第二章 基本体的投影

1、第三章 基本体的投影第一节 平面立体第二节 曲面立体第三节 两回转体表面相交基本要求基基 本本 要要 求求1、掌握立体的投影特性和作图方法。2、掌握在立体表面上取点的方法。3、掌握立体被截切后截交线的求法。4、掌握立体表面相交线的性质和求法。 平面立体是由若干个平面立体是由若干个多边形平面多边形平面所围所围成的，空间不同数量和位置的平面将构成的，空间不同数量和位置的平面将构成不同的平面立体。成不同的平面立体。 1 1 平面立体的投影平面立体的投影 我们画平面立体的投影可以归结为我们画平面立体的投影可以归结为画它画它的所有多边形表面的投影的所有多边形表面的投影, ,也就是画这些多也就是画这些多边

2、形边和顶点的投影。边形边和顶点的投影。 另外，我们必须掌握平面立体表面上的另外，我们必须掌握平面立体表面上的点的取法，从而解决平面立体表面上的线，点的取法，从而解决平面立体表面上的线，截交线等作图问题。截交线等作图问题。YZo 一、平面立体的投影一、平面立体的投影 1、棱柱、棱柱 （1）投影）投影投影特性：投影特性： 一个投影为多边形，另外一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。两个投影轮廓线为矩形。 1、棱柱、棱柱 （2 2）表面取点）表面取点注意两点：注意两点：1 1）利用棱柱表面积聚性）利用棱柱表面积聚性 和点的投影特性。和点的投影特性。 2 2）可见性判断。）可见性判断。XYoB

3、a aaaaa ee e e ee) ( 1 1 1 1 1) () (1 2) (22可见性？可见性？ 一、平面立体的投影一、平面立体的投影c dc c) (cd dd c dcdb b) (b bbb1AECD 一、平面立体的投影一、平面立体的投影三棱柱三棱柱六棱柱六棱柱 一、平面立体的投影一、平面立体的投影VHABCSabc b c ss 2 2、棱锥、棱锥 a b css sabcabcMm（2 2）表面取点）表面取点mm1111mm（1）投影）投影sa 1 1、平面立体的截交线是截平面和立体表面的共、平面立体的截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点也是两表面的共有点。有线，截

4、交线上的点也是两表面的共有点。 2 2、截交线是一条闭合的平面多边形。、截交线是一条闭合的平面多边形。 3 3、多边形的各顶点是截平面与立体各棱线或边、多边形的各顶点是截平面与立体各棱线或边线的交点；多边形的各边是截平面和平面立体各线的交点；多边形的各边是截平面和平面立体各表面的交线，或是截平面之间的交线。表面的交线，或是截平面之间的交线。 截交线的性质截交线的性质: : 1.平面与棱锥相交 2.平面与棱柱相交 3. 求平面立体截交线的步骤 二、平面与平面立体相交二、平面与平面立体相交 二、平面立体截交线二、平面立体截交线ssabc a b c sabcqp12(3)1231234(5)454

5、5作图步骤： 作水平截面Q与as的交点1,又与正截面P交于2（3 ），并对应在as上求出1，且过1作底边ab及ac的平行线1 2和1 3，其侧面投影积聚成直线213作图步骤：然后作正截面P与正垂面BCS交出正垂线4（5），并对应在bcs上求出4 5，在bcs上求出45。在作截面P与ABS及ACS交出的截交线2 4、3 5及24、35。作图步骤：作图步骤： 加粗可见轮廓线例题：例题：求三棱锥正面求三棱锥正面 投影被投影被Q、P 两两 面截切以后交线面截切以后交线 的三面投影。的三面投影。 1.1.平面与棱锥相交平面与棱锥相交S3abc a bde c d e) (ba e) (cd1) 3()4

6、(25 1 5 225 1) 4( 347 6) 7(676验证结果验证结果的正确性的正确性 二、平面立体截交线二、平面立体截交线例题：例题：求作正五棱柱被截求作正五棱柱被截 切后交线的三面投影图。切后交线的三面投影图。2. 2. 平面与棱柱相交平面与棱柱相交1 1、首先要确定空间基本立体的形状。、首先要确定空间基本立体的形状。2 2、判断截平面的数量及各截面位置。、判断截平面的数量及各截面位置。3 3、作截面与立体各棱线交点的投影。、作截面与立体各棱线交点的投影。4 4、连接立体同一表面上交点的投影。、连接立体同一表面上交点的投影。 5 5、分析并作出各截平面之间的交线。、分析并作出各截平面

7、之间的交线。 6 6、判断交线可见性，补全棱线投影。、判断交线可见性，补全棱线投影。 二、平面立体截交线二、平面立体截交线 3 3、求平面立体截交线的步骤：、求平面立体截交线的步骤：ABS好镜acb sabcs a) ( cb s 11 22 3) 4(34 1243注意：注意： 截平面之截平面之 间的交线间的交线 二、平面立体截交线二、平面立体截交线例例3 3 求出立体被截切求出立体被截切 后的三面投影。后的三面投影。abcds) ( ca b d sac) ( bd s1 14 44 3) 5( 1 13553 2 62662验证结果验证结果的正确性的正确性 二、平面立体截交线二、平面立体

8、截交线例例4 4 求出立体被截切求出立体被截切 后的三面投影。后的三面投影。 曲面立体则是由曲面和曲面或曲面和平曲面立体则是由曲面和曲面或曲面和平面所围成的。面所围成的。 画曲面立体的投影就是要画它的轮廓线、画曲面立体的投影就是要画它的轮廓线、尖点的投影以及转向轮廓线的投影。尖点的投影以及转向轮廓线的投影。 工程中常见的曲面回转体，主要有圆柱工程中常见的曲面回转体，主要有圆柱体、圆锥体、球体等。体、圆锥体、球体等。2 2 曲面立体曲面立体1 1、形成、形成 圆柱是由圆柱面、顶面和底面所围成的曲面立体。圆柱是由圆柱面、顶面和底面所围成的曲面立体。 圆柱面可看作是直线围绕其平行的轴线旋转而成。圆柱

9、面可看作是直线围绕其平行的轴线旋转而成。 一、圆柱体的投影一、圆柱体的投影2 2、圆柱的投影、圆柱的投影3 3、圆柱表面取点、圆柱表面取点 1) 1 ( 1 2)2(2 投影投影可见否？可见否？ 投影投影可见否？可见否？) ( 3)3(3 投影投影可见否？可见否？) 4( 投影投影可见否？可见否？4 4) ( 一、圆柱体的投影一、圆柱体的投影1 1、形成、形成 圆锥是由圆锥面和锥底面所围成的。圆锥是由圆锥面和锥底面所围成的。 圆锥面可看作是直线绕着与其相交的轴线旋转而成。圆锥面可看作是直线绕着与其相交的轴线旋转而成。 二、圆锥体的投影二、圆锥体的投影2 2、圆锥的投影、圆锥的投影3 3、圆锥表

10、面取点、圆锥表面取点 1 11 kk22 投影投影可见否？可见否？ 投影投影可见否？可见否？) ( 1 1）辅助素线法）辅助素线法 2 2）辅助平面法）辅助平面法 33 投影投影可见否？可见否？3) ( 2 二、圆锥体的投影二、圆锥体的投影1 1、形成、形成 球是由球面围成的，球面也可看作是圆绕其直径为轴线旋转而成。球是由球面围成的，球面也可看作是圆绕其直径为轴线旋转而成。 三、球体的投影三、球体的投影2 2、球的投影、球的投影3 3、球的表面取点、球的表面取点 11 投影投影可见否？可见否？2 2) () (2 投影投影可见否？可见否？3如何求？如何求？ 1 三、球体的投影三、球体的投影二、

11、二、 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 曲面立体截交线的性质曲面立体截交线的性质 1. 曲面立体的截交线常是由曲线或直线所围成的平面图形曲面立体的截交线常是由曲线或直线所围成的平面图形 。 2. 曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线。曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线。 3. 曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 4. 截交线的形状与立体的形状及截平面的相对位置相关。截交线的形状与立体的形状及截平面的相对位置相关。矩形矩形椭圆椭圆圆圆截交线的形状有几种？截交线的形状有几种？ 一、平面与圆柱相交一、平面与圆柱相

12、交3(7)12(8)4(6)1 46 8 2 37 157328是什么立体？属于截是什么立体？属于截切的那种情况？切的那种情况？分析：截交线的正面投影分析：截交线的正面投影 截交线的水平投影截交线的水平投影 截交线的侧面投影截交线的侧面投影1、找截交线的特殊点：最高点、找截交线的特殊点：最高点、最低点、最前点、最后点、最最低点、最前点、最后点、最左点、最右点、即转向轮廓线左点、最右点、即转向轮廓线上的点。上的点。2、找一般点（至少一对）、找一般点（至少一对）3、将点的投影光滑连线、将点的投影光滑连线4、加粗可见的轮廓线、加粗可见的轮廓线5546 例例1 1作出立体被正垂面作出立体被正垂面P P

13、截切以后的侧面投影截切以后的侧面投影 例例2 2完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影ab a( b )abAB3 (4)(3)(4)12 例例3 3由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。1 (2)圆圆椭圆椭圆三角形三角形双曲线双曲线抛物线抛物线截交线的形状有几种？截交线的形状有几种？ 二、平面与圆锥相交二、平面与圆锥相交65是什么立体？属于截切的那种是什么立体？属于截切的那种情况？情况？分析：截交线的正面投影分析：截交线的正面投影 截交线的水平投影截交线的水

14、平投影 截交线的侧面投影截交线的侧面投影1、找截交线的特殊点：最高点、最低点、找截交线的特殊点：最高点、最低点、最前点、最后点、最左点、最右点、转向最前点、最后点、最左点、最右点、转向轮廓线上的点，椭圆长短轴上的点。轮廓线上的点，椭圆长短轴上的点。2、找一般点（至少一对）、找一般点（至少一对）3、将点的投影光滑连线、将点的投影光滑连线4、加粗可见的轮廓线、加粗可见的轮廓线3 (4)3 4345 (6)5 67 (8)877 8 二、平面与圆锥相交二、平面与圆锥相交PQ1(2)12127775(6)56653(4)3434 例例4-14-1求作圆锥被求作圆锥被Q Q与与P P平面截切的截交线投影

15、平面截切的截交线投影qp11123232(3)4(5)4545 例例4-24-2 求作圆锥被截切以后，截交线的投影求作圆锥被截切以后，截交线的投影圆圆 三、平面与球相交三、平面与球相交211(2)21 例例5 5 作出半圆球被切口以后交线的投影作出半圆球被切口以后交线的投影 例例6 6 完成圆球被正垂面完成圆球被正垂面P P截切以后的水平投影截切以后的水平投影123(4)5(6)7(8)124378prq65P 有两个以上的基本体便可构成组合体，平面与组合体截切一般会产生几段不同的交线，相邻两段交线的分界点必在组合体的分界线上。因此，作组合截切时应先确定各立体的形状，及确定相邻立体间的分界线，

16、然后分别作出各自的截交线。四、立体组合截切四、立体组合截切 例例7 求作圆锥被求作圆锥被Q与与P平面截切以后，所截交线的投影平面截切以后，所截交线的投影PQ(10)33(5)1513152(4)2424(6)10(6)106888(7)997973212(3)4(5)23145541 例例8 完成组合立体被截切后的投影完成组合立体被截切后的投影3 3 两回转体表面相交两回转体表面相交 两回转立体表面相交产生的交线称为相贯线，它是两立体表面的共有线，一般是封闭的空间曲面，特殊情况下是平面曲线或直线。 求两立体表面相贯线的投影，实质上就是求出相贯线上一系列共有点的投影。 一、辅助平面求点法一、辅助

17、平面求点法 辅助平面求点法，就是利用三面共点的原理求相贯线上的共有点，如图所示。 （1 1）辅助平面必须是特殊位置的平面；）辅助平面必须是特殊位置的平面； （2 2）辅助平面与两回转体同时相交，所）辅助平面与两回转体同时相交，所产生的两截交线必须是简单的直线和圆。产生的两截交线必须是简单的直线和圆。辅助平面的辅助平面的选择原则：选择原则：5621解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （1 1）两圆柱的相对位置怎样？）两圆柱的相对位置怎样？（2 2）小圆柱是否完全贯在大圆）小圆柱是否完全贯在大圆柱内？柱内？5 5 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可

18、见性；并且判别可见性；6 6 加粗可见轮廓线。加粗可见轮廓线。2 2 判断一下相贯线的哪个投判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求出相贯线上的特殊点：最求出相贯线上的特殊点：最高、最低、最前、最后、最左高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。、最右、转向轮廓线上的点。1(2)12343(4)34yy5(6“)564 4 求出至少一对一般点求出至少一对一般点； 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交PHPW实对实相贯解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （1 1）孔和柱的相对位置怎样？）孔和柱的相对位置怎样

19、？（2 2）孔是否全贯在大圆柱内？）孔是否全贯在大圆柱内？5 5 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；6 6 加粗可见轮廓线。加粗可见轮廓线。2 2 判断一下相贯线的哪个投判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求出相贯线上的特殊点：最求出相贯线上的特殊点：最高、最低、最前、最后、最左高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。、最右、转向轮廓线上的点。4 4 求出至少一对一般点求出至少一对一般点；空对实相贯PH 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交5

20、6211(2)3(4)34y5(6)561234PWy5621解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （1 1）孔和孔的相对位置怎样？）孔和孔的相对位置怎样？（2 2）孔是否完全贯在大圆柱孔）孔是否完全贯在大圆柱孔内？内？5 5 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；6 6 加粗可见轮廓线。加粗可见轮廓线。2 2 判断一下相贯线的哪个投判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求出相贯线上的特殊点：最求出相贯线上的特殊点：最高、最低、最前、最后、最左高、最低、最前

21、、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。、最右、转向轮廓线上的点。1(2)3(4)3456564 4 求出至少一对一般点求出至少一对一般点；空对空相贯1234 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交yPHyPW 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交（1 1）圆柱和圆柱偏交）圆柱和圆柱偏交解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （1 1）两圆柱的相对位置怎样？）两圆柱的相对位置怎样？（2 2）小圆柱是否完全贯在大圆）小圆柱是否完全贯在大圆柱内？柱内？5 5 光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别，作出相贯线，并且判别可见性可见性(

22、 (公共的可见部分公共的可见部分才是可见的才是可见的) )；6 6 加粗可见轮廓线。加粗可见轮廓线。2 2 判断一下相贯线的哪个投判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求出相贯线上的特殊点：最求出相贯线上的特殊点：最高、最低、最前、最后、最左高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。、最右、转向轮廓线上的点。4 4 求出至少一对一般点求出至少一对一般点；TWyyTH 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交（1 1）圆柱和圆柱偏交）圆柱和圆柱偏交（2 2）两圆柱等直径正交）两圆柱等直径正交（2 2）两圆柱等直径正交）两圆柱等直径正交 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交 （2 2）两圆柱等直径正交）两圆柱等直径正交 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交yyPW1PV1yy125 5 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；6 6 整理轮廓线。整理轮廓线。解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （1 1）柱锥的相