指数函数的图像及性质的应用

1、指数函数在底数指数函数在底数 及及 这两种这两种情况下的图象和性质：情况下的图象和性质： 1a 01a图图象象性性质质01a1a R （0，+）过定点（0，1），即x=0时,y=1在R上是减函数 在R上是增函数yx(0,1)y=10y=ax(0a1)定义域：值域：10010yxyx时，当时，当10010yxyx时，当时，当例例1.说明下列函数图象与指数函数说明下列函数图象与指数函数y2x的的图象关系，并画出它们的图象图象关系，并画出它们的图象: 指数函数图象的变换指数函数图象的变换一（平移问题）一（平移问题）;2,2(1)21 xxyy;2,2(2)21 xxyy. 12, 12)3( xxy

2、yx-3-2-101230.125 0.25 0.512480.250.51248160.51248163212xyxy2 22 xy作出图象，显示出函数数据表作出图象，显示出函数数据表212,2(1) xxyy987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12xyxy2 22 xy987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 22 xy987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 22 xyx-3-2-1012 30.1250.250.5124 80.0625 0.1

3、250.250.512 40.031250.06250.1250.250.5 1 212 xyxy2 22 xy作出图象，显示出函数数据表作出图象，显示出函数数据表212,2(2) xxyy987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系xy2 987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 22 xy. 12, 12)3( xxyy987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系xy2 . 12,

4、12)3( xxyy987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 . 12, 12)3( xxyy987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 12 xy. 12, 12)3( xxyy小小 结：结：向左平移向左平移a个单位得到个单位得到f(xa)的图象的图象;向右平移向右平移a个单位得到个单位得到f(xa)的图象的图象;向上平移向上平移a个单位得到个单位得到f(x)a的图象的图象;向下平移向下平移a个单位得到个单位得到f(x)a的图象的图象.f(x)的图象的图象二二 对称问题对称问题 例例2 2

5、说出下列函数的图象与指数函数说出下列函数的图象与指数函数 y=2=2x 的图象的关系的图象的关系, ,并画出它们的示意图并画出它们的示意图. .(1)2xy (2)2xy (3)2xy yxoyxoyxo（x, ,y) )和和( (- -x, ,y) )关于关于y轴对称！轴对称！（x,y)和和(x,- -y)关关于于x轴对称！轴对称！（x,y)和和(- -x,- -y)关关于原点对称！于原点对称！(1) y=f(x)与与y= =f(- -x)的图象关于的图象关于 对称；对称； (2) y= =f(x)与与y=-=-f(x)的图象关于的图象关于 对称；对称； (3) y= =f(x)与与y=-=

6、-f(- -x)的图象关于的图象关于 对称对称. x 轴y 轴原 点 单调性应用简单的指数不等式单调性应用简单的指数不等式例3、根据条件，确定实数x的取值范围1212x)21(8).4(2512 .0).3(12).2(5 .0.21xxx）（12215 . 02 .1x）解：（上单调递增在R2xy 1x单调性应用简单的指数不等式单调性应用简单的指数不等式例3、根据条件，确定实数x的取值范围1212x)21(8).4(2512 .0).3(12).2(5 .0.21xxx）（0212 .2x）解：（上单调递增在R2xy 0 x单调性应用简单的指数不等式单调性应用简单的指数不等式例3、根据条件，

7、确定实数x的取值范围1212x)21(8).4(2512 .0).3(12).2(5 .0.21xxx）（2121 -2)51(512510.23xx）即（）解：（上单调递减在）（R51xy 2321-2xx即单调性应用简单的指数不等式单调性应用简单的指数不等式例3、根据条件，确定实数x的取值范围1212x)21(8).4(2512 .0).3(12).2(5 .0.21xxx）（)12(31222)21(8 .4xx即）解：（上单调递增在R2xy 2) 12(3xx即解指数型不等式，将不等式两边化为底数相同的指数式，再利用函数的单调性求解的取值范围。求且如果xaaaaxx),1, 0(75本

8、例中，若将本例中，若将“a5xax7(a0，且，且a1)”改为改为“(a2a2)5x(a2a2)x7”，如何，如何求解？求解？ 例例4.讨论函数讨论函数 的单调性的单调性,并并求其值域求其值域.221( )( ),15xxf xx 解解: : 任取任取x1, ,x2(- -,1, ,且且x10, f(x2)0,2222112221()1( )()5xxxxf xf x则则2121()(2)1( ).5xxxx 复合函数的单调性复合函数的单调性 x1x21, 21()1,()f xf x21()().f xf x 即即所以所以 f( x ) 在在 (- -,1上为增函数上为增函数.又又 x2 -

9、 - 2 2x = =( (x - -1)1)2 - -11- -1,1,221110( )( )5,55xx所以所以函数的值域是函数的值域是(0,5.(0,5.此时此时 (x2-x1)(x1+x2-2)0, x1+x2- -20.2121()(2)011( )( )55xxxx复合函数：复合函数：注意：若注意：若y=f(u)定义域定义域为为A，u=g(x)值域值域为为B，则必须满足，则必须满足B A和由uy)51(xxxf22)51()(如：函数xxu22.复合而成叫外函数；我们把uy)51(叫内函数。xxu22 如果如果y是是u的函数的函数,而而u又是又是x的函数的函数,即即y=f(u),

10、u=g(x),那么那么y关于关于x的函数的函数y=fg(x)叫做函数叫做函数f和和g的的复合函数复合函数,u叫做中间变量叫做中间变量.1,)51(22xyxx观察复合而成。与由uyxxu)51(22上单调递增。，在（而在定义域内单调递减，上单调递减，在（ 1-)51()51( 1-2-222 xxuyyxxu复合函数的单调性复合函数的单调性内u=g(x)增函数减函数增函数减函数外y=f(u)增函数减函数减函数增函数复y=fg(x)规律：规律：当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数当内外函数的单调

11、性不相同时，其复合函数是减函数“同增异减同增异减”增函数增函数减函数减函数“异异”“”“同同” 指指内外函数内外函数单调性的异单调性的异同同是增函数在上是减函数在), 1 , 1 ,()(xu.)31(上是减函数在又Ryu是减函数在上是增函数在), 1 , 1 ,()(xf的定义域均为R和由uy)31(xxxf22)31()(解：函数xxu22.复合而成和uy)31(xxu22的单调减区间求函数xxy22)31(练习：练习：变式变式1 、 函数函数 的单调增区间是的单调增区间是2281,(01)xxyaa BA.(2,2,) 2、函数函数 的增区间为的增区间为 _. 值域为值域为_. 2233

12、xxy (,1C.(, 2D. 2,) (0,81B.2541的定义域与值域、求函数例xy. 04241xyx得解：由函数4x.4|241xxyx的定义域为函数. 04104xx得由1241xy.1, 0|241yyyyx且的值域为函数指数形式的复合函数的定义域与值域指数形式的复合函数的定义域与值域的值域。、求函数例1)21()41(6xxy 解： 例例7.求证函数求证函数 是是奇奇函数函数指数形式的复合函数的奇偶性指数形式的复合函数的奇偶性101( )101xxf x 证明：函数的定义域为证明：函数的定义域为R,所以所以f( (x) )在在R上是上是奇奇函数函数. .101()101xxfx

13、 10 (101)10 (101)xxxx 110110 xx ( ).f x 的取值范围。恒成立，求不等式）若对任意的值（）求（是奇函数上的函数、已知定义在例kktfttfRtbaabxfxx0)2()2(,2,122)(R82210)0(R)(1 fxf为奇函数，定义域为）解：（ 1021-bab即axfxx1221)() 1 () 1(ff又2421121-1aaa1, 2ba利用利用 f(0)= 0(0)= 0的取值范围。恒成立，求不等式）若对任意的值（）求（是奇函数上的函数、已知定义在例kktfttfRtbaabxfxx0)2()2(,2,122)(R6221上单调递减。在）知由（R121212221)(11xxxxf)()()(xfxfxf为奇函数又)2()2(222ktfttf）由已知有（)2()2(22tkfttf2222tktt上恒成立。在即Rtktt0232310124kk的取值范围。恒成立，求不等式）若对任意的值（）求（是奇函数上的函数、已知定义在例kktfttfRtbaabxfxx0)2()2(,2,122)(R6221