邻域语言定义相对连续.全面连续.函数J）有定义的孤立点必为连续点中例i川T洛2,2,n1+?n证明函数）（xj）在点（0,。）沿方向1y=做连续.函数的增量：全增量、偏增量.用增量定义连续性.函数在区域上的连续性.2. 二元连续（即全面连续）和单元连续：定义（单元连续）二元连续与单元连续的关系：参阅P101图169.3.