整理高中复习专项之求导法则80157

1、精品文档求导法则教学内容：基本求导法则与求导公式.教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法：讲授与练习。教学学时：4学时。引言：数学分析的基本运算之一就是求导运算，为了能够迅速、简便而又准确的求出一个函数的导数，只依靠定义是远远不够的。为此，本节课我们介绍导数的四则运算，反函数、复合函数的求导法则，并由此推出基本初等函数的导数作为公式。这样我们就可以利用这些公式以

2、及求导法则较为容易的求出复杂函数的导数。一、导数的四则运算:1 .力口、减运算：定理5.5若函数u(x)、v(x)在点x可导，则函数f(x)u(x)v(x)在点x可导，且f(x)u(x)_v(x)即u(x)_v(x)u(x)_v(x).u(xx)v(xx)u(x)v(x)u(xx)u(x)v(xx)v(x)f(x)limlim_limx0xx0xx0xu(x)_v(x)推论：ui(x)u2(x)un(x)ui(x)u2(x)un(x).2 .乘积运算：定理5.6若函数u(x)、v(x)在点x可导，则函数f(x)u(x)v(x)在点x可导，且f(x)u(x)v(x)u(x)v(x),即u(x)v

3、(x)u(x)v(x)u(x)v(x).证明：f(x)limu(xx)v(xx)u(x)v(x)x0xlimu(xx)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(x)x0xu(xx)u(x)v(xx)v(x)limv(xx)limu(x)x0xx0xu(x)v(x)u(x)v(x)利用数学归纳法可将此结论推广:推论：ui(x)u2(x)dn(x)ui(x)u2(x)un(x)ui(x)u2(x)un(x)ui(x)u2(x)un(x)cu(x)cu(x)(c为常数)一，、.，、例i.设函数f(x)cosxlnx,求f().精品文档精品文档解：f(x)cosxlnxcosxlnxc

4、osxlnxsinxlnx1cosxx所以f,()-3.商运算:定理5.7若函数u(x)、v(x)在点x可导，且v(x)0,则函数f(x)虫在点x可导，且v(x)f(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2证明：先证g(x)v(x)在点x可导，且有g(x)(x)2,v(x)g(x)limx0g(xx)g(x)v(xx)v(x)11m0v(xx)v(x)v(x)再由乘积运算法则有:f(x)器例2.求以下函数的导数:(1)secx；解：(1)secx(2)cscx(3)tanxcotxu(x)g(x)(2)cscx；(3)cosxsi

5、nxsinxcosxcosxsinx于是我们得到：tanxv(xx)v(x)2.v(x)u(x)tanx；(sinx)2cosx0cosx_2sinx2cosx(v(x)u(x)v(x)v(x)2(4)cotx.secxtanx；cscxcotx;sin2x)2cosx2.secx；u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)222sinxcosxsec2x；sin2xcotxcsc22cscx.x;secxsecxtanxcscxcscxcotx.上节我们还得到过结果：C0；sinxcosx；cosxsinx；logax1一logae,Inxx以上结果需要熟记！以后可直接应用。二、反函数的导数：

6、精品文档精品文档为了得到对数函数的反函数一指数函数以及三角函数的反函数一反三角函数的求导公式，我们先证明反函数求导公式:定理5.8设函数yf(x)为函数x(y)的反函数，若(y)在点y的某邻域内连续，严格单调且(y),、1f(x)在点x(x(y)可导，且f(x)(y)证明：设x(yy)(y),yf(xx)f(x),(y)在点y的某邻域内连续且严格单调其反函数yf(x)在点x的某邻域内连续且严格单调f(x)叱1(y)从而有y01xlimy0y例3.求指数函数x，ya(a0,a1)的导数。解：指数函数yx/a(xR)为对数函数logay(y(0,)的反函数，所以logay11y1n-logaeya

7、xIna,即axIna.例4.求下列函数的导数:(1) arcsinx；(2) arccosx；(3) arctanx；(4) arccotx.解：(1)由于函数yarcsinx(x(1,1)是函数xsiny(y(一,一)的反函数，所以22arcsinxsinycosy11sin2y,x(1,1)；(2)由于函数arccosx(x(1,1)是函数xcosy(y(0,)的反函数，所以arccosxcosysiny1cos2y1，j,x(1，1);,1x2(3)由于函数yarctanx(xR)是函数xtany(y(一,一)的反函数，所以22arctanxtany12secy21tanyT,x(x精

8、品文档(0,-)的反函数，所以2arccotxcoty12-cscy1cot1,x(1x).精品文档(4)由于函数yarccotx(xR)是函数xcoty(y于是我们又得到公式:arcsinx：arccosx1x2arctanx1xarccotx三、复合函数的导数:最后我们再来讨论复合函数的求导法则，为得到复合函数求导公式，先引入如下引理:引理f(x)在点X0可导在点Xo的某邻域U(x0)内存在在点xO连续的函数H(x),使得f(x)f(x0)H(x)(xXo),从而f(x0)H(x。).证明：必要性设f(x)在点X0可导，即f(x0)存在,令H(x)则limH(x)xX0f(x)f(Xo)x

9、Xof(Xo)limxX00xU(Xo)xXof(x)f(Xo)xXof(Xo)H(Xo),所以函数H(x)在点X0连续且有f(x)f(Xo)H(x)(xXo).充分性设函数H(x),xU(Xo)在点Xo连续且有f(x)f(Xo)H(X)(XXo)所以limxX0f(x)f(Xo)xXolimH(x)H(Xo).xXo定理5.9若函数u(x)在点x0可导，函数yf(u)在点U0(Xo)可导，则复合函数yf(x)在点X0可导，且f(Xo)f(Uo)(Xo).证明：因函数yf(u)在点U0可导，由引理知存在在点U0连续的函数F(u),使得f(u)f(Uo)，、一，、F(u)(uUo)且f(Uo)F

10、(Uo)uU(Uo)又因函数u(x)在点Xo可导，同样由引理知存在在点X0连续的函数(x),使得(x)(x0)(x)(xXo)且f(Xo)(Xo)xU(x0)于是得：f(x)f(Xo)F(x)(x)(Xo)F(x)(x)(xXo)精品文档精品文档由于(X)在X0连续，F(u)在U0(Xo)连续，所以F(x)在点X0连续(复合函数连续性)而(X)在X0连续，从而H(x)F(X)(X)在X0连续，于是由引理便知f(X)在点X0可导，且有f(X)H(X0)F(X0)(X0)F(u)(X0)f(U0)(X0).dydydu说明：(1)若yf(u),u(x),则复合函数yf(x)的导数为yf(u)(x)

11、,或者写成二；dXdudx(2)注意f(X)f(u),、与f(X)f(X)(X)写法与含义的区别；u(x)2如yf(u)u,u(x)2x则：f(x)u22uu2x4x,而f(x)f(x)(x)4x2x8x；uu4X.u2x(3)多个复合函数求导法则：yf(u),u(v),v(x),则复合函数yf(x)的导数dydydudv一一一一；dxdudvdx(4)对复合函数求导的结果我们一般应用最终自变量(如以上的x)表示。例5.求哥函数yx(R,x0)的导数。解：哥函数yxlnxlnxuee可看成函数ye与udyduxdudx于是得到：xlnxlnxlnx复合而成，由复合函数求导法则有1X.四、基本求

12、导法则与公式：通过上面的讨论，我们得到了函数四则运算的导数，反函数与复合函数的导数以及基本初等函数的导数，把这些结论归结如下，作为基本求导法则与求导公式，我们必须熟记，并可以直接应用它们，求出以下比较复杂函数的导数。1.基本求导法则:和、差：u_vu_v；积：uvdy1反函数：一；dxdxdy(uvuv；商：uuvuvvv2，复合函数:dydxdydudu一;dx2.基本求导公式:c0(c为常数)；精品文档XX1(为任意实数)sinxcosx,cosxsinx,tanx2secx,cotxcsc2x,secxsecxtanx,cscxcscxcotx;arcsinx1arccosx1arcta

13、nx1+1orcvc匕2,1x2,arccotx2.1x1x精品文档令xxxxaaIna,ee；1logax,Inxxlna3一2(1)y10x5x4x5；2ysinx；(3)y,21,、，32tan；(4)yarctanxx(5)yarccot一13解：(1)y10x5x2、(6)yln(xv1x)；.24x030x10x4;/c、几2dydydu(2)仅ysinu,ux,贝Udxdudx2.1(3)设yu,utanv,v一，则xsinu2cosu2x2xcosx；dydydudvdxdudvdxtanv2usecvtan3例6.求以下各函数的导数:3(4)设yu,uarctanv,vx,贝

14、Udydydudvdxdudvdx3arctanvx2u3x21v6x2,36arctanx；1x、一1x设yarccotu,u,贝U1x出dyduarccotu(1x)(12x)dxdudx1x1u(1x)12211x2(1x)2(1x)2(1x)2rv11x(6)先设udu来求一dx为此设u精品文档精品文档dudxdudvdvdx1x2112v222x再设x2,来求曳,则dxdydxdydwdwdxIn(1*xTx2：1xxxTx2(7)当我们对复合函数运算法则熟悉以后，书写过程中的中间变量可不必写出。如此题:112.x2x例7.若解：因4x、xx2x12,xxx4xx、x8,xx.x、xxxf(x)f(1)。f(x)(x12?(x22xFf(0)(1)1118例8.求以下函数的导数:(对数求导法)(1)y14)31(x2)5(x4)2(x4);(2)v(x)yu(x)(其中u(x)0且u(x)与v(x)均可导)。解：(1)对函数两边同时取自然对数得:1.(x5)2(x4)3lnylny(x2)5(x4)22ln(x15)-ln(x4)5ln(x1,、2)-ln(x4),精品文档一，一、一口，一，1再对上式两边分别求导(注意y是x的函数)：一y3(x4)x22(x4)精品文档整理便得：y1(x5)2(x4)31(x2)5(x4)213(x4)55F-