数列题型与解题方法归纳总结

1、知识框架数列的概念两个基J本数列数列的分类!数列的通项公式.函数角度理解1trt>/,f八.、/'数列的递推大系na=d(n之2)an=a1+(n-1)dcn,11n(n-1),Sn=2(7+aj=na1+2dn+am=ap+aq(m+n=p+q)等差数列J产11等差数列的定义a等差数列的通项公式等差数列的求和公式、等差数列的性质a手比数列的定义工an二手比数列的通项公式=q(nan=a>2)n1q数列等比数列J等比数列的求和公式Sn="a1anqa1(1q).1-q1-qqja1(q=1)、等比数列的性质anam=apSq(m+n=p+q)公式法分组求和错位相减

2、求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积、归纳猜想证明数列的应用掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+i=an+d及an+i=qan(d,q为常数)例1、已知an>7两足an+i=an+2,而且ai=1°求an°例1、解,.an+1-an=2为常数:an是首项为1,公差为2的等差

3、数列-an=1+2(n-1)即an=2n-11 .例2、已知aj满足a=an,而a1=2,求an=?2解二=彳是常数12是以2为首项，公比为;的等比数列sLi参考材料an+i=an+f(n)以n=1,2,，(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求ano(3)递推式为an+1=pan+q(p,q为常数)例4、an中，a1=1,对于n>1(nCN)有an=3an+2,求an.解法一：由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3二a11(1-22n-14n-34n-2(2)递推式为an+i=an+f(n)1 1例3、已知aj中,an4F=an+2一,求

4、a2 4n2-11111解：由已知可知an+-an=()(2n1)(2n-1)22n-12n1令n=1,2,(n-1),代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)(an-an-1)因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=4-an+1-an=4,3n"an+1=3an+2-3an+2-an=4,3n1即an=23n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=43,a4-a3=432,，an-an-1=43n-2,a-ai=4(i+3+32+-+r3)=4(

5、1-3：)1一J把n-1个等式累加得：.an=23n-1-1说明只要和f(1)+f(2)+-+f(n-1)是可求的，就可以由参考材料（4）递推式为an+i=pan+qn（p,q为常数）【例5】己如（%中，久V，。=与“+6）-求%就是%+2=（口+8）4+i-aB则可从Q+B二p人二P解得Q,1Qp=-q略解在-工=；%+尸的两边乘以2呻导则<+1=<+1,于是可得于是an+1-aan是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。211例6已知数列a也旷1,电=2,求an22n4中一切=一（4一切）由上题的解法，得：。=3-2（一）33bnQ,1n1nan=方=3（2）一2（3）说明对

6、于递推式%尸p%+q,可两边除以q叫得尚=7+L引辅助数列-，&二F），甑同二+1后用qqqqaqq分析a+pa*p2u+3=3Cl,B=3（5）递推式为an七=pan+qan21解在自p=3+距两边减去u得（“+二a*+J=不（+】4）思路：设an攵=pan+qan,可以变形为参考材料11Sn1-Sn=-an1).(_n_2_n)22E+i是公比为一1,首项为药-为二1的等比数列1and=an-an-121 +1an1=an,亍2nan=2+(n-1)2=2n上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则2nan是公差为2的等差数列。(6)递推式为Sn与an的关系式此类型可

7、利用(n>2)【例7】设%)前n项的和54工-由。求x与的系；(2)试用n表示an。解(1)由乂=4-%-击得Sm+i=4_3tl+i2力-工数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。参考材料2、错项相减法:适用于差比数列(如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列)2.一.q(ii)若已知Sn=pn+qn,则当n取最靠近的非零自然数时Sn最P即把每一项都乘以bn的公比q,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几anM0(i)右已知通项an,则Sn取小U；

8、an1二0项，可求和。2(11)右已知Sn=pn+qn,q一则当n取最靠近一2的非零自然数时PSn最一.1c适用于数列>和<anan1小;数列通项的求法：可裂项为：ananddan1公式法：等差数列通项公式；已知Sn(即a+a2+111等比数列通项公式。an=f(n)求an,用作差大;2、若等差数列an的首项a1<0,公差da0,则前n项和Sn有最小值an_§(n=1)一Sn-Sn_1,(n-2)°已知ail_a2J-_an=f(n)求an,用作商法：anan。等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列an)的首项a1>0,公差d<0,则前n项

9、和Sn有最大值。an-0(i)若已知通项an,则Sn最大u«；©n1-0f(1),(n=1)Yfrf(n-1)八)已知条件中既有Sn还有an,有时先求Sn,再求2口；有时也可直接求若an由一an=f(n)求an用累加法an=(an-an/),(an/-an)HI(a2-a1)十a1(n之2)。参考材料也是等差数列前n和公式的推导方法）.已知a=f（n）求小，用累乘法：20二旦，包工，川三4（n之2）。anananNai已知递推关系求an,用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如an=kan+b、an=kanj+bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为

10、公比为k的等比数列后，再求an；形如an=kan°+kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。（2）形如an=叽的递推数列都可以用倒数法求通项。kanbk（3）形如an由=an的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。（8）当遇到an+-an,=d或包土=q时，分奇数项偶数项讨论，结果an4可能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将和式“中同类项“先合并在一起，再运用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关

11、联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有1 L=”，).n(n1)nn1'n(nk)k%nk，'率111/11、 -2:-2()k2k2-12k-1k11111111kk1(k1)kk2(k-1)kk-1k1111 1=1n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)n11=；(n1)!n!(n1)!2(.

12、n1y'n)=2:1：二2二2卜门7吊-1)nxn1、n.n,n-1、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an(n=1时，a1=S1,n之2时，an=Sn-Sn_1)参考材料3、求差（商）法如：Qn满足1al+a2+2221an=2n52n：二11.解：n=1时，-21=2X1+5,-21=142“a?解：,a3an12*=一a1a2an.123乂a1二3,二an3n5、等差型递推公式一.an_1na1n-11n之2时，-a1+a2+2221声明=2n-15:二2=2n1问14(n=1)一2n1(n_2)由anan=f(n),a1=a0,求an,用迭加法n>

13、2时，a2-a1=f(2)“a3-a2=f(3)两边相加，得：-an-an=f(n).ana1=f(2)+f(3)+f(n)练习1数列满足Sn+Sn+5_can韦，3ai=4,求anan=ao+f(2)+f(3)+f(n)练习1（注意到an由=&4Sn代入得:ST4数列anLa1=1,an=3n/+an(n至2),求an又Si=4,（Sj是等比数列,Sn=4nj-1)n之2时，an=Sn-Sn=3，4n，4、叠乘法例如：数列中，a1=3,包工=,求anann-16、等比型递推公式an=can口+d(c、d为常数，c=0,c=1,d=0)可转化为等比数列，改+x=can/+x）参考材料令

14、(c-1)x=d,x,二为等差数列，2=1,公差为ana12c-1是首项为c-1a1c一1c为公比的等比数列111i+n-1-=-n+1an22.ananaV)c-1anc-1练习1cn-数列On满足a1=9,3an+an=4,求an(an=844尸2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法3,+1)等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以7、倒数法例如：a1=1,an4t=2an,求an1an2n1an211由已知得：=一，一an12an2an111-an1an2下公式对求和来说是有益的。,_,口(口+1)1+2+3+n=-21+3+5+(2n-1)=n2,2n(n

15、+l)(2n+l)1+2+5+n=：1*+2'+梦+/=独尊参考材料和。的J8求数列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n项的2nCn+1)T2G+。本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=1,一n(n+1)个奇数,2=124n=124nCn+1)(n-1)，最后一个奇数为：1+二n(n+1)-1X2=n2+n-12(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒因此所求数列的前n项的和为着写的两个和式相加，然后求和。1鼠=51一4n(ii+1)*14-G?4-n-l)(2)、分解转化法例io、求和：S

16、nuScn+eci+HI+Bncn101例10、解Sn=0C：+3C1n又Sn=3口或十2nC6对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和的J9】求和S=1n2-1)+2-n2-22)+3n2-32)+-+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+-+n3)相加，且运用C：=CF可得2sh=3口(C：+C：+C：)=3n，21kSn=3n2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的参考材料11ri1-n(n+k)knn+k_+川(2n-1)(2n3)11+5-9(2n-l)(2n+3)式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然

17、后错位相减求和.例11、求数列1,3x,5x2，,(2n-1)xn-1前n项的和.解设Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.当"1时，口二1?.B>(2)x=0时，Sn=1.(3)当xw0且xw1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+-+2xn-1-(2n-1)xn.由公式知S.=q-1+-(2口-1翼Lx1+x-(2n41)五推+(2n-l)xn+l='(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：111例12、求和+1*53*75*9例3求和三十六

18、=()C(2n-l)C2a+3)42n-l2n+31111111111,n537592口-320+12n-12力+3L111r4l32n+l2n+3n(4n+5)=-区+仅2口+3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与参考材料负项一样多。函数的图像开口向下-f=f(k)在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1 .函数思想此函数以n为自变量缥屋|也上时Ja功0最美Sk/田中,.d荏0部此二次2，当1+k为偶数时，口=三时S,最大,当1+k为奇数时，口=2>时S”最大口运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。皎13等差数列an的首项ai>0,前n项的和为Sn,若Si=Sk(lwk)问n为何值时Sn最大？2 .方程思想解依题意，设f(11)二S#二口药十口("Ddf(n)=dn2+(a1-y)nJ-a£j欧M4】设等比数列an前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解,.依题意可知qW1。,.如果q=1,则S3=3ai,S6=6ai,S9=9ai。由此应推出ai=0与等比数列不符。,qwi参考材料%(1-q，)aL(1-q6)2nQ-q)有i+i=i1-q1-q1-q