30年全国高中数学联赛试题及答案解析全集(1988-2017)

全国高中数学联赛试题及答案解析全集

(1988-2017)

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2017全国高中数学联赛试题及答案解析

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1989全国高中数学联赛试题及答案解析

1988全国高中数学联赛试题及答案解析

2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案

一、填空题

1.设/(x)是定义在A上的函数，对任意实数x有/(x+3>/(x—4)=-1.又当0〈x<7时，

/(X)=log2(9-x),则/(-100)的值为.

2.若实数xj满足/+2cosy=1,则x-cosy的取值范围是.

3.在平面直角坐标系xQy中，椭圆。的方程为:《+匕=1,/为。的上焦点，4为C的右顶点，P是C

910

上位于第一象限内的动点，则四边形04尸尸的面积的最大值为.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是

5.正三棱锥尸—Z8C中，/8=1,AP=2,过48的平面a将其体积平分，则棱尸C与平面a所成角的

余弦值为.

6.在平面直角坐标系中，点集长={(》)),)=—1,0,1}.在长中随机取出三个点，则这三点中存在两点

之间距离为右的概率为..

7.在A48c中，M是边8c的中点，N是线段8〃的中点.若//=弓，A48c的面积为,则而•丽

3

的最小值为.

8.设两个严格递增的正整数数列{%},{，)满足：ai0=如<2017,对任意正整数〃，有a,"=。川+%，

。用=2b,,则为+4的所有可能值为.

二、解答题

9.设幺〃?为实数，不等式,2一乙一可小对所有xe以㈤成立.证明：b-a<241.

++

10.设项,》2，*3是非负实数，满足2+x2+x3=1,求(X]+3X2+5X3)(%]-Y的最小值和最大值.

11.设复数Z1*2满足Re(zJ>0,Re(z2)>0,且Re(z；)=Re(z；)=2(其中Re(z)表示复数z的实部).

(1)求Re(zR2)的最小值：

(2)求:+2|+卜2+2|-|z,-z2|的最小值.

2017年全国高中数学联赛A卷

二试

一.如图，在A48c中，AB=AC,/为A48c的内心，以工为圆心，为半径作圆［，以/为圆心，

IB为半径作圆「2，过点8,/的圆「3与「，「2分别交于点P,Q(不同于点B).设IP与BQ交于点H.证明:

BRLCR

二.设数列｛%｝定义为%=1,"=1,2,…•求满足?<rW32°"的正整数?•的个

1%-〃，*>〃，

数.

三.将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的

颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设〃均是大于1的整数，m>n9是〃个不超过机的互不相同的正整数，且…，%

2

互素.证明:对任意实数x,均存在一个使得--------H,这里帆表示实数y到与

m(m+1)

它最近的整数的距离.

2017年全国高中数学联赛A卷

一试答案

1.

答案：•

2

解：由条件知，/(X+14)=_"X[R=/(X),所以

/(-100)=/(-100+I4X7)=/(-2)==~

/(5)log,42

答案：[-1,6+1]-

解：由于1-12cosv€lLSJ，故工£[6\G|.

y-।Y-

由cos」————可知，tCOSV—V-----1.因此当工=I时，

222

Aco*「有最小值[(这时歹可以取二)：当、•一时，co、「有最大值能I

2

(这时y可以取亓).由于：(x+l)2-l的值域是[-1,6+1],从而x-cosy的取

值范围是[-1,V3+1].

答案:平.

解：易知4(3,0),尸(0,1).设P的坐标是(3cos6,Msin8),0€；0,3，则

।5*疗=13•而、in"|!1・3COS"

——(^/iocos^|sin〃)="^^■sin(e+⑺.

22

其中「arcian\".当〃一arctanJF5时，四边形。4/个-质积的最大值为主公.

1()2

答案：75.

解：考虑平稳数赤.

若8=0,则。=1,c€{0,l},有2个平稳数.

若8=1,则aW{l,2},c€{0,I,2},有2x3=6个平稳数.

^2<5<8,则a,c€仍一1,儿6+1},有7x3x3=63个平稳数.

若力=9，川cW{8,9},有2x2=4个平稳数.

综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75.

5.

答案工叵

-10

解：设“&PC的中点分别为K,A4,则易证平面48M就是平面0.由中线

长公式知

AM——(AP+/(,)—PC'——(2TI)—x2—二，

24242

所以KA/=J4W：-'K?=J]-；；=g.

又易知直线尸C在平面Q上的射影是直线MK,而CW=1,KC="，所以

3

M+A/C—KC?4_36

cosZiVA/C

2KM\1C10

故棱PC与平而。所成角的余弦值为二£.

10

6.

答XT案-：—4.

解：易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的力今

方式数为C；=84种.',

将K中的点按右图标记为4,W，…,4,O，其中有8,1-

对点之间的距离为由对称性，考虑取4,4两点的情4°14,

况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8=56个三点小・4，4・

组(不计每组中三点的次序).对每个4(i=L2,…,8),K

中恰有4卬4T两点与之距离为正(这里下标按模8理解)，因而恰有

{.4,4,3,4_s}(i=1,2,…,8)这8个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个

数为56-8=48,进而所求概率为竺=2.

847

7.

答案：.I.

—«I.•一.-•I•1-4|•

解：由条件知，/--IAli+.IC../.V--AH-AC,故

2,->44

—-I/1,—(3'1"IIfI—•'

JA/.』V一二.48+."1；十；,4(1一；13.4一AC^4ABAC.

由于C=S*“.=：・’8卜卜。卜后<=¥^卜8卜卜(?|,所以卜年d('—4,进

一步可得心70一期T(].coZ-2，从而

——I!—：—7——

AM•.4.V>-2J3AB•ACI4J««JC

J

ABJC)+\.4BAC-\[3]-]■

当网=言,|祠=2x71时，ZU.下的最小值为61.

8.

答案：13,20.

解：由条件可知：q,%,々均为正整数，且％<&.

由于2017)4—2"•人一512/l,故々e；L2.3j.反复运用｛©｝的递推关系知

〃“一心+4-2a,+小一3%+2〔4一5q+34—8&+5a.

—13U4+8凡一21”：一13。、-34。、+2k/,»

因此21a.=a｝Q=b]°=512"=2hx(mod34),

而13x21—34、8+L故有

4-13x21413x2A(-26A(mod34).①

另一方面，注意到4<小,有55q<34。.+21q—512匕，故

sI7

4<--b•②

1551

②分别化为％26(mod34).a<?二，

当々一|时，①,无解.

155

1

当件=2时,①,②分别化为52(mod34ka.,——»得到唯一的正整数

55

-18,此时叫十勺-20.

②分别化为《7K（mod34）.（/m笆，

当々一3时，①,得到唯一的正整数

55

%—10,此时4十々一13.

综上所述，q+々的所有可能值为13,20.

9.

证明：令/(x)=x2-fac-m,xe[a,b],则f(x)€I,1].于是

2

f(a)=a—ka—m<[f①

f(h)=b2-kh-m<\,②

+a+b2a+h行

i=|-->-i.③

...........4分

由①+②一2x③知，

+f(b)-2/f^|<4,

故8-aW20............16分

10.

解：由柯西不等式

（天+3工2+5M）（马+半+£）*（百•百+>

:

=（x.+x2+x3）=1,

当玉=1,u=0,与=0时不等式等号成立;故欲求的最小值为1.

5分

因为

区+3X2+5巧)区+/•+,)=!区+3.X,+5巧)(5*1+专■+工)

4g•(((工+3工+尔+(5工+5争x,+xj

3

1I，14.丫

=—6x.+—X.+6x,..10分

20t323；

<—(6x,+6x,+6x,)*=—.

20v2”5

当天=呆2=0,与=3时不等式等号成立，故欲求的最大值为，

20分

11.

解：(1)对无=1,2,设〃=x*WR).由条件知

xk=Re(〃)>0,x；一式=Re(z；)=2.

因此

Re(ZjZ2)=Re((Xj+,。(毛+y2i))=x{x2-乂％

=正:+2)5+2)-y\y2>[\yxy2\+2)-y1y2>2.

又当4=2?=JI时，Re(zIz2)=2.这表明，Re(z/2)的最小值为2.

.....................5分

(2)对*=1,2,将4对应到平面直角坐标系x°v中的点E(x*,”)，记且是

/>关于x轴的对称点，则/>,g均位于双曲线C:=2的右支上.

设耳，鸟分别是C的左、右焦点，易知耳(-2,0),月(2,0).

根据双曲线的定义，有忸可=|£月|+2>/1度£|=旧胃+20,进而得

|4+2|+区+2卜,-22卜|4+2|+瓜+2卜卜一司

=归一+|胞|-忸用=小历+|46|+旧用一|4用2啦,

.....................15分

等号成立当且仅当K位于线段上(例如，当4=Z2=2+JIi时，巴恰是Pg

的中点).

综上可知，区+2|+,+2卜B-z2]的最小值为4忘........20分

2017年全国高中数学联赛A卷

二试答案

证明：连接IC,IQ.PB.PC.

由于点。在圈「：匕故/8=/Q.所以N/5Q=N/Q8.

又8./.P,。四点找圆.所以N1QB=ZJPB.于是NIBQ=NIPB.

故NBPS,IRB.从而也NIRB=NIBP,旦

注意到A8=AC.口/为XBC的内心.故/8=/C,所以

/CIP

,=—•

1RIC

于是A/CPs&IRC.故ZIRC=Z/CP..........................20分

又点夕在例G的兑8c上.故N8PC=18(r-;乙4,因此

NBRC=Z1RB+ZIRC=Z1BP+ZJCP

=360-ZB/C-ZBPC

=3«r_(灯+iwr_

<MF

取BRLCR.40分

解：由数列的定义可知q=L%=2.俗设对某个整数r22行q=一我们证明

ar,JM=2r+r-l>r+2/-La,.〉=r-，<r+2i.①

对，归纳证明.

"，/=1时.|tlTa,=rr.由定义•a,“^a,+r=r+r=2r>r+l(

a,,2«a„,-(r+l)»2r-(r*l)»r-l<r-«-2.结论或工

设对某个I4，<r-l.①成立.则III定义

。心.|=0.»+"+2O=rT+r+2/=2r+，>r+2/+L

*,,.11.1aO,.2».|-(r+2/+,)=2r**-(r+2/+1)=r-1-l<r+2/+2.

即结论对，+1也成立.由数学打纳法知.①对所仃，=1.2.….r-I成立,特别当

/=/■一]时.有a“_?=|.从而。4]=。“?+(3/>-2)="-1.

若将所有漏足a,=r的正整数r从示到大记为小、….则由上面的结论可知

1i»l.»j■2.«3#j-I»k=2.3.­...........................20分

由此可知,r-3r1(4r-|.../wlh从而

••y，，

IJ-'-i

-3r1—•

产741产0J.I

由于勺“=二^=&2,在12….产'中满足a,=r的数r

共白2018个.为不小”,勺《・..............驼分

由①可知.对每个.工…,2017・一Z…-2中怆有一半满足

a,<r.由于6,+1=彩土1+1与3刈'均为奇数,而在&,+1.….3刈'中.奇数

均满足q>r.偶数均满足a,<r.其中的偶数比奇数少I个.囚此满足a,<rg320”

的正整数r的个数为

：(产一2018-1)=.........................40分

解：记分隔边的条数为苒先，将方格纸按如图分成三个区域.分别染成三

种颜色,粗线上均为分隔边,此时共有56条分隔边,即L=56...............10分

1?

n

下面证明£.256.将方格纸的行从上至卜依次记为4A.….A,.列从左至右

依次记为4.8：.….8“.行A中方格出现的候色数记为MA），列优中方格出现的颜

色个散记为MBJ.三片旗色分别记为q.j.c,.对尸肿用i色＜•,.设Me,）是含有j

色方格的行故与列数之和.记

I.若A行含行一色方格.

6d

台明.

类似地定义演8,.cj.于是

“11Q

Z(MA)+”(8J)=ZZ(6(A,c,)+6(8”,))

1V，

=ZZ(6(A,c,)+6(8,.c,))=Z"(cJ,

由r*r7色的方格有:33,=363个.设含有c,色方格的行行at.列Tf8个.

则c,色的方格一定在这a打和b舛的交叉方格中.Kitab^363.从而

n(c,)=a+b214abN2J363>38.

故n(c,)239.j=1.2.3.①

20分

由于在行A中仃”（A）种便色的方格,因此至少有“（A）-I条分隔边.同理在列

8,中.至少有MS,）-1条分隔边.f是

n11

LN£（mA）T）+Z（”（BjT）

D

=E（it（A）+”（同»-66②

I

¥

=Zft（c,）-66.③

-1

......................30分

卜面分角肿情影讨论.

情膨1：有方或一再全部方格同色.不妨设自行全为6色,从而方格抵的

33列中均含有q色的方格,由广,色方格有363个.故至少有“行中去有q色方

格.r是

n(ct)>ll+33=44.

由①.③及④即得

+〃(q)+n(Cj)-66244+39+39-66=56.

........................40分

情形2：没有•行也没仃列的全靖方格同色.则对任意1W33.均有

n(A)N2.MB)之2.从而由②知

J3

Z.2Z("(A)+n(8,))-66233x466=66>56.

综上所述,分隔£条数的最小值等于56.............................50分

证明：首先证明以下两个结论.

结论1：〃在整数….c.•满足GQ+c必+…+CM=1,并HjqKwi.

1W”.

用于(q.4,….a.)=l.由裴蜀定年.存在整数de?,…・，.・满足

G44-c/ij+…+c.a.=I.①

卜面证明.亚过调整.存定一组….c.满足①,且绝对值均不超过m.记

St(c”c.….c.)=工。NO.S：(qg.…|ct^0.

«^>Mr.<-o

如果，>0,那么存在于足C,4>1,又因为4.4均为正

数.故由①可知存在一<0.今

c-=c,-fly.c/-ct+a,•=q(!<A<n.kwij),

剜c；%+c；、+…+c.'a.二1・②

并且04n»-%Mq'<q,j<c；<a*&m.

因为，'<<;•Hc/<m,所以….q')<Sy.j,….q).乂及

c*>0.故5：(c：g'.…£')45式。42.….cj.

如果S?>0.那么存在c,<-m,因此有•个c,>0.令c：=c,-a,・c；=c,*a,.

cj=ctl\<,k<.n.那么②成在.并且Tn<c：vj.cy<c/<0.与上面类

，，

似地可知51(q.c;,--.<•/)<Sjq.c,,—,c.)«H.Si(cl,,r2,--.c.)<S式qg.….c.).

因为S,与与均是非班毕数.故通过仃限次匕述的调整,可得到•组q.j.…

使得①成'七并且，=另=0.结论I获证.............20分

结论2:(1)时任雇实数a.b,均有+II*.

(2)任意空数“和实效y有I

由「对任意整数“和实数X.有Bx+“11=1x1,故不妨设此时

II{1I-|a|•ll〃|国〃|.若必40,不妨设a«0V/»,则。+力w［—■—|.从而

22

\la^hBWa+bR|o|+|b|=dlahlbII.

i\ab>0.即同号.当|a|+bg1时.〃0+be［」」］.此时

222

Ia+bIIWa+A卜|a|+|b|=llaINIbII.

当|a|+|b|>；时，注意息有Na+bH4；・故

la+bll/<|a|+W|=lalkibL.30分

故(1)得证.由(1)及1-八=1”即如(2)成立.

回到原问题•由结论1.存差整数使得c,q+c必+…+”.=1,

井旦|c,Fm.于是

.

EqqxT.

利用结论2得

IIxII=|£c,qx|4£|q|.IIa,x114msiIa,xII.

因此

maxIIa,xHi—IIxI.③

w"mn

......................40分

若+由③可知

n、llxll、211x1

maxIIaxH2----2-----------.

mnm(m4>l)

Kn>l(m+1).姆在％—中存在两个相邻正整数.不妨如冯相根则

IItII=Ia2x-axxII4IIa2xWlatxII.

故11aMi与llqxll中有.takli-llil.

2m(m+l)

嫁上所述,总存在一个j^aila.xlli——lxII............50分

m(/n4-1)

2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

参考答案及评分标准

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标

准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档

次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分

1.设实数a满足。则a的取值范围是

答案：aw（_空,一叵）

33

解：由a<|a|可得。<0,原不等式可变形为

,9a3-Ila\a\,

aa

即一1<9。2所以a2e（?,g）.又q<0,故ae（-半，一半）.

2.设复数z,w满足|z|=3,（z+江）（2—w）=7+4"其中z.是虚数单位，5,而分别表示z,w的共辆复数，

则（z+2记）（2-2w）的模为

答案：V65

解：由运算性质，7+布=（2+而）（2—卬）=|2|2—|训2—（2卬一易），因为|z/与|叫2为实数，

Re（zw-zw）=0,故|z『一|坡『二7,zw—zw=-4i,又|z|=3,所以|vv『=2,从而

（z+2w）（z-2w）=|z|2-41w|2-2（zw-zw）=9-8+8z=14-8/

因此，（2+2访）0-2卬）的模为质.

3.正实数〃，匕卬均不等于1,若log”yw+logvw=5,log/+log/=3,则log^,〃的值为

4

答案：一

5

解：令log“y=a,logv.w=bf则

logw=-,log,V=Y,logvw=logv+logV•logw=a+ab

vaMbwwMv

条件化为a+ab+b=5,-+-=3,由此可得=因此

ab4

,,,4

log,,,u=log/•log,,M==-.

4.袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从

两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为

9

答案：—

35

解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值。小于从B中取走的两张纸币的总面值6,

从而。＜bW5+5=10.故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为=3.又此时b＞a=2,

即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有=18种取法.因此，所求的概率为

3x18_54_9

-10x21-35'

5.设尸为一圆锥的顶点，A,B,C是其底面圆周上的三点，满足乙4BC=90。，M为ZP的中点.若/8=1,

AC=2,AP=g,则二面角M—BC—A的大小为

答案：arctan—

3

解：由NN8C=90°知，/C为底面圆的直径.设底面中心为O,则POL平面ABC,易知/O=』/C=l,

2

进而PO=ylAP2-AO2=1.

设，为M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作6c于点K,则由三垂线定理知

MK1BC,从而4MKH为二面角M-BC-A的平面角.

因A/"=/〃=,，结合"K与48平行知，型=工二，即"K=3,这样

2ABAC44

1ifITOO

tan4MKH=——=-.故二面角M—BC—A的大小为arctan-.

HK33

6.设函数/(x)=sin4如+COS’如，其中左是一个正整数.若对任意实数均有

1010

{/(x)\a＜x＜a+\]={/'(X)|x€R},则左的最小值为

答案：16

&力qr/a.A./■1/\z•22\2c.2)kx

解：由条件知,/(x)=(sin~----\~cos"-)~-2sin〜—cos~—

10101010

1.?kx12kx3

=1-sin—=—cos+—

5454

S/7777

其中当且仅当x=——(阳wZ)时，/(X)取到最大值.根据条件知，任意一个长为1的开区间至

k

少包含一个最大值点，从而二＜1,即左＞5〃.

k

反之，当左＞54时，任意一个开区间均包含/(x)的一个完整周期，此时

{7（x）|a<x<a+l}={/（x）|x€火}成立.综上可知，正整数的最小值为[5刈+1=16.

7.双曲线C的方程为一一q=1,左、右焦点分别为片、F2,过点B作直线与双曲线。的右半支交于

点、P,0,使得N6P0=9O。，则3P0的内切圆半径是

答案：、万―1

解：由双曲线的性质知，

X

F}F2=2VT+3=4,PFX-PF2=QFX-QF2=2.

因N片尸。=90°,故PF；+PF；=F、F；,因此

22

PR+PF2=J2（尸耳2+pg）_（p._PF]>=A/2X4-2=277从而直角的内切圆半径是

「=；（F、P+PQ—F©=；（PF/PFQ-g（QF「QFJ=后一1

8.设%,4,%,%是1，2,…，100中的4个互不相同的数，满足

2

（a；+a；+a；）（a]+a；+aj）=（a]a2+a2a3+a3a4）

则这样的有序数组（外,%,%,%）的个数为

答案：40

解：由柯西不等式知，（a：+蟾+a；）（a；+a；+a；）N3a2+出生+吩4）2,等号成立的充分必要条件

是幺="二&,即q,%，％，%成等比数列.于是问题等价于计算满足{q,电，/，%}={123,…，100}

出生4

77

的等比数列囚,4，4，%的个数.设等比数列的公比且夕为有理数.记9二一，其中加，〃为互素的

m

正整数，且Wn.

先考虑〃,加的情况.

此时％=/（二）3=什，注意到〃广,〃3互素，故/=•为正整数.相应地，分别等于

mmm

用3/,加2〃/,相〃2/,〃3/,它们均为正整数.这表明，对任意给定的g=2>l,满足条件并以q为公比的等

tn

比数列的个数，即为满足不等式〃3/w100的正整数/的个数，即[粤].

n

34

由于53>100,故仅需考虑4=2,3,彳,4,1这些情况，相应的等比数列的个数为

JOO,JOO,JOO,100JOO,、.，，“

[—+[—]+[——+[r—]3+[—=12+3+3+1+1=20.

827276464

当〃（加时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列a”的,4，4•

综上可知，共有40个满足条件的有序数组（3,a2M3,对］

二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.（本题满分16分）在A48。中，已知万•就+2易•前=3刀♦在.求sin。的最大值.

1

—•—b~+。2—a

解：由数量积的定义及余弦定理知，AB»AC=cbcosA=--~~—

->——•a2+c2—b2-,——•a1+b2—c2

同理得，BA・BC=3__-_,CA・CB=g---------.故已知条件化为

22

b2+c2-a2+2(a2+c2-b2)=3(a2+b2-c2)

2

即/+2〃=3C..........................8分

由余弦定理及基本不等式，得

a2+b2-^(a2+2b2)

人+/工

lab2ab

所以sinC=Vl-cos2C<——........................12分

3

万

等号成立当且仅当a:〃：c=g:后：石.因此sinC的最大值是..........16分

3

x

10.（本题满分20分）已知/（x）是R上的奇函数，=且对任意x<0,均有〃——）=M（x）.

x-1

求〃1）端）+尺）%）+吗呜）+..•+舄呜）的值.

解：设a“=fd）（〃=l，2,3,…），则％=/（1）=1.

n

二

在/'（上）=犷'（'）中取x=—'（左€N*），注意到上•=-7K=」一，及/,（X）为奇函数・可知

x-1kx-\1,k+\

k

即4±L=110分

atk

因此

5049

y5011

2。吗()17

tr(z-l)!(100-z)!=x

/=1i=0z!*(99-z)!

149[49i

yc；=—y(q+c；r)=—xlx2"分

9金\920

99!h"99!999999,299!

11.（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，尸是x轴正半轴上的一个动点.以尸为焦点,

。为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，。是x轴负半轴上一点，使得尸。为C的切线，且I

P0I=2.圆均与直线。尸相切于点P，且均与轴相切.求点尸的坐标，使圆G与02的面积之和取到

最小值.

解：设抛物线c的方程是/=2px（p＞o）,点Q的坐标为（一。,0）（。＞0），并设G，G的圆心分别为

。|（再,必）,。2（七,72）•

设直线P。的方程为》=吵一。（加＞0）,将其与C的方程联立，消去x可知》2一26沙+2P4=0.

因为P。与C相切于点P,所以上述方程的判别式为△=4p2〃?2一4・22。=0,解得机=进而可

知，点尸的坐标为（Xp/p）=（a,j^荷）.于是

IPQ\=J1+加2

由IP。I=2可得

4a2+2pa=4①................................5分

注意到OP与圆G