机械优化设计课后习题答案

1、第一章习题答案一级检验员二级检验员1-1某厂每日(8h制)产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件/h,正确率为98%，计时工资为4元/h；二级检验员标准为：速度为15件/h,正确率为95%，计时工资3兀/ho检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1)确定设计变量；x根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=1x2(2) 建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X)=8*4*x1+8*3*x2+2(8*25*0.02x1+8*15*0

2、.05x2)=40x1+36x2(3) 本问题的最优化设计数学模型：minf(X)=40x+36xXER3,s.t.g,(X)=1800-8*25x+8*15xWO112g2(X)=x1-8WOg(X)=x-1OWO32g4(X)=-x1WOg5(X)=-x2WO1-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G,材料重度r，许用剪切应力t，许用最大变形量九。欲选择一组设计变量X二xxxT二dDnT使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数n3，1232簧丝直径d0.5，弹簧中径10D20,x2.0.,贝9-XW0,-x2W0XWR34) 本问题的最优化设计数学模型：minf(X)=8(x1x3

3、+x2x3)+18x1x2s.t.g(X)=-XWOg2(X)=-x2WOg3(X)=-X3W0h(X)=1500Xx2x3=0h2(X)=x2x=02231-5绘出约束条件：x2+x28；2x+x28；xx4所确定的可行域1 212121-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：X二132t；X二234t；X二414t。1 23第二章习题答案2-1请作示意图解释：X(k+1)二X(k)+a(k)S(k)的几何意义。2-2已知两向量P二122Ot,P二2021t,求该两向量之间的夹角0。122-3求四维空间内两点(1,3,1,2)和(2,6,5,0)之间的距离。2-4计算二元函数f(X)

4、二x3xx2+5x6在X(o)二11T处，沿方向S二12t的方向导数f(X(0)1121s和沿该点梯度方向的方向导数f(X(o)。V2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为minf(X)=(x3)2+(x4)212X=x,xt12g(X)=x+x50112g(X)=xx2.502 12g(X)=x03 1g(X)=x0,11a21a12221040125H(X)是正定的，所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数f(X)具有极小值。2-7求函数f(X)=3x12+2x222x1x2+10的极值点，并判断其极值的性质。解：Qf(X)Qx16xQf(X)Qx21由迸凶=0,坐2=0,得：极值点x

5、*=1/31/4t，极值f(x*)=229/24QxQxQ2f(X)二6,2f(X)dx2QxQx112Q2f(X)二0,2f(X)QxQxQx22 129海赛矩阵H(X)6004各阶主子式：aa=60,iiiia21a12a22H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。得：极值点X*=1/31/4t，极值f(x*)=229/242-8试判断函数/(X)=2x2+x2-2xx+x+1的凸性。12121解：fX=4x-2x+1,Qx121沁=2x-2xQx212Q2f(X)Qx215,2f(X)=-2,2f(X)=-2,2f(X)QxQxQxQxQx212212=2海赛矩阵H(X)5-2-22各

6、阶主子式：aa=50,1111a21a12220H(X)是正定的,所以，f(X)为凸函数。2-9试用向量及矩阵形式表示gx02122=20?H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。2-10现已获得优化问题minf(X)=4x一x2一1212s.tg(X)=x2+x2-250112g(X)=x2+x2一10x一10x+34021212g(X)=-(x一3)2-(x一1)20312g(X)=-x041g(X)=-xF，所以应作前进搜索。1212步长加倍：T=2T=0.2,A=A+T=1+2=0.322F=F=8.20312X=X(0)+AS=032F=F(A)=f(X(0)+AS)=6.6812

7、22再比较F、F，因FF，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的A点。所以：12121A=AT=0.30.2=0.1。12(3)步长加倍：T=2T=0.4,A=A+T=0.3+0.4=0.7F二F二6.68112X二X(o)+AS=0.72F二F(A)二f(X(o)+AS)二4.429.222比较F、F，因FF，所以还应再向前搜索，A=A一T=0.7-0.4=0.3。121212(4)步长加倍：T=2T=0.&A=A+T=1.522F二F二4.42912X二X(0)+AS=1.52F二F(A)二f(X+AS)二7.125.222比较F、F，因FF(a)&不满足迭代终止条件，比较函数值f乙继续缩

8、短区间。将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。表黄金分割法的搜索过程区间缩短次数(原区间)-3-3-3-1.832-1.832(5-8)略-1.111221.9440.0560.056-0.665-0.940970.0561.9440.1157.667-1.111-1.832-1.111-1.386-1.0460.056-1.111-0.665-1.111-1.006-0.987-0.306-0.987-0.851-0.9978670.115-0.987-0.888-0.987-0.9999643-3用二次插值法求函数F(a)=8a3-2a2-7a+3的最优解。已知搜区间为02，选代精度=0.

9、01。解：米用Matlab编程计算得：a=0.62073-4函数/(X)二x2-xx+x2+2x4x,取初始点为X(0)二22t，规定沿X(0)点的负梯度方向进行一次112212一维优化搜索，选代精度:*=10-5,*=10-6。xf(1) 用进退法确定一维优化搜索区间；(2) 用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值；(3) 用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；(4) 上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？解：最优点X*二02t，最优值f(X*)=4二次插值法更快3-5求F(a)=(a+1)(a2)2的极小点，选代精度*0丄*0.1。要求：xf(1) 从a

10、=0出发，T00-1为步长确定搜索区间；(2) 用黄金分割法求极值点；(3) 用二次插值法求极值点。解：(1)由已知条件可得，a1=a=0,件二F(a1)二4a=a+T=0.1210F=F(a)=(a+1)(a2)2=(0.1+1)(0.12)2=3.9712222因为FF，应作前进搜索。21 步长加倍，T二2T二0.2,F二F二3.971，012a=a+T=0.1+0.2=0.322F=F(a)=(a+1)(a2)2=(0.3+1)(0.32)2=3.7572222因为FF，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的a1点。所以：a1=a2=0.32112 步长加倍，T=2T=0.4,F=F=3

11、.757，a=a+T=0.3+0.4=0.722F=F(a)=(a+1)(a-2)2=(0.7+1)(0.7-2)2=2.8732222因为FF，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的巴点。所以：a1=a2=721112 步长加倍，T=2T=0.8,F=F=2.873，12a=a+T=0.7+0.8=1.522F=F(a)=(a+1)(a-2)2=(1.5+1)(1.5-2)2=0.6252222因为FF，所以已找到具有“高一低一高”特征的区间21即a=0.7时，F(a)=2.873；11a=1.5时，F(a)=0.625；22a=3.1时，F(a)=4.961。33(2) 由(1)确定的搜索区间0.