整理两个重要极限

1、精品文档1.6两个重要极限准则I如果数列Xn、yn及Zn满足下列条件：ynan4(n=123.).(2)limyn=a,limZn=a.nn一)二二那么数列Xn的极限存在.且limXn=a.nj二二证明：因为limyn=a.limZn=a.以根据数列极限的定义.Vo>0.三Nn)二二n一,i>0.当nNi时.有|yn-a|<e；又3N2>0,当n>N2时.有|zn-a|<“现取N=maxNi.N2.则当n>N时.有|yn-a|：；.Zn-a卜：；同时成立.即a-：yna；.a-；zn：a；.同时成立，又因yn<XnZn.所以当n>N时.有a

2、-；yn£XnMZn；a,；.即|Xn-a卜:；，这就证明了limXn=a.简要证明：由条件(2),寸名>0,三N>0.当n尔时.有|yn-a|<s及|Zn-a|名.即有a-ynaa-；：Zn：a，；.由条件(1).有精品文档精品文档a-：yn_Xn_Zn:a.；.即|Xnak；,这就证明了limxn=a.nj二二准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件：g(x)<f(x)<h(x)(2)limg(x)=A.limh(x)=A；那么limf(x)存在.且limf(x)=A,注如果上述极限过程是xtx0.要求函数在x0的某邻域内有定义.上述极

3、限过程是要求函数当xi>M时有定义.准则I及准则I'称为夹逼准则.下面根据准则I'证明第一个重要极限：lim皿=1.x)0x证明首先注意到.函数皿对于一切x#0都有定义.参看附图：图x中的圆为单位圆.BC_LOA.DA_LOA.圆心角/AOB=x(0<x<-2),显然sinx=CB.x=AB-tanx=AD，因为S.AOB:S扇形AOB：S.AOD.所以即sinx：xtanx不等号各边都除以sinx.就有精品文档精品文档.x11 <-7sinxcosx或cosx:二snx：二1,x注意此不等式当-2<<0时也成立,而limcosx=l.根据准

4、则I*.lim孙=1.xpx简要证明：参看附图.设圆心角/AOB=x(0<x<),显然BC<AB<AD.因止匕sinx<x<tanx.从而cosx<six7x<1(此不等式当x<0时也成立).因为limcosx=1.根据准则I：lim皿=1,xQxwx应注意的问题在极限lim亚3中.只要见x)是无穷小.就有lim包乌凶=1,：(x)：(x)这是因为.令X(x).则UTO.于是lim"鹉等=1雪吟铲1”例1.求11m3,xQx解lim处=lim孙'=lim皿lim'=1,xpxxpxcosxxQxxjOcosx例2,

5、求lim上警.2x1sin22=-lim22xQ(x)22xQx2Cx2sin21-cosx2斛lim；=lim尸2x0x2xpx2精品文档精品文档1sin221二2i2准则II单调有界数列必有极限如果数列Xn满足条件X1Mx2Mx3_一_XnXn1三就称数列Xn是单调增加的；如果数列Xn满足条件X1-X2-X3才"n-Xn1-.就称数列Xn是单调减少的，单调增加和单调减少数列统称为单调数列如果数列Xn满足条件Xn<Xn-H.n三N十.在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界.但那时也曾指出：有界的数列不一定收敛,现在准则II表明：如果数列不仅有界.并且是单调的.那么这数列的极限必

6、定存在.也就是这数列一定收敛.准则II的几何解释：单调增加数列的点只可能向右一个方向移动.或者无限向右移动.或者无限趋近于某一定点A.而对有界数列只可能后者情况发生.根据准则II.可以证明极限映十；1"存在.设A=(1+卬.现证明数列Xn是单调有界的.n按牛顿二项公式.有精品文档精品文档1n(n-1)n2!n(n-1)(n-2)1n(n-1)(n-n1)1+-Z-+，+：-3!n3n!nn111二11(1)(12!'n3'112n-1部一酒F)(1一)11111#I。12、1一)(1)n1八n1n!12n-1(1-)(1-)(1)'n1八n1'n1六(

7、1)(1)-(1比较Xn.Xn书的展开式.可以看出除前两项外.Xn的每一项都小于n第的对应项.并且Xn41还多了最后一项.其值大于0.因此Xn：二Xn1.这就是说数列Xn是单调有界的.这个数列同时还是有界的因为Xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替.得11111112ncXn<111112=3n2!3!n!2222n，112根据准则II,数列Xn必有极限.这个极限我们用e来表示.即lim(1n1)n=e.我们还可以证明lim(1+X=e，e是个无理数.它的值是XXe=2718281828459045，精品文档精品文档指数函数y=ex以及对数函数y=lnx中的底e就是这个常数,1在极限lim1+a(x)词中.只要£(x)是无穷小.就有1lim1女工(x)：(x)=e.这是因为.令u=.贝UUT:(x)于是lim1Q:(x)函=im(1尸=3,lim(11)x：x1x=e.lim1:(x):(x)=e(-(x)>