曲线积分与曲面积分

1、第十章曲线积分与曲面积分（第一部分）曲线积分I、对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）一、对弧长的曲线积分的概念n1.定义f(x,y)ds=limxf(i,i)§.L"1nf(x,y,z)ds=lim'f(i,i,i)Si1 -Dii2 .物理意义M=1P(x,y)ds表示线密度为P(x,y)的弧段L=AB的质量.L二、对弧长的曲线积分的性质1 .线性性质：f(x,y)g(x,y)ds=：f(x,y)dsg(x,y)ds.LLL2 .可加性：若L=Li+L2,贝ff(x,y)ds=f(x,y)ds+ff(x,y)ds.LLiL23 .L的弧长：s=ds.L4 .单调性：

2、设在L上,f(x,y)<g(x,y).贝Uf(x,y)ds<fg(x,y)ds.LL5 .与积分曲线的方向无关性：f(x,y)ds=f(x,y)dsABBA三、对弧长的曲线积分的计算方法方法：化为定积分计算(注：下限<上限)(1)若L:x=%,y=(t)(s«t«B)；则f(x,y)ds=_f(t),(t).2(t)'2(t)dt.L(2)若L:y=W(x)(xo<x<X);则X.f(x,y)ds=fx,(x)1(x)dx.“)若L:r=r伊）交三%）；则f(x,y)ds=if2f(rcosn,rsinR.r2r2(i)dr.L.311

3、(4)若:x=q>(t),y=V(t),z=o(t)(a<t<P);则f(x,y,z)ds=f(t),(t),(t)K2(t)2(t)2(t)dt.p,a注被积函数可用积分曲线方程化简！四、对弧长的曲线积分典型例题例1.求I=£.(x+g)2+号+1)"ds,其中L:x2+y2=1.分析此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分曲线是x2+y2=1,而由轮换对称性可知：x2ds=£y2ds,由奇偶对称性知：丸(x+y)ds=0.故本题有如下简单的解法。25解I=T(x2+、+)+(x+y)ds2525=c'iJ(x2+R+(x+y)

4、ds=qL(x2+!十二)dsL44L442222='l(xyxy5)dsds154284L二；(11)ds52二二"L28442五、对弧长的曲线积分的应用1 .几何应用求曲线的弧长s=ds.L2 .物理应用质量M=(x,y)ds.L质心11二x2(x,y)ds.Lxx(x,y)ds,yy:(x,y)ds.MLML转动惯量Ix=y2(x,y)ds,IyL耳力Gx,.、GP(x,y)(xX。)GP(x,y)(yy。)弓|刀F=(Fx,Fy)=3ds"L3ds-1cLrr)n、对坐标的曲线积分(第二型曲线积分)、对坐标的曲线积分的概念n1 .定义P(x,y)dxQ(x,

5、y)dy=l吗q3(i,i)XiQ(i,i)yiLL'卢i=12 .物理意义W=Fdr=(PiQj)(dxidyj)=PdxQdy.ABABAB变力F(x,y)=P(x,y)7十Q(x,y);沿L=AB所作的功.二、对坐标的曲线积分的性质1 .线性性质：Fi(x,y)Fz(x,y)dr=:Fi(x,y)dr，:iFz(x,y)dr.LLL2 .可加性：若L=Li+L2(方向不变)，则F(x,y)dr=F(x,y)drF(x,y)dr.LLiL23 .方向性：设L是L的反向曲线弧，则jF(x,y)，d7=-F(x,y)，d：.L-L三、对坐标的曲线积分的计算方法1 .直接计算法(化为定积

6、分计算).(注：下限T起点A,上限T终点B)(1)设L:x=平(t),y=W(t)；t从ot变到P;则PP(x,y)dxQ(x,y)dy=P(t),'(t)(t)Q(t),(t)(t)dt.L(2)设L:y=W(x)；x从a变到b;贝UbP(x,y)dxQ(x,y)dy=Px,(x)Qx,(x)(x)dx.aL(3)设L:x=%y)；y从c变到d;则dP(x,y)dxQ(x,y)dy=cP(y),y(y)Q(y),ydy.L(4)设：x=<P(t),y=W(t),z=eo(t);t从a变到P;则P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzr=P(t),(t),(t

7、)(t)Q(t),(t),(t)(t)R(t),(t),(t)(t)dt.2 .格林(Green)公式计算法PPdx+Qdy=f1-dxdy.(注意使用条件！)ldx；y(这里L+为区域D的正向边界曲线)3 .利用积分与路径无关的条件计算法.JPdxQdyt路径无关ucPdxQdy0,c为区域G内任意闭曲线.LcPQ一=上(x,y)GT连域y：xudu=Pdx+Qdy,(x,y)G一单连域.BfPdx+Qdy=U(x,y)ANewtonlebniz公式的推广。L4 .斯托克斯(StokeS公式计算法cosaqPdx+Qdy+Rdz=打工pcos：:yQcos:zRdS.(这里r是有向曲面工的正

8、向边界曲线)注被积函数可用积分曲线方程化简！四、两类曲线积分之间的联系lPdxQdy=l(Pcos'Qcos)ds.其中。(x,y)、P(x,y)为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角.五、对坐标的曲面积分典型例题例1.计算曲线积分I=L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy,其中L为曲线4y=111x|(0MxE2)沿x增大的方向分析由于巨¥邈，故曲线积分与路径有关。又因积分曲线L不是封闭的，计算t:y；x本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用添补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分.x.

9、0<x<1曲线L的方程改写为y=,再代入被积函数中计算。2-x,1<x<2rx,2x,0MxM11x<2I=L(x二90(-a2)dt=Z.y2)dx(x2-y2)dy二02x2dx，11k2(2f)2ldx，11k2。(2-x)2(-dx)22222-12(2-x)dx=-(2-x)333例2.计算曲线积分I=q(x+y)dx(2-y)dy其中l为圆周x2+y2=a2(按逆时Lxy针方向绕行).分析由于本题积分曲线L为圆周x2+y2=a2,故可首先写出L的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算；此时

10、应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。解法1:化为定积分计算。由于L的参数方程为：,x=aCOSt,t从0变到2冗.则j=asint2二f0(acost+asint)(acost)-(acost-asint)(asint)dt解法2:利用格林公式计算。设L由所围区域为D,则D:x4.2+y2<a2;于是(xy)dx-(x-y)dy1/(xy)dx-()dy12211(-1-1)d-=2'”二二-例3.设函数中(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分子2零鬻的值恒为同一常数。证明：对右半平面xA0内的任意分

11、段光滑简单闭曲线C,有为中(坐+?ydy=0；C2xy求函数出y)的表达式;设L是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求(y)dx2xydyL2x2y4(1)证在右半平面x>0内，任取两点A,B,以A为起点，B为终点作任意光滑曲线U,L2,再以B为起点，A为终点作围绕原点的光滑曲线L3,由题设知(y)dx2xydy(y)dx2xydy,L1l32x2y4,L2l32x2y4所以，qL(y)dx2xydyo2412xy中(吗，2阴,即勺2xyC吗dx：2xydy=0.2xy(2)解因为对右半平面x>0内任意分段光滑简单闭曲线C,有=0'所以看二复从而有(y)(2x2y4)-4y(2

12、xy)(y)2y5-4x2y24.2(2xy)所以，有2b(y)x2+yW(y)-4y3平(y)=2y5-4x2y,比较两边x的同次幕系数得(y)二一2yc:2,将中(y)代入第二式得中(y)=-y2.(y)-4(y)=2y2(3) 解设D为正向闭曲线La：2x2+y4=1所围区域，由工吗铲T*泮，利用Green公式和对称性,(y)dx2xydy2.24ydx2xydy=4ydxdy=0.La2xyLaD六、对坐标的曲线积分的物理应用求变力沿曲线所作的功：W=Fdr'=PdxQdy.ABAB(第二部分)曲面积分I、对面积的曲面积分(第一型曲面积分)一、对面积的曲面积分的定义n1 .定义

13、f(x,y,z)dS=lim、'、f(i,i,JSi.三y2 .物理意义M=HRx,y,z)dS表示面密度为P=P(x,y,z)的曲面工的质量.y、对面积的曲面积分的性质1 .线性性质：fjcf(x,y,z)士Pg(x,y,z)dS=aJJf(x,y,z)dS±Pffg(x,y,z)dS£££2 .可加性：口f(x,y,z)dS=Hf(x,y,z)dS+口f(x,y,z)dS.EHL三二23 .工的面积：S=1dS.4 .单调性：若在工上，f(x,y,z)<g(x,y,z),则JJf(x,y,z)dS<口g(x,y,z)dS.X

14、63;三、对面积的曲面积分的计算方法方法：化为二重积分计算(关键：确定二重积分的积分变量)(1)若工：z=z(x,y),(x,y)Dxy.则JJf(x,y,z)dS=JJfx,y,z(x,y)，1+z2+zjdxdy.工Dxy(2)若工：x=x(y,z),(y,z)Dyz.则f(x,y,z)dS=fx(y,z),y,Dyz(3)若工：y=y(z,x),(z,x)edzx,则!f(x,y,z)dS=fx,y(z,x),Dzx四、对面积的曲面积分典型例题22,z1xyxzdydz.22z1yzyxdzdx.例1.计算曲面积分HTz,其中工为x2+y2=R2在z=0与z=H之间的部:xy-z分。分析

15、因为工：x2+y2=R2,即F(x,y,z)=x2+y2-R2=0,从F(x,y,z)=0中能确定x=±,R2-y2,或y=±Jr2_x2解令工i：x=R2y2;工2：x=-Jr2-y2.则工=工1+工2(如图)(1)求工i和工2在yoz平面上的投影区域:因工1和工2在yoz平面上的投影区域相同，设为Dyz,则Dyz：-R<y<R,0<z<H.(2)求微元dS:在工1和工2上,dS=1(.x)2(；*x)2dydz=一yzr(3)转化为二重积分:dS_一222丁xy-z=(!！)dSR=2iidydzDyz(R2z2)R2-y2R=2RdyR2-yH

16、dz20R2z2y=2RarcsinRR1arctan_RRHH二2二arctan0R例2.计算曲面积分JJ(ax+by+cz+d)2dS,其中工为球面x2+y2+z2=R2.分析由于积分曲面Z为球面x2+y2+z2=R2,它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以JJx2dS=JJy2dS=1z2dS,而JxdS=口ydS=JJzdS=0.故本题利用轮换工工工£££对称性和奇偶对称性计算比较简单。解因(ax+by+cz+d)2=a2x2+b2y2+c2z2+d2+，由奇偶对称性可知,上述未写出项的积分值均为0,而由轮换对称性易知口x2dS=口y2dS=ffz2dS,故

17、工工£11(axbyczd)2dS=(a2b2c2)11x2dSd211dSy工工(x2y2z2)dS4二R2d2y12=3(ab2c2)R2dS4二R2d24：,:222_4_22(abc)R4Rd.3注从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点：(1)由于积分范围工是曲面，所以点(x,y,z)的坐标满足曲面工的方程F(x,y,z)=0,计算中要善于利用曲面工的方程来化简被积函数；(2)计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面工的对称性(包括轮换对称性)和被积函数f(x,y,z)的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算；(3)将对面积的曲面积分转化为二

18、重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面工的方程F(x,y,z)=0的特点所决定的，从以上的例子即可看出。五、对面积的曲面积分的应用1 .几何应用求曲面的面积：S=0dS.2 .物理应用质量M11P(x,y,z)dS.工1_1质心x=丁1xP(x，y，z)dS,y=Q口yp(x,y,z)dS，MM-1，zz(x,y,z)dS.M二转动惯量Ix=(y2z2)：dS,Iy=(x2z2)：dS,££22Iz=(xy)；dS.工n、对坐标的曲面积分(第二型曲面积分)一、对坐标的曲面积分的概念1 .定义P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)

19、dxdy工n=lim"P(i,i,i)(Si)yzQ(i,i,i)(Si)zxR(i,i,i)(SJxyL，02 .物理意义二HPdygdzdRtdxd河流体密度P=1速度场为V=p7+q7+r7,单位时间内流过曲面工一侧的流量。二、对坐标的曲面积分的性质1 .可加性PdydzQdzdxRdxdy三三=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy十口Pdydz+Qdzdx+Rdxdy;2 .反号性PdydzQdzdxRdxdy11PdydzQdzdxRdxy工与三、对坐标的曲面积分的计算方法1 .直接投影法(化为二重积分)(1)设工：z=z(x,y),(x,y)WDxy.则!R(x,y,z)d

20、xdy=Rx,y,z(x,y)dxdy.1Dxy上侧取“+”，下侧取一”.(2)设工：x=x(y,z),(y,z)WDyz.贝U10!P(x,y,z)dydz=Px(y,z),y,zdydz.三Dyz前侧取“+”，后侧取.(3)设工：y=y(z,x),(z,x)eDzx.则IlQ(x,y,z)dzdx=Qx,y(z,x),zdzdx.Dzx右侧取“+”，左侧取”.2 .高斯(Gaus§公式计算法iiPdydzQdzdxRdxdy=dxdydz.:Q:Rdxdydzt-.L.I.yzxyz口(Pcosa十QcosP十Rcos-OdS=fffIQl'x这里工是建的外侧边界，cos

21、a,cosP,cos¥为曲面工上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.3 .转化为第一型曲面积分计算法iiPdydzQdzdxRdxdyii(Pcose二QcosRcos)dS工工其中cos%cosp,cos¥为曲面工在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦4.斯托克斯公式:Q；PdydzI:z；：:立一空dzdxx.Pdxdyy=PdxQdyRdzdydz:xPdzdx:yQdxdy:zRcos-:xPcos?dS=PdxQdyRdz其中，r为分段光滑的空间有向闭曲线，工是以r为边界的分片光滑的有向曲面，r的正向与工的侧符合右手规则，p,q,r在工(连同边界)上具有一阶连续

22、偏导数。四、对坐标的曲面积分典型例题2.例3.计算曲面积分I=naxdydz(za2dxdy，其中工为下半球面三(xyz)z=v'a2x2-y2(aa0)的上侧。11分析由于P=ax22212，(xyz)(za)2222、12(xyz)定义在曲面工上,所以被积函数满足曲面方程z=-va2-x2-y2.故应首先考虑用曲面方程化简被积函数，即I12小、一、rm=Haxdydz+(z+a)dxdy,然后再计算。a三先以x2+y2+z2=a2代入被积表达式中，得2axdydz(za)dxdy1,z,axdydz(za)dxdy.(x2z2)12（法一）直接计算将工（或分片后）投影到相应坐标面上

23、化为二重积分逐块计算。11=xdydz二-211：a2-y2-z2dydzDyz其中Dyz为yoz平面上的半圆y2+z2<a2,z<0.利用极坐标，得2a222_3da-rrdra,二,03121-ii(za)2dxdy=1iia-a2-x2-y22dxdyaDxy=-d;!(2a2-2aa2-r2-r2)rda-二a3a006因此，I-11T2（法二）高斯公式补有向曲面工i：z=0,（x2+y2Ea2）取下侧，则工+工i构成封闭曲面，且方向为内侧。由Z+T,所围成的空间闭区域为建：0<z<Va2-x2-y2（如图所示）.应用高斯公式，得|axdydz(za)2dxdy

24、111()dxdydz,1x二y二z12- -a2(za)dxdydz- -3aiiIdxdydz-2i11zdxdydzQQ_4_0._4_0.22.- -2a-2zdziidxdy-2二a-2二z(a-z)dzaaDz二.2a41二a4=一3二a4.2 2又因jjaxdydzz+a)2dxdyjja2dxdyjja2dxdyna4,三三x2y2-厘2因此I=1(-a4,二a4)=-a3.a22例4.计算I=qL(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。分析本题为沿空间曲线的积分，

25、从所给曲线来看，若采用参数法转化为定积分计算比较困难。现利用Stokes公式将曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化为二重积分时，曲面上的侧与曲线L的方向符合右手规则，从而正确决定二重积分的正负号。解设工为平面x+y+z=2±L所围成部分的上侧，D为工在xoy坐标面上的投影区域，则D:|x|+|y|<1；由Stokes公式，得.x22y-z13:y222z-x13:z223x-y一2-一dS一(4x2y3z)dS.32=-(4x2y6-3x-3y)3dxdy3 d-211(x-y6)dxdy-1211dxdy-24.DD五、其它结论1 .Pdydz+Qdzdx+Rd

26、xdy与£无关。何Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=0,S为区域G内任意闭曲面S:x-:z(x,y,z)WG一二维单连通域。132 .空间曲线积分与路径无关的条件Pdx+Qdy+Rdz与路径无关仁qPdx+Qdy+Rdz=0,c为区域G内任意闭曲线:c:P:QQ:R:R;Pu一二一,一=一,一二一，(x,y,z)wG维单连通域y二xzy二x:z仁du=Pdx+Qdy+Rdz,(x,y,z)=G维单连通域B二PdxQdyRdz=u(x,y,z)A.r(x,y,z)u(x,y,z)=PdxQdyRdz(x0，丫0,z0)x=P(x,y0,z)dxx0yzQ(x,y,z0)dyR(x,y,z)dz.y0z0注：二维