断裂力学讲义三维破裂张应力判据

1、7.4三维脆性破裂的张应力判据7.4.1 引言7.3的实验和Sommer(1969),Knauss(1970)的实验都显示出,三维裂纹不沿自身平面扩展,而是在前缘形成大量扭曲拐折式张破裂，每个破裂面与原始裂纹平面有两条明显岔开的交线，这说明这些初始破裂面不是平面，而是空间曲面.Knauss(1970)和Palaniswamy(1978)曾用似螺旋面(parahelical)来形容他们在实验中观察到的纯出型初始破裂面.在7.2中我们已经指出，Palaniswamy(1978)的拟合方法不能充分解释三维裂纹的破裂面为什么是空间曲面，而不是平面.这是因为用该方法只能求出破裂面的平均走向，不能给出初始

2、破裂面的完整解.因此,Palaniswamy提出的计算方法不能说是完备的据此，我们对拉应力判据进行了补充，找出了更好的拟合方法，求出了初始破裂面的完整解(李世愚,1990,1991).7.4.2 理论模型假定介质是均匀、各向同性、理想脆性的，处于低(或零)围压之下.材料的局部抗拉强度远,它们(7.4)低于局部抗剪切强度.笔者对拉应力判据提出的补充假定是：初始破裂是某些点的集合，这些点应满足下列必要条件：这些点位于原始裂纹端部的第一主微分面M1(即与5作用方向垂直的微分面)的延伸与破裂点O重合.初始破裂的路径上，最大主应力的临界值为二1-m其中om为材料局部抗拉强度.图7.9原始裂纹局部坐标系M

3、一原始裂纹面,0X1X3.根据相应于补充后的拉应力判据，作者提出第一主微分面定点法.令0X3为裂纹前缘的切线面与原始裂纹面M重合.在以0x3为轴的圆柱坐标系中(图7.9),P(r,H,z)为一近场点Williams(1972)的重整化原理，(参见第八章)rMr。部分被视为非线性区淇中r0为临界值，它是材料常数.根据Williams应力函数(范天佑，1978)可知，在裂纹端部应力分量为K.%7f,gij0。)i，j=1,2,3,h=I,n,m(7.5)式中KhS为应力强度因子.上式如仅保留奇异项，则就是(6.11)式，本文只考虑平面应变的情况.主应力珏(i=1,2,3)为应力张量矩阵T的特征值，

4、求解过程参见第二章2.1.4.ni为归一化的特征向量.珏是特征方程det二j二ij)-0(7.6)的根，最大主应力。可以写成100Kejks1/2仃1=一一+1+o(r),.rn1是第一主微分面M1的法向，其表达式由(2.26)式取i=1得到，各个分量参见(2.27)式.和纯I型裂纹问题相比较,I型裂纹端部日=0二处，仅保留奇异项，在临界条件下.一Kic-1-m-,0其中Kic为断裂韧性，r为相应于I型断裂的临界值.因而(7.7)(7.8)0=Kic:-m(7.9)以r,纵参变量，令P点的坐标为rP-lrcosi,rsinu,乙r,一二其中0WrErm,180”MHW+180：P点的第一主微分

5、面M1的方程为n1x1-rcost)+n2x2-sin；：n3x3-乙=0令x=X2=X3=0,得M1过O点的必要条件为(7.10)(7.11)nicos?n2sin1n3(7.12)若O点附近的裂纹前缘平直，则一般地，由点(0,0,x3)产生的初始破裂面SP为(n1cos6+n2sin9)Rp=rcos8,rsinH,x3(7.13)和(7.10)式相比较，它只是过O点的Sp沿着z轴平移了x3.(7.10)、(7.12)、(7.13)式只适用于n30的情形，以后将证明，KmW0是名才0的充要条件.Sp的前缘可以近似地视为破裂面上巴的等值线.将(7.4)代入(7.7)式，得到方程KeMKiiK

6、ii,391m(7.14)解出的rm(6)就是初始破裂面Sp的外缘在r-日平面上的投影.用rm(8)替换(7.13)中的r,并将(7.12)代入，就得到Sp的母线长度-2八八242rp=Rp一+3丁间1n3J(7.15)显然，只要应力张量唧已知，且在除裂纹面以外的区域连续，4、rp和rm(6)等参数就都可以用连续函数的解析式表出，因而初始破裂面Sp在-180=0+180二的范围内必然是连续、光滑的空间曲面.在(7.14)式中忽略零阶项，并代入(7.8)式，就得到Ke,Ki,Kii,Kiii二(/口i.r(7.16)如果我们规定上式中的熊值应满足rm(0)为极大值，此时日=60,rm(80=r。

7、就得到了Ke的极小值(这是为了取破裂的最安全值)为Ke,Ki,Kii,Kiii=Kic(7.17)这个方程给出了在临界条件下Ki、Kii和Kiii的关系，在OKiKiiKiii坐标系中，(7.17)构成了一个空间曲面.这里的Ke是从(7.7)式中得到的.我们称Ke为等效应力强度因子，(7.17)为复合型裂纹问题的irwin准则(K判据)1012容易看出，在三维，f#况下(足才0),裂纹端部所有点的第一主微分面Mi都无例外地与原始裂纹前缘相交，每个Mi面与0X3轴必有，且只有一个交点.可以证明，满足n30的条件有两种可能：(1) 013和C23不同时为零；或者(2)二33成为最大主应力.如果在某

8、个点这两个条件都得不到满足，则在这一点上必有n3=0,这时，该点的Mi面必然与0x3轴平行或是重合.因此，这两个条件是否处处成立是区别二维与三维问题的分界标志我们给出如下证明：当O13W0或O23W0时，n3不可能为零.因为如果n3=0,则由(2.27)就可以得出O口。怪两个解，它们与。13和023无关，由应力张量不变量I=5+。2+03可知，O卢仃13和的也无关，但特征方程(7.6)表明，仃点013和023必然有关，这只能得出113=C23=0，但这又和CT13和33不同时为零的假定矛盾，因此n3不可能为零.反之，若O13=023=0,则由(2.21),特征向量n1,n2的分量有非平凡解的条

9、件是det(二pq-；二pq)=0p,q=1,2(a)由(2.27)式，W3=仃2(。11+仃22&一仃122十。11,可以看出，(a)式恰好就是W3=0,由(2.26),n3=W3/H,由此必然得出n3=0.证毕.由于V1/2,由(6.1),63的奇异项不能构成最大主应力，当K|=0时，53和63肯定同时为零，因此在只考虑应力的奇异项时，KillW0是n3W0的充要条件.按照上述理论，在有限区间内，破裂点z可取无数个，裂纹前缘有限区间内可以产生无穷多个初始破裂面，它们彼此互不相交，当然，这只是实验现象的理想模型.这样，本文就从理论上首次给出了三维裂纹初始破裂的完整的解析解7.4.3纯田型裂纹

10、为了简明起见，本文在下面的实例分析中暂时忽略应力分量中的r0项，并假定在z变化不大的范围内，应力强度因子Ki(i=123)的改变量可以忽略.将Ki=Kii=0,KiiiW0代入(6.1)(7.15)式，得到一系列精确解，其中最大主应力为(7.18)_Km，r,相应的主微分面M1的法向矢量为2.5=-sin,cos,1,(7.19)222初始破裂面Sp的矢量表示为(日)rp=Ircos6,rsin“-rsin：(7.20)p5时，初始破裂面Sp上大部分区域的切平面走向与第一主微分面M1的走向已十分接近.这正是Sommer(1969)的实验条件.本文的计算图示(图7.11)再现了Sommer在实验

11、中观察到的双长矛(doublelances)状初始破裂.初始破裂面的外缘rm(9有两个对称分布的极大值，其方位角日用stress.for程序进行数值计算结果由表11.1给出.103表11.1断裂角日。与Ki/Kiii的关系Kii=0,v=0.25Ki/Kiii0.010.10.20.40.50.60.80.91.0器48.7252.5155.3159.5759.5260.2161.0461.2761.43Ki/Kiii2.04.05.06.07.08.010.015.020.0贴61.3360.5660.3860.2860.2160.1660.1160.0560.03Kh=Ki/Kic(h=1

12、,2,3,i=I,n,HI),泊松比=0.25.7.4.5 H-m复合型裂纹将ki=0,KuKm第0代入(6.11)-(7.15)式，得到的数值计算结果(图7.12)与第十章的实验结果符合得很好.可以看出，初始破裂面关于OX1X3面呈不对称畸变，rm(9)只有一个极大值，位于&180。，在这个方向上母线长度作|也最长，而在生+180。处，rm(6)则出现极小值，在这个方向上作也最短.比值Ki/Kiii越大，不对称畸变越强.这种不对称畸变很好地解释了在我们的实验(本文第十章)中次级破裂呈反对称分布(即只朝I、出象限延伸)的现象.图7.12口-HI复合型裂纹初始破裂理论模拟kh=Ki/Kic(h=

13、1,2,3,i=I,口，m),泊松比卡0.25.(李世愚，1990,1991)(a)和实验观测(b).7.4.6 I-n复合型裂纹104将Kiii=0,Km=0,KiKii00代入(6.11)(7.15)式，此时三维裂纹退化为二维裂纹问题.如果在应力分量中只保留奇异项，裂纹前缘极坐标中的应力分量为：1-cosK11cos?-3Knsin1I(7.27)1,二二=cosK1Kii3cosn-1J(7.28)2、2r2按照本文的拉应力判据，取O?g=0,得到的判定方程是cos|KiKii3cOS1-1.1-0(7.29)上式的一个解为：cos(e/2)=0,9=却.但此解无意义，所以断裂角也(如图

14、6.1)所示决定于方程Kisine+KI|(3cosH_1)=0,这正是(6.2)式.由此得出，如果在应力分量中只保留奇异项，则拉应力判据和最大周向应力判据(Erdogan,1963)等价.取也上。.可以求出断裂角8。代回(7.27)，取r=r0,就得到临界值仃的.由此，我们可以照搬Erdogan导出的纯n型裂纹破裂的临界条件：3KiicKk(7.30)值得注意的是，5(r,a庐5(06)中并不是极大值，例如纯I型裂纹由max=土60二，但它们的主微分面不通过裂纹前缘，裂纹不沿这两个方向扩展，而是沿6(=0的方向扩展，该方向上的主微分面恰好是通过裂纹前缘的.因此Palaniswamy等(197

15、8)主张把最大拉应力判据改为拉应力判据.由(7.29)我们得到，当K|=0(纯II型裂纹)，即Kii/KiT8时,入二cos(1/3)=7032(7.31)这个结果和乱2最大周向应力理论得到的(6.3)式的结果完全相同.现在，我们回过头来看Roesler(1956)的印痕接触实验，就可以很好地解释这个实验的结果.可以看出，由于印痕器边缘对丙烯酸树脂玻璃表面强制性的压迫，造成破裂的每一段微弧线都是内部向下的位移，其方向与样品表面垂直，因此该破裂就是纯II型破裂.破裂扩展路径的轴对称性使之形成圆锥状，其母线与样品法向的夹角就是断裂角如),实验观测到的比广68.5,与(7.31)式的理论结果有2。的

16、偏差，我们认为其原因，除观测误差外，主要是现有的理论只考虑了裂纹端部应力的奇异项，而没有将非奇异项也计算进去.关于这个问题的讨论，在第八章8.8中将予以介绍.7.4.7本文的方法、结果和Palaniswamy的方法、结果的比较前面我们已经指出，Palaniwamy(1978)采用调整拉张破裂方向欧拉角搜索的方法来寻找最大拉应力以拟合纯III型裂纹的三维破裂(图7.4).该方法中对于每个子面需要三个自由度.在Palaniwamy(1978)的原文中，只标出了破裂面旋转轴与x轴的交角川破裂面走向与z轴的夹角%,实际上还少标了第三个自由度.但无论如何，Palaniwamy搜索的结果仍然只是一个解，这样的解只能是平面解，不能解释实验观测到的三维破裂的曲面形状，其原因在于，当三个欧拉角中某个参数确定时，所得到的解只有一个，但当该参数的值变化时，所得到的解并不重复.换言之，三维破裂面的解本来并不唯一，而Palaniwamy没有能指出这一点.我们的方法表明，对于同一个破裂起始点，满足张破裂判据的破裂扩展路径不是唯一的，而是无穷多个.这无穷多个路径的组合，才构筑成了三维破裂曲面.7.4.8三维破裂在断层中的应用前景三维破裂涉及到断层未穿透到地面或未穿透到地幔软流层情况下的脆性破裂问题.部分地震105破裂很可能发生在这些断层边缘弧线上，大量的破裂面为螺旋外缘，