整理无穷级数33833

1、精品文档第七章无穷级数.常数项级数co例1：若级数工an(an之0)收敛，证明QO一2,(1) %an收敛;n4(2) £卫收敛;nnaa.(3)Z上一收敛;n41an二a(4)z之收敛n4nnoo例2：若级数uUn收敛，则必收敛的级数为n4二nu(A)Z(-1)n；n1n(B)QOzU2；n1oO(C)Z(U2nAU2n)；n=1(D)CO(unun1)n=1例3:判别下列级数的敛散性:(1)Q0Zn1ann!-(a>0)；n(3)oO%ntann11二-n(5)2n1，(4)sin二x.lnd:n"(6)-s”n例4:已知an=Jx2(1-x)ndx,证明级数aa

2、n收敛，并求这个级数的和。12nsin例5：若lim(nn外)=1,讨论级数aa。的敛散性。nnnn1例6：设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim上(故=0,证明级X0x精品文档精品文档4例7：已知an=ttannxdx0二1.(1)求工-(an+an*)的值;nWna_(2)试证：对任意的常数£>0,例8：设正项数列an单调减少，且级数、生收敛。njn-n£一(1)nan发散，试问级数Z'L-I是否收n4ngan1敛？并说明理由。例9：设函数fo(x)在(q,)内连续，fn(x)=fn(t)dt,n=1,2；,证明01x(1)fn(x)-

3、f0(t)(xt尸dt,n=1,2,；(n-1)!。(2)对于区间(,口)内的任意固定的x,级数£fn(x)绝对收敛。n1例10：设f(x)满足条件：对于任意的x',x'',存在常数k,0<k<1,有f(x')f(x'')<kx'-x"|,对于给定的x0,定义x1二f(x0),x2=f(x。，xn1=f(xn),aO试证明：(1)级数£(xn+xn)绝对收敛；(2)极限limxn存在，记为C；(3)C与x0无nTn'-关，且f(C)=C。一1例11：设U1>0,Un+=Un(u

4、2+1),n=1,2，.讨论级数工Un的敛散性。2nd11.例12：仅xn=1+2yn,证明1吧/门存在。精品文档精品文档例13:设an>0,n=1,2,，若£an发散,£(-1)n%n收敛，则下列结论正确的nJ是QOOO(A)工a2n_1收敛，aa2n发散;n4n1qQ(C)Z(a2nJa2n)收敛;n4(2005年数学三)oOod(B)£a2n收敛，工a2n发散;(D)X(a2n_1a2n)收敛。n1co例14：设zan为正项级数，下列结论正确的是nz4(A)QO若limnan=0,则级数£an收敛;(B)若存在非零常数九,使得limnan=九

5、，n>8则级数Zan发散;n4(C)cO若级数£an收敛，则limn2an=0；nWn立co(D)若级数Zan发散，则存在非零常数九，使得limnan=九。nmn(答案：(B)(2004年数学一)例15：设有方程xn+nx-1=0,其中n为正整数。证明此方程存在惟一正实根Q0并证明当口>1时，级数£x仔收敛。n1例16:设有以下命题:若工(U2n4+总口)收敛，则£及收敛n1n1QOoO若ZUn收敛，则EUn由00收敛n1n1oO若lim比土>1,则UUn发散二Unn3cOoQoQ若Z(Un+vn)收敛，则ZUn,ZVn都收敛n1n1n1精品文档

6、精品文档(D)则以上命题中正确的是（A）（B）（C）（答案：（B）（2004年数学三）00例1：若工an（x-1）n在x=1处收敛，则此级数在x=2处n1（A）条件收敛；（B）绝对收敛；（C）发散（D）敛散性不能确定例2:求下列哥级数的收敛域：xn二（x3）n（1）£-（a>0,b>0）;（2）£A_n4abn4n3°°d-12n(3) Z-7-(x-1)；na4oO(4) Zn1(-Dn2nn2n_3x一二n21n.例3:求帚级数乙一x的收敛区间，并求其和函数。ni3n!厂nx例4:求哥级数£的收敛区间与和函数。nan（n1）2例

7、5：已知a0=3,a1=5,且对任何自然数n>1,nan=an一（n1）an，证明当3oOx<1时，哥级数Zanxn收敛，并求其和函数。n1例6:二（-1）n（n2-n1）求级数工（1）（n一）的和。nm2例7:二（1）nn求级数'、（1）nnm(2n1)!的和。例8：已知a1=1,a2=1an_2=2an+3an,n=1,2,"J，求哥级数QOZanxn的收敛半径、n1收敛域及和函数。精品文档精品文档例9:bn11二xn=1+_+_,求哥级数£一的收敛半径及收敛域。2nn4bn敛域。10:11：12:求哥级数求哥级数二(_1)nx2n1工(一)的收敛域

8、及和函数。(2006年数学三)n4n(2n-1)CO(-1)n4将函数f(x)12n.1+x的收敛区间及和函数f(x)。(2005年数n(2n-1)2x3x2展开为x+4的哥级数，并求此级数的收敛域。11x113：将函数f(x)=-ln十一arctanx-x展开为x的哥级数，并求此级数的收41-x22-arctanx,x。0,试将f展开成x的哥级数，并求级数x=01x14：设f(x)=x1,二(-1)n，£-(，的和。(2001年数学一)例16：将函数f(x)=arctan1-2x展开成x的哥级数，并求级数Z12x(-1)n，一)-的和。(20032n1例17:设有哥级数QO2人n12nx(2n)!(1)(2)求此级数的收敛域；证明此级数的和函数y''_y-1y(x)满足微分方程(3)(4)求微分方程y''-y=-1的通解，并由此确定该级数的和函数y(x)n31-4noO例18：设备级数Z