整理微分中值定理及其应用12237

1、精品文档微分中值定理r中值也鲍用y酬的颐求未返的碗r磁性态研究（费与定理罗尔淀理控格用日癖泰勒公式方程根的存在性适合割条件的存在性不等式单调区间'极值凹向与拐点回®形的蹉SffiS,醍大值与最d塞'腮的局部性防j八上中心一新屈线L转二、内容与要求1 .理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，知道泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.2 .掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.3 .理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.4 .会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数

2、的图形.重点罗尔定理、拉格朗日中值定理、用洛必达法则求未定式极限难点罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理三、概念、定理的理解与典型错误分析定义3.1若存在x0的某邻域如力）,使得对一切/WW伙工）”（幻）,则称/W为极大值（极小值）称X0为极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。定理3.1（费马（Femat）定理）（取到极值的必要条件）精品文档精品文档设f(x)在点x0处取到极值，且J*(几)存在，则反之不真，例如丁“=焉/=3月/'(0)=0，但f(o)不是极值。费马定理常用于证明f(x)=0有一个根，找一个F(x),使尸3二/证明F(x)在某点x0

3、处取到极值且歹(凡)存在，由费马定理知包即汽Q=。定理3.2(罗尔(Rolle)定理)设f(x)在闭区间a,b上满足下列三个条件：(1)f(x)在闭区间a,b上连续；(2)f(x)在开区间(a,b)内可导；(3)3胞,则至少存在-点>包:使小©二0推论在罗尔定理中，若f(a)=f(b)=0，则在(ab)内必有一点:,使小也即方程f(x)=0的两个不同实根之间，必存在方程f'(x)=0的一个根。罗尔定理的应用：1证明f(x)=0有一个根，找到一个F(x)，使fW=/W,验证F(x)在某闭区间a,b上满足罗尔定理条件，则至少存在一点“3垃骸纭)=0抑/©二0o2证

4、明适合某种条件白的存在性：把待证含有4的等式，通过分析转化为形式，对F(x)应用罗尔定理即可。定理3.3(拉格朗日(Lanrange)定理)若f(x)在闭区间a,b上满足下列二个条件：(1) f(x)在闭区间a,b上连续；(2)f(x)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点巴以垃使/J=/1©).b-a拉格朗日定理的结论常写成下列形式：摘-/dGWWU上式中当a>b时公式仍然成立，即不论a,b之间关系如何，?总介于a,b之间，由0<-=d<L得f=a+&(b-<6<1,b-a所以%)-加)=力。+双-创3-公0<八1.拉格朗日定理是连结函

5、数值与导函数值之间的一座桥梁，特别适合给出导数条件，要证明函数值关系的有关结论，就需要用到拉格朗日定理，拉格朗日定理主要应用是证明不等式定理3.4(单调性定理)设f(x)在区间X(X可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半闭半开区间，也可以无穷区间)上连续，在X内部可导(不需要在端点可导)，(1)若xeX内部，则f(x)在区间X上递增。(2)若工EX内部，/W<0，则f(x)在区间X上递减。精品文档精品文档(3)若IEX内部，则f(x)在区间X上是常值函数。若(1)中及注邈侬泗,则f(x)在区间X上严格递增，若(2)中，8<oWV)<o,则f(x)在区间X上严格递减。推论若f(

6、x)在区间X上连续，在区间X内部可导，当工eX内部,/'W>0(<0)且f(x)在X的任何于区间上，HQ,则f(x)在区间X上严格递增(减)。证由2。，知f(x)在区间X上递增，假设f(x)在X上不是严格递增，即存在孙/wX且以<：石,葡。1)=/(心),打。)在衣上递增，所以任给I43初,有了W/D«/(%)=/(4)从而殛西Z亟兀所以/0)三0,我却怎1与条件矛盾，故f(x)在区间X上严格递增，对于同理可证f(x)在X上严格递减。单调性定理及推论是证明函数在某区间上(严格)单调或是常值函数和求函数(严格)单调区间的重要方法。定理3.5(柯西(Cauchy

7、)定理)设f(x),g(x)在闭区间a,b上满足下列条件：(2) f(x),g(x)在a,b上连续(3) f(x),g(x)在(a,b)内可导了©)7©仁(»*。,工£&a,则至少存在一点女(。力),使g(b)-g(a)g1C)证明与拉格朗日证明类似，只要把拉格朗日定理证明过程中b换成g(b),a换成g(a),x换成g(x)即可，读者可自证。典型错误：对f(x),g(x)在a,b上分别应用拉格朗日定理有ZgEM二ZBzgR其中白y.目一且父©-白)/,实际上分子、分母中的两个S是不一样。柯西定理也可以用来证明不等式及适合某种条件e的存在

8、性，但没有拉格朗日定理和罗尔定理用得多。精品文档精品文档定理3.6(泰勒(Taylor)定理)设f(x)在区间X上存在n+1阶导数，对每一个仆人、任给工eX,且亦乙，有/=/%)+(工一通)'+'0°)5-”厮严,2!理！+1)1其中七是介于x0及x之间称为拉格朗日余项，当x0=0时，称为麦克劳林公式，即/二汽0）+”0）M+等/+J（叭尸班产+"nXiX川（同+1）!（7）!称为麦克劳林余项。定理3.7(佩亚诺(Peano)定理)若f(x)在点x0处存在n阶导数，则/W=/（通）+/（礴）（工-晶）+（工-/+°口）丁_而+（1/尸）0>%

9、）2!»!以二为泰勒公式的佩亚诺余项.相应的麦克劳林公式为/。)=/(0)+八0"+邛/+“+二+«)GT0).2!mI读者要记住5个常用函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式F=1+X+o(x*);I21T/宁+卬ft4J维COSJT=1-,+H!"（一1+口（兀加）;2!4!61（2砰）！ln（1+a）=jr-+-+*-+。（二）；234aL-01）2M&-1）（出一月+1）N/N、（l+z）w=1+-r-x"+式工）2!闻精品文档匕的存在性及各种不等式。精品文档带有拉格朗日余项的泰勒公式可用以证明方程根的存在性、适合某种条件带有佩亚诺

10、余项的泰勒公式仅适用于求函数极限。定王I3.8（洛必达的明）法则|）设lim=QImg（x）=0(4) XT砧才TM；g二0；（2）存在A。的某邻域她，当巾时,都存在，且岛芯二黑或岛&二小芯卫二以或皿跖炉（工），则#TMgO）*T=£（旬定王13.9（洛必达（口Hospital）法则|）,设lim/二叫ling（x）=dd（i）:一；00（2）存在I。的某邻域组，当它四！）时,即）,式X）都存在且g（I）=。；inn出二小或L&3二久或购#T#/，（工），则#1 .上述两个法则中的X7%改成工T%,17瓦，工今皿工小回工-8时，条件只须作相应的修改，结论依然成立。2

11、.在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换,以达到简化，再利用洛必达法则。3 .利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出；若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法。止匕外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次。例i若/（彳）在%点可导，则/（用是否在4的某邻域内可导或连续或极限存在.答否.力。，工为有理数,例,=为无理数，由hm3D我m依卜n=rInn三口X，知J在工=口处可导.精品文档精品文档当工时,limlim3以理ftD=0X=4,片闻，知/因在7处极限不存在，从

12、而也不连续,/（方在工=。处可导，但在*=的任何邻域里除r=0外均不可导，不连续，极限也不存在,因此，我们在解题时，不能根据自己的感觉来得到结论，一定要根据定理、推论、性质、公式来得到所需的结果.若/你在“点可导,则/WJeXd的某邻域内有界吗?答是.了在点%J点可导，则处必连续，利用连续的局部有界性知，存在内有界.例如:递增，但否./（另在区间上是单调函数且可导，那么在区间上是单调函数吗?>0/在（-四十co）上严格(-3,0)上小于0,在（0,+CO）上大于0,故在（一医+3）不是单调函数.例4如果可导数£（方与次当就m,有了©冶,那么当1M时，必有网财,这种说法

13、正确吗？答不正确.虽然函数的增长率比函数g(i)在同一点处的增长率大，但如果/在x=a处的初始值比g在工处的初始值小，就不能保证对任意的例如函数fax八正欣尤卜工当加时，/双.但是当（kfd时，有/W<gW,(图8-1)。当工=2时，有式2）=g（2）=4；当r>2时，才有因此，利用导数的大小比较两个函数值的大小时，必须考虑起点处的两个函数值的大小上述问题如果加上初始相等：f=g这一条件，那么结论一定正确，请读者自证.精品文档精品文档设函数J（K）在包含点%的开区间内可导，如果,由此可以断定f（用在点工的某邻域内单调增吗?答不可以.x+2xasin-R衣Qx例如函数口,、三口-根据

14、导数的定义，有*屁/-/=limNDxj-*D科2zJsin-工.1=lim1+2於in-=1>0?：ad/,()=l+4xsin-2cosJ-xx瓦=伏=皿±2,）处,但在(t=±L±2/"j处,却有八片户-同当上T8时,工70/-口，因此在点X=0的任何邻域内,八月的取值有正有负,从而的任何邻域内都不是单调的，如果不然，不妨假定（力I在点的-邻域(Y8)内单调增，那么对充分小的网叫使工】+山仍属于该邻域,则有AzAx这与例6如果函数处有极大值，能否肯定存在点D的邻域，使在左邻域内单调增加，而在右邻域内单调减少?答不能肯定.我们知道，如果函数抵在

15、的某邻域内连续，且/在的左邻域单调增加，而在X的右邻域单调减少，则J（工）在1D处一定有极大值/（1J,但是，这个结论反过来是不一定成立的精品文档精品文档例如，函数/«=2,m。，z=°-显然,（0）=2是极大值,r=0是极大值点.容易算出为自然数），当n充分大量，%与】般都可进入r=0的充分小邻域内,24<0(幼由此可见，在点r=0的右8邻域内，无论多么小，总有这样的点因而函数网不是单调的.同样，在点r=0的左式邻域内也是如止匕,其理由参阅问题例5最后一段.例7最大（小）值一定是极大（小）值吗？反之极大（小）值一定是最大（小）值吗？答不一定是.极大（小）值的定义是存

16、在心0，当庆！工厂唬+日）时，都有，极值的必要条件是在-1的两侧要有定义例如图8-2所示f©为最小值，为最大值,但不是极小值，因为在力的左侧没定义,也不是极大值，同样是因为在力的右侧没定义从图中还可以看出，为极大值但不是最大值，/（匕）为极小值但不是最小值，因此，一般情形下，最大（小）值与极大（小）值没有关系，但若最大（小）值在区间内部取到，则一定为极大（小）值，故区间内部的极值点是最大（小）值的怀凝点1J1+/-JcUSK1UT1=1+JT-COSX例8.求za+x）富垃工.1v典型错误lim=limt(x+r)sinxtlrl+x:-cosxL2x+sinx二Jim=z=-lin

17、ir2f+P2D2可3PL2+cosL-sinz=-lim=0.2a口2+612巾6精品文档精品文档L2+cosx0一JU1点评2T2+6x已不是“0”型，此时不能用洛必达法则lr2+cosx133解原式一，-。2+6x，一了limtan*(+-)(«EA0.例9.求*'4理典型错误点评网分子、分母都是限的数列，关于用不连续，更不可导,limtan"向tanJ(-+-)解方法一4港a14彳故不能利用洛必达法则11_JX回*"】1|工+对田(叫产商4方法二limtan精品文档精品文档tan2.(1+tan-ylim91Tlsc1-tan与n2.18rl一(1

18、+tan)Mn例10.*2、三«(1-tan-)n典型错误11TiF一lim耐7limx国*二m点评实际上才TO不是未定式，由工Tl,因此才T3例11.设广（。存在且?2'求典型错误Em由小而蛔闻知则加Q由用在自处二阶可导，知酸在n1/（1）=/（0>0,如学专=蚂坐=2.1=1处连续，有T因此川犬口n2x由呼闻知则刎又州）在1=。处连续，有/ZWW11m幽（如m3=吆2,T2x口T22得/<-.-精品文档精品文档点评答案是正确的，但对ND2工用洛必达法则是错误的，因为从条件7X。)存在,推不出/,(w0的某空心邻域内可导，不符合洛必达法则的第二条，且(1)在r=

19、0不知是否连续，不能用Em心十加1/7例12.求Z1典型错误1i-AT分析这里用了分次取极限是不正确的，因为当时，-X,而不可能出现典型错误2ilim卢=广=1,»4L点评偷梁换柱，我们知道1的任何数次嘉为1中的数是指的数，而00不是一个数，而是无穷大，因此，不能方法一±LTlim产”=lim1)x->l*t1|方法二；J-hJT画兽由lim工I=lim=吸二ttIjttI例13.lim工典型错误limIT珈出丫用治必达法则fclarctanx1+h由1T+CO时,arctanxlim不T他InarctanxA=U.rInarctaInnZ4-rco点评尽管结论正确，

20、但解法错误，因为Inafctanx-i-2toarctanx11八开八lim=lim-Inarctanx=0In=0精品文档精品文档因此，使用洛必达法则之前，必须验证条件是否适合，否则可能导致错误，甚至会出现结论正确、过程不合理的情形.还要注意到洛必达法则的条件是充分条件，即满足条件结论一定成立，不满足条件结论可能成立也可能不成立，因此，我们就不能随便用.lim.例14.求211+£也1rK-SHUr1-CDSXrsinzqlim=lim=lim-=-l.典型错误一-.一，.：TT''一二点评寸x-sinzhmgrkcosxhmCO”，而2，十。£工中分子、

21、分母的极限都不存在，已不属于co或“co”型，不能再用洛必达法则。I11sinxnrx-sinxi%1-0hm-=肝即彳1、+工聊xIMx1.四、解题方法与题例1.证明方程根的存在性把要证明的方程转化为f(x)=0的形式。对方程f(x)=0用下述方法：(1)根的存在定理若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且皿阳<0L则至少存在一点(2)若函数f(x)的原函数在a,b上满足罗尔定理的条件，则f(x)在(a,b)内至少有一个零值点.(3)若函数f(x)的原函数F(x)在某点x0处取极值，在x0处导数也存在，由费马定理知F'(x0)=0,即f(x0)=0。实常系数的一元n次方程即1+&

22、amp;工+'''+*工+盘=°(0户°),当n为奇数时，至少有一个实根。证设/(幻二%/+%工1+怎-11+/二/(的+旬+4-14+44)XXX由4HQ不妨设a0>0。由于l/G)=*0,取M口练>°,当x>N0时,都有f(x)>1>0取b>N0,有f(b)>0,£/(力二一0°,取材=L皿>°当x<-N1时，都有f(x)<-1<0精品文档精品文档取a<-N1(5)实系数的一元n次方程在复数范围内有n个复数根，至多有n个不同的实数根。(

23、6)若f(x)在区间X上连续且严格单调，则f(x)在X内至多有一个零值点。若函数在两端点的函数(或极限)值同号，则f(x)无零值点，若函数在两端点的函数(或极限)值异号，则f(x)有一个零值点(7)求具体连续函数f(x)在其定义域内零值点的个数：首先求出f(x)的严格单调区间的个数，若有m个严格单调区间，则至多有m个不同的零值点。至于具体有几个，按照6研究每个严格单调区间是否有一个零值点。(8)用泰勒公式证明方程根的存在性.(9)在证明方程根的存在性的过程中，我们经常要用拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程根的存在性所需的条件，然后利用上述的方法来证明方程根的存在性

24、。例1设f(x)在上连续，在(冬刊0)内可导，f八二(k为常数)，f(a)<0,证明至少存在一点1GMw),朝©二6。证2K6以喇。在信冈上对f(x)应用拉格朗日中值定理得f(x)-f(a)=f,(c)(x-a)>k(x-a')(a<c<x)=>f(x)>f(a)+k(x-a).要使f(x)>0,只要-J(a)>+(2>(2f(b)>0,又f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)<0,由根的存在定理知至少存在一点小(鼠6-),使/二0例2设f(x)在0,1上可微,官即)，0f(x)=x。,由F(x)在0,1上

25、连续,由根的存在定理知，至少(0)=/(0)-0=/(0)>0,F(l)=/(!)-!<0,知F(0)尸<0存在一点小(0力，/的=或下面证唯一性。假设存在小耳£(0,1),且可<%/(近)=肛/氏)=知刈工1)=取)=0(x)在上应用罗尔定理知，至少存在一点心岫使/瑞)一！二Q,即n3二与底0JQ)h1相矛盾，故在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x。aain/7例3.设巴尊11瞋为任意的实常数，证明在口功内必有一个零点。/(初二由co$X+的8$21+&cosx精品文档精品文档分析由于加叫+小+4,无法确定f(0)的符号，因此不能用根的存在定

26、理，改用罗尔定理，关键是找/(x)的一个原函数，由于/W是具体的表达式，用求不定积分的方法可找到/(1)的一个原函数。=t?isini+sin2x+<<,+-sinnz、证令】2闰且阳加/由f。)在。,开上连续，在(°内可导，尸.皿由罗尔定理知至少存在一点题先使严C)=Q,即加二。注：巧妙地利用尸任)在特殊角的三角函数值相等这一条件，验证符合罗尔定理的条件设了在画上n次可导,/叫1,2，,”例4.一1，证明至少存在-点代&虬使兴©=Q.证法一将网在；，；二方处展成泰勒公式有21n-l.i!M其中白<”工,把/(b)=f(b)二二严"(b)

27、=0代入上式得M(工何取(=f(a)=-(a-by,刻1二4得。叱<8由(”的M°，两边同除以一二”.证法二由/uO在4#上满足罗尔定理条件则至少存在一点心(朝，使，信)=0由f(x)在也，身上满足罗尔定理条件，则至少存在一点刍e(O,山=。，如此下去,上满足罗尔定理条件则至少存在一点白爆回，使/&)=0.例5.设a,b为常数，若j1工)在(a,b)血rJlim/二3内连续，人口+(常数)f(常数)且<。证明至少存在一点空(口用使/团=0.精品文档精品文档x=*IE（。力）x-b由尸在a,b上连续:,中根的存在定理知至少存在一点2。协使f©=Q,又1E,

28、力）时,F（x）=/（疝故/C）=o例6证明方程Inx=-71-cos2xt/x在区间（0,+w）内有且仅有两个不同的实根-302x七二sin2xdx=或（sinxdx=2也Inx=-2i/2-lnx-272=0求出F（x）的单调区间，由于尸二”得工二或且耳无导数不存在的点，下面列表x0（0,e）e（油0）4-00+UmF二-2正/limFGO=+o由F在（0,e）内严格递减且在两端点函数（极限）值异号，知在（0,e）仅有一个零值点,F（x'）在色网内严格递增且在两端点函数（极限）值异号，知尸11）在化网内仅有一个零值点，故原方程在（0,+00）内有且仅有两个零值点。注：求具体连续函数

29、在其定义域上或在指定的区间上有几个零值点就用上述的方法，即（1）求出函数的定义域（2）求出导数等于零或导数不存在的点；（3）列表；（4）讨论每个严格单调区间两端函数（极限）值的情况；（5）结论.例7.设方程+c=0,就c的取值，讨论方程根的个数./«=-27"仃3=-27二一+施-我令?封=一解得西二一3肉二3列表精品文档精品文档-co9-3(-3,3)3（犷+oa+一+-00/C+54c-54/+00(1)(2)(3)例8.解当c+54<0或c-54>Q即c<-54或t>54时，方程仅有一个根当。+54二。或c-54二。,即白二i54时，方程有两个

30、不同的根3c+54>Oi.c-54<0,gp-54<c<54时，方程有三个不同的根。11判断方程kF+印-学工在boo商有几个根，并证明之。1 1设/=即+|市-g匆由/（f）二/,因此考虑区间他）当了之1时,/(x)£l+l-cosx>0,而0)二-230二-1(0)(1)=1+1-8。,知/卜)在(0,1-1-.1）内至少有一个根.又工时,小）=厂'+尸、皿>0,知网在（0,1）内只有一个根，由于/是偶函数,所以/在（一电+0°）内仅有两个根.例9.若3J-5&<0,证明方程+2幻?+3ix+呢=0仅有一实根证设

31、/=/+2。/+3历+4c,由强）_是奇次多项式，由第一章§4例8结论知（才）二Q在（-电泡）内至少有一个根，又/=5/+6a/+更=5（/），+6加+3b且判别式=36a2-453b=12（%一如<0,知/>0,所以方程在（一曜拗）内仅有一个根.2 .证明适合某种条件下S的存在性常用的方法有罗尔定理、拉格朗定理.例10.设-二；在力上连续，在（口内可导且精品文档精品文档匹）g345g,试证介于f（x）的两个零值点之间，至少有一个g（x）的根。证由条件知存在耳,可乐句，且工141，使/（心）=QJ用反证法。假设对每一个工£工卜电田（彳）=0,令尸=式工）,知网工

32、）在应引上连续，在（瓦用）内可导,且F（铲啊）=0,由罗尔定理知至少存在一点“（而用）匚（即虬使可©=0,由fy）=rs）g一/解'西,得（眺©-八加©叫与对每一个了2凡句/题（工）打（工）/（工）相矛盾，所以假设不成立，故原结论成立。例11.设f（x）在见如上有二阶导数，且/"二0,又设F二。一叫“,则在（a,b）内至少存在一点上使可0=0。证由尸二巡二。，且f在aJ上连续，在M内可导，由罗尔定理知至少存在一点ce（乐奶使F=0,又产力2kl同阳+1-幻伊吐知尸二。,从而?在凡。上满足罗尔定理条件，至少存在一点先，使团二。注：读者也可尝试用泰勒

33、公式展开去证，将尸在4。二处展开，然后将x=b代入即可。例12.若/（4sW在4引上可导，且g*0,则至少存在一点4£（。，使/-.人）团工人甘一山©。证要证结论成立，只要证/7©卜仁）-卜棺）一目!/铝）二。成立，只要证廿。）-户：求”）-庸工）-第如'（划1=0成立，只要证廿-/m）-g酢Y=。成立令忸山-/（力命只要证尸6。（1）成立，由尸（X）在凡&1上连续，在（a,b）内可导，F二F二Q由罗尔定理至少存在一点&£（©,使F'O=。，即（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立。精品文档精品文档例13.在0

34、,1上有三阶导数，且（0）=（1）=0,设F（X）=x3f（x）试证在（0、1）内至少存在一点证将F（x）在x=0处展成泰勒公式其中F（I）=F（0）玳力二39/。）+/八。/（0）二0,砥力=6炉+3/产+3/向+/十fr）=0.尸二0令E,由巴1）二心></（1）=0,代入上式有0=巴】）=；尸憎©0/©=0,0注：读者也可用例27的方法去证明.例14.设内可导，且/:/=L试证存在使得1.证要证原等式成立，只要证成立，由网工）二屋了（工）在%句上满足拉格朗定理条件，有"（力”力+/%）,又应用拉格朗定理知0.知（1）式成立，故原等式成立。3.证明

35、不等式证明不等式的方法：（1）拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式（2）泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等A.（3）单调性定理.（i）对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间两端点函数（或极限）值大小的比较,利用函数在区间上的单调性进行证明.（ii）对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内上任意一点函数值与区间端点函数（或极限）值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明精品文档精品文档（4）利用函数最大值，最小值证明不等式.把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点处的函数值大小

36、的比较，然后证明为最大值或最小值，即可证不等式成立。（5）利用函数取到唯一的极值证明不等式.把待证的不等式转化为区间上任意一点函值与区间内某点处的函数值大小的比较，然后证明/（人）为唯一的极值且为极大值或极小值，即为最大值或最小值，即可证不等式成立。（6）用柯西定理证明不等式（7）利用不等式:几何平均数匕算术平均数）等号仅当1瓦时成立。例15.设a,b均为常数，/在（a,b）内有界，证明八工）在（a,b）内有界。证由题意知（工）在（a,b）内有界，即存在M>0,对一切工E（明汕都有/归M（定点），也W仇/为对一应用拉格朗定理得幽弧§/-/（砧卜幽仁小，©卜-4

37、7;妙4（其中4介于即X之间,有ie&b）,知网张加）从而必）印（砧I-叫由|/民）|+M0。）为常数，故f在（凡司内有界。对一切工6Q班都有1（-1上淞注：学会把语言给出的条件与结论转化为数学表达式。例16.设'阶可导，且在（0,a）内某点取到最大值,（m为常数）,证明（。）|+|/|湘。证由J在瓦取到最大值，且/（。知/（如）为极大值，又J（而）存在，由费马定理知J（%）二°，于是/（0）|+|/S）卜|八7）-八0）|+|加）-/（而）|=|/'（媪）殉|+|/*（&）（1一/）|$梢/+物3一%）=汹比注：学会把题目中所给的条件利用不定定理或性

38、质转化为我们所需的条件。精品文档精品文档例17.0<a<p<-当2时，证明p-aqp-a厂<tang一tan值<cosGcos§证由于J(X)=饱u在a£上满足拉格朗定理条件，且/1X)=sei?不，于是6值tan广-tanw二四-f(a)=-©(广-二，cosg其中S由C0£。在(09lU上是严格递减函数，得cos2a>cos2>cos2广>0><<；、CMacoscos又Q各边同乘以B-a8-a八£一值7-<tan,一tan仪<-cosacosf.注：把待证的不等

39、式转化为有共同的形式，使得便于比较T<htl+x)<x例18.证明时，1+工/&)=In上在1,1+1上满足拉格朗定理条件，且ln(l+=ln(l+x)-lnl=/(l+x)-/(l)=/W+x-l)=lX,其中1<J1+工知0<<-<1八1+二t由i>0.各边同乘以x得,<一</1+X6即<ln(l+x)<1l+i注：学会把隐藏的条件找出来，即In1=Q然后就可以利用定理，这个结果以后可以作为结论用TP-<Ux)<x我们还可以证明1。(。时，1+1事实上，当-1<工<0时，/©=M工在

40、1+为口上满足拉格朗定理条件，有城1+=)二赋1+力一Ini=Al+k-/a)二/纭)(1+二一1)二2精品文档精品文档国F匚二>其中0V1+x<J<11<4<l+x，由一1<工<0,各边同乘以】,不等号变号，有1+即1+X<ln（1+X）<X，故工>1且1|，0时，有1+X<|j'k)<1,又/(0)=/(1),证In（1+1）<1.例19.设/（I）在0、1上连续，在（0、1）内可导，且明对任意工1、工2专0、1,则证不妨设00K办01,当12时，由拉格朗日定理知1厢-加）1册丽石1<5,当工？一&

41、#39;1>2时，则001入+（1-/）二1一（跖一而）<2,又/（°）=/（I）,于是一加=寸（0）+川）一/闻/7（0）1+1川）-州2）1=|/俳1+/倡印-印1+。-12）<5.故卜吊丽1.则必i）-/（“2）l<5例20.设了"<0,J二°,证明对任何工1>0,占>0,有也出</（内）+/（4）证法一、不妨设h-h,而J（°）二°,由/（/+电）一/每）一（苞）二灰玉+心）-心）1-团）-/（0）1=/瑞）11-（0<白<为工灼<&<11+）=匕；/工二：

42、国、，"；,其中Se（H）,由于jO<0,4一备>0,占>0,知/（丸+4）-狗-/<0,所以耳+4）/8）+/（）精品文档精品文档证法二、令f(x=/(x+两),尸(I)二(升初一八工)=跖广©<0：其中1<4<升，知F(I)单调减速少，又>0,所以F(11)<F(0)即/(%+/)-他),由于/(0)=0,从而州1+“)<工)+/氏)。|/(0)=1.=2J0=0,例21.设f(x)在0,1上具有三阶导数，且2证明至少存在一点至),使I冽1X二一证将f(x)在2展成泰勒公式，/(x)=yf21+yX-)(x-)

43、+(x-)2+(x-)22/！2号2将x=0,1分别代入上式有(1)加二对+“心-(备),。142al242,.二档)+*(»尸(2)282242,一(1)得1二"(1)寸(0)1=1*&)+广4心3(1片(备)|+|广彻|)484o,2焦&二回曰)>0,证明/之工设二京独二1又富10,知法二0二施X设|野)卜还，侬|,上瓠为尸啰即(触24例22.证由从而黑旬=W0=1二/XX,于是f(x)在x=0处展式泰勒公式J寸+八0)I+萼/=X+等/之正例23.设b>a>e,证明以,>8°.精品文档精品文档证法一要证a，成立，只要证

44、InnInbInJ>ln/成立，只要证ln&成立，只要证(i)由f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且成立，设iInnIni知f(x)在a,b上严格递减，由af(a)>f(b),即a立，知(1)式成立，由每一步可逆，故原等式成立。InaInb>证法二由证法一知，只要证a力成立/w=由X在a,b上连续，在(a,b)内可导且/'CO<0,于是baab,故原等式成立。注：能用单调性定理证明的不等式，都可用拉格朗定理去证，因为单调性定理就是用拉格朗日定理证明的。例24.比较口|与开的大小.分析之间没给关系式，不好直接分析，我们假设一个关系式,lngIn7

45、1Ink国打。因此，我们只要比较分析中的不等号不一定是正确，在这里只是起到了一个桥梁作用。证法-设网号”【询由.在以上连续，在(%笈)内可导,1,一彳lnx二江工1-lnxA.知f(x)在LT上严格递减，由eJT,知IngIn71图其<Jlne>eln7T«lne,>ln/>/o注意：与我们分析中的不等号正好相反，这正说明我们给一个不等号，只是为了便于分析，至于这个不等号是否正确无关紧要。精品文档精品文档分析由；/二户，,只要比较打与gin不大小,只要比较；r-gln与o的大小，根据这两个数可构造一个函数=x如。（加二汗-而开，=0.证法二设/="s

46、ln兀11,对，六除汗由了在上对上连续，在他初内可导，且加1，>0x/（疝在匕川上严格递增，由白：；咒,知/3)</(力00<不一国山开QglnkJTOk3r<es0/例25.tanx-7>0/fx)=tan-x,要证原不等式成立，只要证3成立，设3（万、/（Oj=Q,只要证在1可时，心用）成立，由了在12）上连续，在12）内可导，且N&、212jl22JW=sec17一耳二tanx-z,o"I（0"令g（i）=tanx一冗g（Q）=Q,由且在'可上连续，在I2.J内可导,gq)>g(0)=0OtanLX>0Otan

47、QTOtan，>yotan，-/>0,知"工）>°,所以/W>/（0），即（i）式成立,由每一步可逆，故原不等式成立。注：比较函数的大小，若用单调性定理去证，需把函数表达式都转移到左边，右边是常数并且一般情况为零，然后用单调性定理去证明。2.八葭1ln（1+一）<,.例26.证明工>0时，2k+l/J/+*呵1+31证先证XJ工+X成立，只要证精品文档精品文档1n/二=o彳vx+x成立，设工4工+工，只要证工e（0,他）时，/（加点皿/（1）成立，由f（x）在（0,+r）上连续且可导，2二+1/1人斗=一4+.;11+zXz+xz+zX+

48、xJ/+X1 11 3+一二工厂（，？1一】）0,*+1代+XIJ-而知f（x）在（QY°）上严格递增，故工E（0,3）时工）；出了，即（1）式成立，由每一h（l+-）步可逆，所以不等式成立。同样可证21+1工成立。注：可能有的读者会用拉格朗日定理，设抑二kd,lnfl+-)=ln(l+x)-Inx=/(l+x)-/(x)x-'=/'e)(i+x-力=g,x<j<i+兀但故得不到结论。有1+t。x2x+l1+x冗&+彳+到M-I网例27.设a、0均为常数，证明1+4+#|1+|11+同/二NO/二手+。1+工。+工），知f（x）严格递增，且金+&#

49、163;区网+悯,有了侬+用歹刎+忸1以和二同+1再_网I。M阀I网1+口+丹一1+冏+|用1+网+|和1+网+同1+囤1+向n41、1-#+0-1)Y1,例28.设UXLP>1为常数，证明29精品文档精品文档,由f(x)在0,1上连续，故必有最大与最小值。由广二泌卜1-p(l-",令丁(工)二0，得2,且无导数不存在的点，而/=1J(1)=L111.1<12,2，2二那二y，材二12。r<x?+(;i-xy<1.都有2川例29.TT二一十1设p,g是大于1的常数，且"可1口AMx。，都有"q+-x>0成立，设q成立，只要证p(i)在

50、(0,初时,成立，由川工)=门-1，令f'(x)=0,得x=1,且f(x)无导数不存的点，知x=1是唯一的极值可疑点。由于知f(1)是唯一的极值且是唯一的极小值，故f(1)为最小值。所以正口拗)时，即不等式(1)成立，由每一步可逆，故原不等式成立。4.函数极限的类型(1)若是初等函数，J的定义域，由初等函数的连续性知(2)若limAfkng(x)=BA百0,月常数超常数工00(1)00,lf0011.00,00A-0,5=明j4=0T工=0石=0,精品文档精品文档市,一嫦数,邮数，限/口）献力二00，A=常数03S=m14湎"08*.4-075=co(11)A=0,8=r时,

51、对于因式中含有对数函数，反三角函数时，一般放在分子、否则利用洛必达法则很繁，或求不出来。（通）HmC/。）-g（戏二，IT知A-B,端数,端数，oo4E中有一个是常数，另一个是无穷大,04£为异号无穷大"00-00-45为同号无穷大，当乂二电"叱且AB同号时，巴山一响）03这时，把/,g化成分式，通分、化简，化成“0”或“co”，再利用洛必达法则。月常数0,B常数,IIInn加严产0。、OnEO0,(iv)十叫解法一时,2(1+亦来计算，另一种方法，化加严仁）者,Ji+c/w-i)rJ曰lia期g）卜=产我们有两种方法求该未定式的极限，一种方法利用重要极限为以e为

52、底的指数函数，再利用洛必达法则。即再根据具体情况化成0co解法二加严卜）=，尸廿=鼠产"则这两种方法，我们经常还是利用解法一方便。（b）当4=0,3=。时，（iii）当4=电8=。时精品文档精品文档这时，只有化成以e为底的指数函数，再利用洛必达法则。即血曳炸烂）场河呵硒一川：产WW"、而°”而幺二0,6="K心或4=0,3=-3时不属于未定式，因为如他叫产卜%网历=泮”-©KT%TTMfim加产（0”11m户H二小”小卜（同二产=网0而电5.已知函数的表达式，求函数的极限1.求函数极限的六种重要方法（1）极限的四则运算；（2）等价量替换；（3）变量替换；（4）洛必达法则；（5）重要极限；（6）初等函数连续性。对于未定式的极限，先用等价量替换或变量替换或极限的四则运算化简，再利用洛必达法则求极限。很多情况下，这几种方法常常综合运用。fx-arcsinxkm7例30.求E/例31.lunarcsinx.71+tan工-Jl+sin工lima求.：一原式研tanx-sinxxxln(1+力一】t