普通高等学校招生全国统一考试数学理上海卷,解析版

1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷，解析版)考生注意:1 .答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2 .本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间20分钟.一.真空题(本大题满分56分)本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1 .若复数z满足z(1+i)=1-i(I是虚数单位)，则其共轲复数z=.2 .【答案】i，'ab=1【解析】设z=a+bi,贝U(a+bi)(1+i)=1-i，即ab+(a+b)i=1i,由，a+b=1解得a=0,b=1,所以z=i,z=i2.

2、已知集合A=x|xM1,B=x|x之a,且AuB=R,则实数a的取值范围是2.【答案】a<1【解析】因为AUB=R画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有aW1。45x3.若行列式1x3中，元素4的代数余子式大于0,789则x满足的条件是.3 .【答案】x>8328【解析】依题息，得：(-1)X(9x-24)>0,解得：x>-34 .某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是.2xx：14.【答案】y=«,x-2,x1【解析】当x>1时，有y=x-2,当x1时有y=2x,所以，有分段函数。5 .如图，若正四棱柱ABCD-AB

3、C1D1的底面连长为2,高为4,则异面直线8)与AD所成角的大小是(结果用反三角函数表示)6 .【答案】arctanJ5【解析】因为AD/AD,异面直线BD1与AD所成角就是BD与AD所在角，即/ADB,由勾股定理，得AB=2J5,tan/ADB=v5,所以，/ADB=arctanJ5。27 .函数y=2cosx+sin2x的最小值是.8 .【答案】1近【解析】f(x)=cos2x+sin2x+1=J2sin(2x+工)+1,所以最小值为：1一行49 .某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量亡表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EM(结果用最简分数表示).

4、一410 .【答案】471021C2ioC1C1【解析】七可取0,1,2,因此P(£=0)=，P(2=1)=C221Cy2P(1=2)=V=,E=0X+1X+2=-S2,c7221212121711 已知三个球的半径R,R2,R3满足R+2R2=3R3,则它们的表面积S1,足的等量关系是.8、【答案】病+2疟=为,5【解析】S=4取；，而=20B，同理：/ST=2VR2v；Sr=2R3dPR=2,2.：二、S2S3R=由R+2R2=3R3得+2，&=3/S32-2.二2x9.已知F1、F2是椭圆C:-2a2+1=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且b2

5、PFi_LPF2.若APRF2的面积为9,则b=|PF1|+|PF2|=2a【解析】依题意，有J|PF1|PF2|=18,可得4c2+36=4a2,即a2c2=9,故有b=3。222JPF1|+|PF2|=4c10.在极坐标系中，由三条直线8=0,Q=Pcos6+Psin日=1围成图形的面积是3【解析】化为普通方程，分别为:y=0,y=J3x,x+y=1,画出三条直线，一一，一一、3-1的图象如右图，可求得A(123-3),B(1,0),二角形AOB的面2，1积为：123-33-311.当0MxM1时，不等式sin之kx成立，则实数k的取值范围是11、【答案】k<1【解析】作出yi二x=

6、sin2y2=kx的图象，要使不等式xsinkx成乂，由图可知须2kw1。f冗冗、.一一，一,且公差2212.已知函数f(x)=sinx+tanx.项数为27的等差数列Qn满足anw是，3)=0.d#0.若f(a1)十f(a2)十f(a27)=0,则当k=12.【答案】14，冗冗、函数图象关于原【解析】函数f(x)=sinx+tanx在(一，一)是增函数，显然又为奇函数,22点对称，因为a+a?7=a2+a?6=2a14,所以f(a)+f7)=f)+f(a26)=f(a)=0，所以当k=14时，f(aj=013.某地街道呈现东一西、南一北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以

7、互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(二,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.13.【答案】(3,3)【解析】设发行站的位置为(x,y),零售点到发行站的距离为z=2|x+2|+y|2|-2x|-3|y|1|y卜4|y+3RyI5x-p,递+y-6+-六个点的横纵坐标的平均值为一2十3十3一2+"6=2,2十6上,记662A(2,7),画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可2知，在(3,3)处z取得最小值。14.将

8、函数y=J4+6x-x2-2(xwb,6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角9(0<9<«),得到曲线C.若对于每一个旋转角6,曲线C都是一个函数的图像，则«的最大值为.214.【答案】arctan-3【解析】由y=d4+6x-x2-2得：(x3)2+(y+2)2=13,(x.0,6),它的图象是以y轴重合时,(3,2)为圆心，JT3为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C相切的直线为y=kx,当0=0时,3,此时直线的倾斜角为3,即tan3=旦，当切线与22曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数3一2的图象，旋转角为903,

9、则tan(903)=,即。=arctan_23二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。15 ."2EaW2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(口既不充分也不必要条件15、【答案】A2【解析】=a4<0时，一2va<2,因为-2<a<2f是“一2Va2”的必要不充分条件，故选Ao116 .若事件E与F相互独立，且P(E)=P(F)=-，则P(EIF)的值等于111(A)0(B)(C

10、)(D)164216、【答案】B11611P(EIf)=p(e)p(f)=4'=17 .在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(A)甲地：总体均值为3,中位数为4(B)乙地：总体均值为1,总体方差大于0(C)丙地：中位数为2,众数为3(D)丁地：总体均值为2,总体方差为317、【答案】D【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4,可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项

11、B中的总体方差大于0,叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3,故答案选D.18 .过圆C：(x1)2+(y1)2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B,AOB被圆分成四部分(如图)，若这四部分图形面积满足Sj+Sy=Sj+i，则直线人8有()(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条18、【答案】B【解析】由已知，得：SivSii=SiiiS,第II,IV部分的面积是定值，所以，s1V-sii为定值，即s川6,为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选Bo.解答题（本大题

12、满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABCAB1cl中，AA=BC=AB=2,AB_LBC,求二面角旦ACC1的大小。19,【解】如图，建立空间直角坐标系贝UA(2,0,0)、C(0,2,0)A1(2,0,2),4B1(0,0,2)、C1(0,2,2)设AC的中点为MBMLAC,BM±CC1;.BML平面A1C1C,SPM=（1,1,0）是平面A1C1C的一个法向量。设平面AB1G的一个法向量是n=（x,y,z）(x,y,z),=(-2,0,0)nAB=-2x=0,nAC=_2x+2y2z=0,令z

13、=1,解得x=0,y=1n=(0,1,1)设法向量HHBM的夹角为邛,二面角b-AC-C1的大小为e,显然9为锐角:cos二-cosnBM中=1nIBM.14分二面角B1-AC-&的大小为一320（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。有时可用函数0.115lnf(x)：|xT.4,x-4a一,(x<6)a-x,(x6)描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识白学习次数（xN）,f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。(1) 证明：当x'7时，掌握程度的增加量f(x+1)f(x)总是下降；(2) 根据经验，学科

14、甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121,(121,127,(121,133。当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%请确定相应的学科。0.420.证明(1)当*之7时，f(x+1)f(x)=(x-3)(x-4)而当x27时，函数y=(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)>0.3分故f(x+1)-f(x)单调递减.当x27时，掌握程度的增长量f(x+1)f(x)总是下降.6分.9分(2)由题意可知0.1+15lna=0.85a-6整理得一a二e0.05a-60.05e解得a=-0-6=20.50父6=123.0,123.0w(121,127.13分e.-1由此可知，该学科

15、是乙学科.14分21.(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。x2_v已知双曲线c:x-y2=1,设过点A(-3V2,0)的直线l的方向向量e=(1,k)(1) 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离;(2) 证明：当k>e时，在双曲线C的右支上不存在点Q使之到直线l的距离为J6。21.(1)双曲线C的渐近线m:义士J2y=0.2二直线l的方程x士J5y+3啦=0.6分直线l与m的距离d=-3L=J6.8分,12(2)设过原点且平行与l的直线b:kx-y=0则直线l与b的距离d=3flM,Ik2又双曲线C的渐近线为x±

16、;J2y=0双曲线C的右支在直线b的右下方，二双曲线c右支上的任意点到直线i的距离为J6。故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为J6。证法二双曲线C的右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为J6,=,6,(1)'kxo-yo+3>/2则1Jl+k2kxo-2y0=2,(2)由(1)得yo=kxo+3伍士T6G/l+k2,设t=3J2k-J6L.1k2-2-i2当k>J,t=3j2k±V637rhF>0.13分2一一一一一22_一_2一_将y°=k%+t代入(2)得(12k)x24kt%2(t+1)=0(*)1'2_2_2,

17、k,t0,.1-2k<0,-4kt<0,-2(t1)<02二方程(*)不存在正根，即假设不成立故在双曲线C的右支上不存在Q,使之到直线l的距离为J6.16分22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。a(a00),函数y=f(x+a)与已知函数y=f(x)的反函数。定义：若对给定的实数y=f"(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足“a和性质"；若函数y=f(ax)与y=f"(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足“a积性质”。(1) 判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1和性

18、质”，并说明理由；(2) 求所有满足“2和性质”的一次函数；(3) 设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0,满足“a积性质"。求y=f(x)的表达式。22(1)解，函数g(x)=x2+1(x>0)的反函数是gJ(x)=Vx1(x>1).g'(x1)=、.x(x0)而g(x+1)=(x+1)2+1(xa-1),其反函数为y=Jx-1-1(x>1)2故函数g(x)=x+1(x>0)不满足“1和性质”(2)设函数f(x)=kx+b(xwR)满足“2和性质”，k#0.:f(x)=-b(xWR),.f(x+2)=-2-b.6分kk_x-b-2k而f

19、(x+2)=k(x+2)+b(xwR),得反函数y=xb2k.8分kx2'bx'b2k由“2和性质”定义可知x2b=xb2k对xWR恒成立二k=1,bwR,即所求一次函数为f(x)=-x+b(bR).10分1(3)设aA。，a0,且点(,y°)在y=f(ax)图像上，则(y。，)在函数y=f(ax)图象上，故rf(ax0)=V0，可得ay°=f(x。)=af(a%),12分1-1/一:f瓯)=%,令ax0=x,则a=x。二f(x0)=f(x),即f(x)=x0f(x0)。14分x0x0xkkk综上所述，1=b1q=bnf(x)=(k#0),此时f(ax)=一

20、，其反函数就是y=,xaxax而f(ax)=-,故y=f(ax)与y=f"(ax)互为反函数。16分ax23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知aj是公差为d的等差数列，如是公比为q的等比数列。*(1) 右an=3n+1,是否存在m、kwN，有am+am邛=ak?说明理由；(2) 找出所有数列匕0和>,使对一切nwN*,亘±=bn,并说明理由；an(3) 若4=5,d=4心=q=3,试确定所有的p,使数列小中存在某个连续p项的和是数列bn中的一项，请证明。23.解法一(1)由am+am书=ak，得6m+5=3

21、k+1,2分4整理后，可得k2m=?,;m、kwN",二k2m为整数，3不存在m、kwn*,使等式成立。5分(2)若电也=bn,即a1*nd=biqn,(*)aai(n-1)d(i)若d=0,则1=hqn,=bn。当4为非零常数列，bn为恒等于1的常数列，满足要求。7分(ii)若d¥0,(*)式等号左边取极限得lima1+nd=1,(*)式等号右边的极限只有1a(n-1)d当q=1时，才能等于1。此时等号左边是常数，,d=0,矛盾。综上所述，只有当&为非零常数列，bn为恒等于1的常数列，满足要求。10分【解法二】设an=nd+c,若电土=bn,且为等比数列an则包圭/a_±=q,对nwn都成立，即anan攵=qa2n书an1an二(dn+c)(dn+2d+c)-q(dn+d+c)2对nN都成立，,a2=qd2.7分-4-4-.-r»r_*右d