成教高数课件第四章不定积分--443第一换元积分

1、课题：课题：4.3 换元积分法（一）目的：目的：复习积分的基本公式、性质，掌握积分的第一类换元积分法，并能应用公式、性质熟练地求不定积分重点：重点：第一类换元积分法求不定积分难点：难点：第一类换元积分法求不定积分 复习原函数、不定积分的定义、基本公式、性质复习原函数、不定积分的定义、基本公式、性质 例例1 xd) 1x(x2解解 原式原式 = xdxxx)2(212325Cxxx232527325472例例2 3 x+1e x dx解解 原式原式 = 3(3 e) x dxceexx3ln31xdxcosxsin122例例3 解解 原式原式 = xdxxxx2222cossincossinxd

2、xx)sin1cos1(22Cxxcottanxdxsinx2cos2例例4解解 原式原式 = xdxx22sinsin21xdx)2sin1(2Cxx2cot4.3 换元积分法一、换元积分法一、换元积分法1、第一换元积分法、第一换元积分法.sincosCxxdx?2sin2cosCxxdx第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法） dxxg)(=.)()( dxxxf设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1 dxxxf)()( )()(xuduuf (1)公式的关键在于公式的关键在于如何应用公式（如何应用公式（1）来求不定积分？）来

3、求不定积分？使用此使用此如果如果)(xu （可导）（可导）),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf ,)()()()()(xuduufdxxxfdxxg 这样，函数这样，函数 g(x) 的积分即转化为函数的积分即转化为函数 f(u) 的积的积分，如果能求得分，如果能求得 f(u) 的原函数，那么也就得到的原函数，那么也就得到了了 g(x) 的原函数的原函数.分析分析),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf相同相同例例1 求求.2cos xdx解解 被积函数中，被积函数中，cos2x 是一个复合函数，是一个复合函数， 把把 2x看作看作u，便有，便有)2(2cos2cosxx

4、dxdxCx2sin2121找找.cosudu例例2 求求xd3xsec2解解 原式原式 = 33sec2xdx3Cx3tan3例例3 求求解解 原式原式 = 31Cx3132xd1x31) 13() 13(21xdx找找duu2sec找找duu21小结：小结：1. 被积函数为单个函数时，找类似的公式，凑被积函数为单个函数时，找类似的公式，凑微分，再积分微分，再积分 例例4 求求xdex73解解 原式原式 = 71Cex7371)73(73xdex找找dueu例例5 求求 22xadx).0( a解解222)(11axdxaxadx.arcsinCax 2)(1axaxd找找21 udu例例6

5、 求求.231dxx 解解找找.|23|ln21Cx duu1dxx231)23(231xdx21练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分 5.5.cos(2x-5)dx xd)4x5(131.xdx6112.xd21x53.xdx49124.例例7 求求.2dxxex解解)(222xdedxxexx21Cex221例例8 求求.12dxxx 解解)1 (11222xdxdxxx.)1 (31232Cx21小结：小结：2. 被积函数为几个函数相乘、除时，找函数间的被积函数为几个函数相乘、除时，找函数间的导数关系，凑微分，再积分（保留复杂函数，简导数关系，凑微分，再积分（保留复杂函数，简单函数与

6、单函数与dx凑微分）凑微分） 例例9 9 求求.)ln21( xxdx解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx .)ln21ln(21Cx 例例1010 求求.cossin2xdxx解解)(sinsin2xxd.sin313Cx.cossin2xdxxxd)xtan1 (xcos12例例1111 求求解解xd)xtan1 (xcos12)tan1 (tan11xdx.)tan1ln(Cx 练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分 xd1eexx1.xd3xx1x224.xdxxln412.xd)5x(x32323.例例12 求求 xd)2x(x1解解xdxxxx)2()2(21原式xdxx)211(21.)2ln(ln21Cxx小结：第一类换元积分法小结：第一类换元积分法 1. 被积函数为单个函数时，找类似的公式，凑被积函数为单个函数时，找类似的公式，凑微分，再积分微分，再积分 2. 被积函数为几个函数相乘、除时，找函数间的被积函数为几个函数相乘、除时，找函数间的导数关