数字切比雪夫滤波器的设计综述

1、电气工程学院课程设计任务书课程名称：数字信号处理课程设计基层教学单位：仪器科学与工程系指导教师：王娜学号学生姓名（专业）班级设计题目21切比雪夫滤波器设计设计技术参数采样频率100Hz,低频、中频、高频信号频率分别为5Hz、15Hz、30Hz设计要求产L个连续信号，包含低频，中频，高频分量，对其进行采样，进行频谱分析。设计低通，高通，带通滤波器对信号进行滤波处理，观察滤波后信号的频谱。分析该类型滤波器与其他类型低通滤波器（如Butterworth）优势及特点。参考资料数字信号处理方面资料MATLAB方面资料周次前半周后半周应完成内容收集消化资料、学习MATLAB软件，进行相关参数计算编写仿真程

2、序、调试指导教师签字基层教学单位主任签字说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。电气工程学院教务科第1页共23页摘要随着信息和数字时代的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，因此很多信号的处理都是基于滤波器而进行的。所以，数字滤波器在数字信号处理中起着举足轻重的作用。数字滤波器是数字信号处理的重要工具之一，它通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤出某些频率成分的数字器件或程序，而数字滤波器处理精度高、体积小、稳定、重量轻、灵活、不存在

3、阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊功能。故本课题使用MATLAB信号处理箱和运用切比雪夫法设计数字滤波器。数字滤波器是具有一定传输选才¥特性的数字信号处理装置，其输入、输出均为数字信号，实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换，改变输入序列的频谱或信号波形，让有用频率的信号分量通过，抑制无用的信号分量输出。数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念，根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型，与模拟滤波器相比，数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高（与系统字长有关）、稳定

4、性好（仅运彳T在0与l两个电平状态）、灵活性强等优点。第2页共23页第一信号处理设计原理41.1 MATLAB介绍41.2 数字滤波器的介绍41.3 滤波器的分类51.4 数字滤波器的设计方法51.5 切比雪夫滤波器简介51.6 模拟彳氐通滤波器6第二用MATLAB设计切比低通雪夫滤波器-72.1 MATLAB相关函数72.2 数字高通滤波器的设计72.3 数字带通滤波器的设计82.4 双线性变换9第三切比雪夫数字滤波器的设计过程及程序，仿真-113.1 切比雪夫型低通数字滤波器113.2 切比雪夫型高通数字滤波器143.3 切比雪夫型带通数字滤波器17第四总结20第五设计结果及分析215.1

5、 滤波器与其他类型低通滤波器优势及特点225.2 心得体22第六参考文献23第3页共23页1信号处理设计原理1.1 MATLAB介绍MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB和Mathematica、Map

6、le并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLA来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C,FORTRAN,C+,JAVA的支持。可以直接调用，用户也可以将自

7、己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。MATLAB产品族可以用来进行以下各种工作：数值分析、数值和符号计算、工程与科学绘图、控制系统的设计与仿真、数字图像处理技术、数字信号处理技术、通讯系统设计与仿真、财务与金融工程。MATLAB的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB函数集）扩展了MATLAB环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。1.2 数字滤波器的介绍第4页共23页数字滤

8、波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即1/2抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。1.3 滤波器的分类1,从功能上分；低、带、高、带阻。2.从实现方法上分：FIR、IIR3,从设计方法上来分：Chebyshev侬比雪夫),Butterworth(巴特

9、沃斯)4,从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器1.4 数字滤波器的设计方法它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。应用最广的是线性、时不变数字滤波器，以及FIR滤波器。由模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须建立好s平面和z平面的映射关系。使模拟系统函数Ha(s)变换成数字滤波器的系统函数H(z),通常采用冲激相应不变法和双线性变换法。冲激相应不变法存在频谱混叠现象，双线性变换法消除了这一现象，在IIR数字滤波器的设计中得到了更广泛的应用。1s平面和Z平面的映射关系为s=f(Z)=21一Z将s=川和2=3"带入数Ts1Z字频率和等效的模拟频率之间的映射关系：Q=t

10、an(-),由于二者不是线性关系，所以称2为预防变。1.5 切比雪夫滤波器简介切比雪夫滤波器特点：误差值在规定的频段上等波纹变化。第5页共23页切比雪夫滤波器（又译车比雪夫滤波器）是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提?列波维其？切比雪夫切比雪夫滤波器特点：误差值在规定的频段上

11、等波纹变化。为了从模拟滤波器出发设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。1.6 模拟低通滤波器巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止Q一处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次fr即艮高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的必（/2），。切比雪夫滤波器的心在通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。切比雪夫滤波器的振幅平方函数为"_1（1-4）=|以乱（户町=1）唠（小式中

12、Qc为有效通带截止频率，£表小与通带波纹有关的参量,£同越大通带不动愈大。Vn（x）是N阶切比雪夫多项式，定义为|r|<1x>1(1-5)005(77arccosX)cosh(?jrcoshx)N为偶数,cos(N'q)=1,得到min,(1-6)N为奇数，cos2(胡'£)=0，得到max,-1+£2旧式刚2=1(1-7)第6页共23页2用MATLAB设计切比低通雪夫滤波器2.1 MATLAB相关函数(1) Iz,p,G】=cheb1ap(N,Rs)该格式用于计算N阶切比雪夫I型归一化模拟低通滤波器系统的零极点和增益因子。返

13、回长度为N的列向量Z和P,分别给出N个零点和极点的位置。Rs是阻带最小衰减。(2) N,wso=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)该格式用于计算切比雪夫I型数字滤波器的阶数N和阻带截止频率wso。调用参数分别为数字滤波器的通带频率和阻带边界频率的归一化值。(3) lN,wso=cheblord(wp,ws,Rp,As,'s')该格式用于计算切比雪夫I型模拟滤波器的阶数N和阻带截止频率wso。wp和ws是实际模拟角频率。(4) IB,A】=cheby(N,Rwso,'ftype')该格式用于计算N阶切比雪夫I型数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量B

14、和A。调用参数N和wso分别为切比雪夫I型数字滤波器的阶数和阻带截止频率的归一化值。(5) B,A1=cheby(N,Rp,wso,'ftype','s')该格式用于计算N阶切比雪夫I型模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A。调用参数N和wso分别为切比雪夫I型模拟滤波器的阶数和阻带截止频率的归一化值。2.2 数字高通滤波器的设计对高通滤波器技术指标进行归一化处理，通常对切比雪夫滤波器以及其等波动通带截止频率为归一化因子将高通的技术指标变换成低通的技术指标根据转换出的低通滤波器的技术指标，按照前面介绍的低通滤波器设计方法设计满足技术指标的低通滤波器对

15、设计出的归一化低通滤波器的系统函数进行得到归一化高通滤波器的系统函数将设计的归一化高通滤波器进行反归一化处理，得到实际的高通滤波器第7页共23页2.3 数字带通滤波器的设计运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR带通滤波器(1)确定性能指标在设计带通滤波器之前，首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标：通带截止频率wp1,wp2;阻带截止频率ws1,ws2;阻带最小衰减As和通带最大衰减Ap;中心频率wp0o(2)频率预畸变用Q=2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变，得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率Wp1,Wp2;阻带截止频率Ws1

16、,Ws2的转换。双线性变换法一般T=2s。通带截止频率Wp1=(2/T)*tan(wp1/2)Wp2=(2/T)*tan(wp2/2)阻带截止频率Ws1=(2/T)*tan(ws1/2)Ws2=(2/T)*tan(ws2/2)(3)模拟带通性能指标转换成模拟低通性能指标BW=Wp2-Wp1;%带通滤波器的通带宽度W0=Wp1*Wp2;WP=1;%归一化处理WS=WP*(W0A2-Ws1A2)/(Ws1*BW);(4)模拟低通滤波器的构造借助切比雪夫(Chebyshev滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)。(5)模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模

17、拟带通滤波器。(6)模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)o输入信号检验滤波器性能输入不同频率的正弦波，观察输出波形，检验滤波器性能。第8页共23页2.4 双线性变换目的：将模拟带通滤波器转换成数字高通滤波器为克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从s平面到z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-门兀T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到Si平面的-ttT冗T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=eT1T

18、将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3'"门AjImzS平面S1平面Z平面图1-3双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴jQ压缩到S1平面jQ1轴上的-九/T到冗/T段上,八2xC1T可以通过以下的正切变换实现tanTI2）（1-13）式中，T仍是采样间隔。当Q1由-冗/T经过0变化到九/T时，。由-oo经过0变化到+oo,也即映射了整个j。轴。将式（1-9）写成j12Qj'JT/2_jJT/2ev?v?TjiJT/2.-jiJT/2V?V?(1-14)将此关系解析

19、延拓到整个S平面和S1平面，令jQ=s,jQ1=s1,则得2es1T/2-eT2*2s7es-e*/2Gtanh21-eT-ST(1-15)再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为:21-z1s二1T1z1共23页2s1-16)(1-17)式（1-10）与式（1-11）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（1-9）与式（1-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先，把z=ej可得(1-18)即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆因此有(1-19)其次，将s=（r+jQ代入式（1-12

20、）,得22.二j：,z=>-j11T双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j。轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（1-12）所示，重写如H2：（0）j=tan一T22）（1-20）上式表明，S平面上。与Z平面的成非线性的正切关系，如图1-4所示。由图1-4看出，在零频率附近，模拟角频率。与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当。进一步增加时，增长得越来越慢，最后当。一时,终止在折叠频率二九处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而

21、混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。第10页共23页3三种切比雪夫数字滤波器的设计过程及程序3.1 切比雪夫型低通滤波器3.1.1 设计要求设计一个切比雪夫型低通滤波器，指标如下：通带边界频率：wp=6Hz,通带最大衰减：RP=1dB阻带截止频率：0s=10Hz,阻带最小衰减：Rs=45dB实验程序：ws-10:Fs=100;rs=45;另数字速波器的各项指标事W=wp*2*pi;%杷数字谑波器的频率特征转换成模损滤波器的频率特征三WS=ws*2*pi;NjIn=cheb2ord(WPj¥S?rp?rs,Js");SSChebyshavI工型或波器爹数计算(模拟

22、域)*【LP.KkchebZw(风rs);图创建Chebysih或速玻器原型：A,B,C,D=zp2ss(ZJPJX);同亲达式从零极点招益形式转换成状态方程形式;AA,BB,CCjDD=lp21p(A,B,C,D,fci);同实现低通到低通源波器类型的转换；区b,c,dl=bilinear(AA,BE,CC;DDiFs);男柔用双线性堂换法，从一拟低通到数字低通I=5s2tf(冉b,jd);另表达式从状态方程形形式转换成传输函数形式%绘出频率响应r国nreqzCPljQl,512)：figire(l)；subplot(3,lt1);plot(I*Fs/(2*pi),abs(E)网低通grid

23、;axis(Oj500,1.5):xlabei(J®</Hz3：ylabeir幅值)；3.1.2 低通滤波器仿真图:第11页共23页3.1.3 低通数字滤波器对连续信号的处理:实验程序：f1=5;f2=15;£3=30;Fsl=100：llnl=512：n=0:Nnl-l;xl=sin(n*2*pi*fl/Fsl);x2=sin(n*2*pi*f2/Fsl);x3=sui(n*2*pi*f3/Fs1);x=xl+x2+x3;X=fft(x,512)；yl=fliter(PUQ1.,x);Yl=fft(yh512);wl=(0:511)/512#Fsl：figuresu

24、bplot(2,lf1)plot(t1,abs(X):axis(0j50,0,300):xlabelC撅-/Hz,);ylabelC信号幅度D;titleC输出信言频域谐线)；subplot(2,1,2)plot(wl,abs(YL)axisHO,50?0,300)：grid;xlabelC频率);W-eir信号幅IT);titleC经低通滤波输出信号频域谱线':第12页共23页仿真图:输出信号频域谱线一口二OooOoO21510152025303540455。频率/Hz经低通漉波输出信号频域谱线003蚂SDIT4S5101520253035404550里加/Hz第13页共23页3.2

25、 切比雪夫型高通数字滤波器3.2.1 设计要求设计一个高通切比雪夫型型数字滤波器，要求达到的指标是：wp=30Hz,ws=28Hz,Fs=100Hz,rp=1db,rs=45db.实验程序：wp=30;Fs=100：rp-1;rs=45；%数字遽波器的各项指标；¥P=vp*2n»i:对巴数字递减器的籁率特征转换成模拟通波器的强率特征；¥S=ws*2+pi:N?WrLj=cheb2ord(WPjiS?rprsj's第14页共23页):Chebyshev型嘘:皮器蓼数计算C-域)1IlfPrK=cheb2ap(N?rs)：为创建匚h呼谑疲器原型事A,B,C,D

26、=zp2sK2,P,K);%袤达式从零极点熠益的式转换成状态方程形式；AA?BB,CC,DE-lp2hp(A,B,C,E,Wn):%实现低通到高通琥波器类型的转换三a,b,c,d=bilinear(AA,BBaCC,DDjFs);警采用双线性支换法，从模撰高通到数字高通$P2JQ2=ss2tf(aJb,c,d);却哀达式从.状态方程形形式转换成倍输函数松式辛传绘出频率响应fH7W=freq2(P2JQ2J512)：subplot(3,1,2：plot(W*Fs/(2*>i)Jabs(H)3高通grid:axis(EOjBOj01.51);HabnU频率/HM);ylabelf;3.2.2

27、 高通滤波器仿真图:1.5知1野0.50051016202530354045503.2.3 高通数字滤波器对连续信号的处理:实验程序:fl=5;侬15；£3=30;Fsl-100;Nnl=512;n=0:Nnl-l;xl=sin(n2*pi+fl/Fsl)jx2FinGi*2*pi*f2/F宕1);x3sin(n+2*pi*f3/Fsl);x=xl+x2+x3;X=fft(x,512);yl=filterT2Q2x);Yl=fft(yL512);加二3：511)/512杼自1;figure(3)subplot1,1)plot(wljabsCt);"isdOm50,0,300

28、);xlabelC颉率/Hw，):ylselt信号幅度'titlK输出信凝城诸线')，subplot1,2)plot(wl,abs(Yl)ills(10,50,0,300);grid;xlabelC频率/He');ylabelt'信号巾嬖，4titlet经富通撷输出信号领域谱线);第15页共23页仿真图:输出信号频域谱线L1二OO000O21般粤叩胆5101520253035404550频率JHz经高通漉波愉出信号频域谱线5101520253035404550频率/HzOooOoO21般SDIT姻第16页共23页3.3带通切比雪夫数字滤波器3.3.1 设计要求设

29、计一个带通切比雪夫型型数字滤波器，要求达到的指标是：wp=8Hz,ws=21Hz,Fs=100Hz,rp=1db,rs=45db.实验程序：ws-21：FslOO：rp=l；rs=45;羯数字滤波器的各项指标；VP=wp*2*pi：禺把数字滤波器的频率特征转抵成横报速波器的频率特征彳WSvs*2*pi：N,Wn=cheb2crd(WP,VS,皿,*)；ChebyshevI工型滤波翳爹数计算(模假域)>Z,P,K=cheb2ap(N,rs);%创建Chuby写heu滤波器原型*&瓦JD二卯力力力巳用;总表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式孑AAEB,CC,DD-lp2bp(A,

30、5,C,D,450);党实现低通到带通滤波器类型的转换Ja.b,c,d=bilwear(AAJEBJCCfDD,Fs);为采用双统性变赖法，M.模摞帚通到数字帚通；P3,Q3=SS2tf(a,b,c,1.1;另表达式从.状态方程形形式转换成传输函数形式;年绘出频率响应LHJI=freqz(P3JQ3J512);subplot(3jlj3)：plot(W*Fs/(2#pihabs(H)5带通grid：axis(0350,0*L5)：xlabelC频率Hn');¥1曲式。幅直)：3.3.2 带通滤波器仿真图：1.5驷1IDSw0-5°t7I、)5101520263036

31、404650频率Hz第17页共23页3.3.3 带通数字滤波器对连续信号的处理:实验程序:£1=5;£2=15；f3=30;Fsl=100;Nnl=512；n=O:Nnl-l；xl=sin(n+2*pi*fl/Fsl);x2=sirL(n*2+pi*f2/Fsl);x3=sin(nf*c2*pi*f3/Fsi)；k=x1+z2+k3;X=fft(x.512);yl=filter(P3,Q3.x);Yl=fft(yl.512);wl=(0:511)/512*Fsl;figuresubplot1,1)plot(whabs®);axisC0,50,a300)；xlabe

32、lC频率/H/)-ylabel('信号幅度till4输出信蔻域谱线)；subplot1,2)plot(wLabs(Yl)axis(0f50,0,300)；grid,l.xlabelC频害也/?朗歌&鼐盟。出信号领域谙线)第18页共23页仿真图:输出信号频域谱线III二r二OQoOoO2-1酗野哨妲5101620253035404550频率佗经常通滤波愉出信号频域谱线5101520253035404550频率/HzOooOoO21枝3叩理第19页共23页4总结这次课程设计过程，看了一遍数字信号处理课程中关于数字滤波器的设计的内容，再通过利用参考文献与网络，完成了用Matlab进行

33、数字信号处理课程设计。通过课程设计的内容，加深了对课堂学习中抽象概念一一切比雪夫定理的理解，并且巩固了课堂上所学的理论知识，从而能很好地理解与掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。同时在使用MATLA歆件的过程中，掌握了matlab的编程方法和以及实际中解决问题的技巧。与其他高级语言的程序软件相比，MATLA前境下可以更方便、快捷地设计出具有严格线性相位的切比雪夫滤波器，节省了编程时间，提高了编程效率，并且相应参数的修改也十分方便，还可以进一步根据图像的变化特点进行优化设计。相信随着版本的不断提高，MATLAB件在数字滤波器等技术中必将发挥更大的作用。同时，用MATLA科算有关数字滤波器的设计参数，如H(z)、h(n)等，对我而言是在数字滤波器的硬件实现方面提供了一条简单而更加准确的途径和依据。我还通过实验了解到，切比雪夫滤波器包括两种，即切比雪夫1型滤波器和2型滤波器，切比雪夫滤波器频率响应的特点是：在带通内是等幅的纹波，在阻带内单调衰减，过度迅速。更重要的是，我知道了，在实际工程中，需要设计高通、带通、和带阻滤波器时，通常将设计好的低通滤波器，如巴特沃斯低通滤波器或切比雪夫低通滤波器等，在传递函数H(s)中通过频率变化，转换