2.3常用的离散分布ppt课件

1、2.3 2.3 常用的离散型分布常用的离散型分布一、退化分布一、退化分布如果随机变量如果随机变量X X则称随机变量则称随机变量X X服从服从 处的退化分布处的退化分布.*a即即此时此时 0DXaEXPXa1Xa 1二、两点分布二、两点分布如果随机变量如果随机变量X X 只取两个值只取两个值其中其中此时此时当当时，时，即为即为0101分布分布. .也称也称X X是参数为是参数为p p的的此时此时 p则称则称X X服从参数为服从参数为p p的两点分布的两点分布. .伯努利随机变量伯努利随机变量. .01p1px2()1xp11,x 20 x 12,xx12xxX1ppEX10X1ppEXDX)1(

2、pp三、离散均匀分布三、离散均匀分布X12.nxxx111.nnn如掷一颗骰子如掷一颗骰子出现的点数出现的点数X具有离散均匀分布具有离散均匀分布. .612345X111111666666EX11xn21xn1.nxn1n12.nxxxxDXE2XEX2E Xx21()1xnx22()1xnx2.(1. .)nxxn四、二项分布四、二项分布可形象地把这两个对立结果可形象地把这两个对立结果每一次试验每一次试验, ,设在一次试验中设在一次试验中, ,只有两个对立的结果只有两个对立的结果: :A或或A叫作叫作“胜利胜利”重复进行重复进行 次独立试验次独立试验, ,n(“(“反复反复指指 一样一样,

3、, “ “独立独立指各次试验的结指各次试验的结果果互不影响互不影响) ) 各次试验的条件各次试验的条件成功的概率都是成功的概率都是失败的概率都是失败的概率都是这样的这样的 次独立重复试验次独立重复试验 n称作称作 重贝努里重贝努里 n简称贝努里试验简称贝努里试验 或贝努里概型或贝努里概型. . 用用 表示表示Xn n重贝努里试验中重贝努里试验中事件事件A(A(胜利胜利) )出现的出现的可能取值可能取值: :X和和“失败失败”次数次数, ,实验实验, , 0,1,2,3,.,n, pq 1pPnkX.210设设 表示表示 iA 第第 次发生事件次发生事件A A iiP A()0P X12.()n

4、AP AA12() (). ()nPPPAAA()iP Ap1p qnq1P X231.(.nAAPAA 213.nAAAA 11.)nnAAA231.().nA APAA132.()nP A A AA11.).(nnAAPAp1nq1nCnq111nnpCq12() (). ()nPPPAAA12() (). ()nPPAAP A .11(). () ()nnP APPAAP Xk11.(. .nkkAAPAA11.).nn kknAAAA .P Xn12.()nAP AA12() (). ()nPPPAAAnpknCkpn kq2p2P X312.(.nPAAAA .121.)nnnAAA

5、A2nC2nq132() () (). ()nPPP APAAA.121() (). () ()nnAAAPPP APPnkX.210设设 表示表示 iA 第第 次发生事件次发生事件A A iiP A().()iP Ap1p qnq111nnpCq222nnpCqkknn kpCqnp312.(.)nAPAAA .121(.)nnnPAAAA11.()nkkAAPAA.11.).(.n knn kAAAP A PnkX.210.称随机变量称随机变量X服从参数为服从参数为,n p的二项分布的二项分布, ,记为记为p1nqkpn kq当当n=1n=1时时, , 二项分布二项分布1即即qp即是参数为

6、即是参数为p p的的0101分布分布. .EXpnDXqn p可以证明，可以证明， 二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差分别为分别为 ( , )Xb n pP Xkn kqknC0,1,2,.,knnq 111nnqC p222nnqC p.kknn kpCq.np()nqp1(, )bp01Xnq1nC2nC2p2nqknCnpkp20例例 已知随机变量已知随机变量求求5P X 解解4.26q 4.20.31P X2P X3P X4P X10i 40P XEXpnDXqn p可以证明，可以证明， 二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差分别为分别为EXpn6DXqn p1

7、pq 0.7q 6np6EX 4.2DX ( , )Xb n pXb0.320,5P X 15P X 1 4P X 120iC0.3i200.7i401i P Xi3232q例例 (2,)XBp ，(3,)YBp且且519P X求求1P Y解解591P X 11P X 1 0P X 12q5194923q13pYB3,131P Y 11P Y 1 0P Y 13q 11927设设0.5, 0.5 XU0.30.3 在四舍五入时在四舍五入时, ,今有今有n n个加数个加数, ,每个加数的取整误差每个加数的取整误差服从服从 0.5, 0.5上的均匀分布上的均匀分布, ,计算它们中计算它们中绝对误差

8、小于绝对误差小于 的概率的概率. .0.3例例 设设 表示一个加数的取整误差表示一个加数的取整误差X解解P10.50.5)(xfy 的概率为的概率为: :每个加数的绝对误差小于每个加数的绝对误差小于0.3 0.3X P 0.30.3X( )Xfx dx0.30.31dx 0.6设设 为为n n个加数中个加数中Y绝对误差小于绝对误差小于0.30.3的个数的个数. .Y的可能取值为的可能取值为0,1,2,.,n至少有至少有3 3个的个的1)n1)n个加数个加数2)2)每个加数的绝对误差每个加数的绝对误差4)4)各加数的绝对误差是否各加数的绝对误差是否至少有至少有3 3个加数的个加数的10.50.5

9、)(xfy 或者小于或者小于0.3 0.3或者或者3)3)每个加数的绝对误差每个加数的绝对误差小于小于 的概率都是的概率都是0.30.6小于小于0.3互不影响互不影响. . ()Yb,n0.6绝对误差绝对误差小于小于 的概率为的概率为: :0.3P 3Y 0P Y设设 为为n n个加数中个加数中Y绝对误差小于绝对误差小于0.30.3的个数的个数. . 1P 3Y 11P Y 2P Y 10.4n10.61nC10.4n20.62nC20.4n0.5, 0.5 XU设设 表示一个加数的取整误差表示一个加数的取整误差XP 0.3X0.30.3( )Xfx dx0.30.31dx 0.6五、几何分布

10、五、几何分布一般地一般地, ,假定一个试验假定一个试验直到首次成功为止直到首次成功为止, ,成功的概率是成功的概率是p ( 01)p 不断地重复试验不断地重复试验, ,且各次试验的且各次试验的结果是独立的结果是独立的.令令 表示表示X试验的次数试验的次数. .X可能取的值是可能取的值是: :1,2,3,., ,.n123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp 设设 表示表示iA“第第 次成功次成功” ” i()iP Aq 令令p ()iP A1p1P X 21()P A A 12() ()A P AP qp 123()A A AP 123() () ()AAPP AP 1()P A p

11、 2P X 3P X pqq 121.()nnA AAPA 121() (). ()nnAAAPAPPP （ ） 1npq 2pq P Xn 服从服从X参数为参数为 的几何分布的几何分布. .p123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp 几何分布：几何分布：01,p p pq 2pq 1.npq . 1qp11n11nnxn2)1(1x 时，时，1 x21(1)q23(.)nxxxx21p1pn1npq1npn1nqp1n()nx1nnx1xxpEX1pEX p 2 pq 23 pq 1.npqn . 123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp 01,p 1EXp1n2n1

12、npq2EX p 22 pq 223 pq 21.npqn . 1np2n1nq121nnxn时，时，1 x1n()nnx1nnnxx11nnxnx2(1)x31(1)xxp3(1)q 1q p3p1q 2p 1q DX 2EX 2()EX21pq 21p2qp 几何分布有性质：几何分布有性质：123.XnPppq2pq1npq .XmXnmPnP X对任意自然数对任意自然数m m，n n， 有有证证XmXnmPP XmnPXm XmmP XP XnmP Xm1mP X2P Xm.P Xmk. mpq 1mpq 1.m kqp .1qmpqmq mqnmq nq nP X称为无记忆性，称为无记

13、忆性， 是几何分布的特征性质是几何分布的特征性质. .六、超几何分布六、超几何分布0100010C0600C一个池塘中有一个池塘中有10001000条鱼条鱼, ,从池中任意捞从池中任意捞100100条鱼条鱼, ,其中有其中有600条草鱼条草鱼, 400400条鲢鱼条鲢鱼, ,草鱼的数量草鱼的数量求这求这100100条鱼中条鱼中解解 设设 表示表示X草鱼的数量草鱼的数量.条草鱼条草鱼条鲢鱼条鲢鱼400600X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,.,1000P X 040010C0100010C600kCP Xk140000 kC0,1,2,3,. 00,1k 例例 100的概率分布的概率分布

14、. .捞出的捞出的100100条鱼中条鱼中一个池塘中有一个池塘中有10001000条鱼条鱼, ,从池中任意捞从池中任意捞100100条鱼条鱼, ,其中有其中有80条草鱼条草鱼, 920920条鲢鱼条鲢鱼, ,中草鱼的数量中草鱼的数量求这求这100100条鱼条鱼解解 设设 表示表示X草鱼的数量草鱼的数量.条草鱼条草鱼条鲢鱼条鲢鱼92080X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,.,800100010C80kCP Xk192000 kC0,1,2,3,. 80.,k 例例 100的概率分布的概率分布. .捞出的捞出的100100条鱼中条鱼中规定规定1808C08280C80100.C即当即当k

15、80k 80时时, ,800kC,81,82100,.,一个池塘中有一个池塘中有10001000条鱼条鱼, ,从池中任意捞从池中任意捞100100条鱼条鱼, ,其中有其中有930条草鱼条草鱼, 7070条鲢鱼条鲢鱼, ,草鱼的数量草鱼的数量求这求这100100条鱼中条鱼中解解 设设 表示表示X草鱼的数量草鱼的数量.条草鱼条草鱼条鲢鱼条鲢鱼70930X的可能取值为的可能取值为,31,.30.,1000100010C930kCP Xk07010kCk 例例 100的概率分布的概率分布. .捞出的捞出的100100条鱼中条鱼中规定规定07010C09970C7701.C即当即当j 70j 70时时,

16、 ,700jC30, 31, .,1000,1,., 29,EX 1NnN可以证明可以证明, ,定义定义对给定的自然数对给定的自然数12,n NN以及以及12NNN共共 12NNN个个个个k1N2N个个n kn个个假设假设P XknNC1kNC2kNnC0,1,2,.,kn则称则称 服从服从 X超几何分布超几何分布.超几何分布超几何分布的数学期望和方差分别为的数学期望和方差分别为1NnNDX n 12NN这里约定这里约定,ab当当时时,0abC 2NN1NnN(1)(1)无返回无返回(2)(2)有返回有返回1kNN2)2)每次或取到红球或取到黑球每次或取到红球或取到黑球. .3)3)每次取到红

17、球的概率都是每次取到红球的概率都是4)4)各次摸取互不影响各次摸取互不影响NN1个黑球个黑球, ,2N设袋中有设袋中有 个红球个红球, ,1N从中取从中取 次次, ,n每次取一个球每次取一个球, ,表示取到的红球个数表示取到的红球个数. .XP Xk12nNNC1kNC2kNnC0,1,2,.,kn服从超几何分布服从超几何分布. .X1) 1) 次摸取次摸取n服从二项分布服从二项分布. .XP Xk2n kNNknC0,1,2,.,kn当当 很大时很大时, ,N无返回无返回接近于有返回接近于有返回, ,故超几何故超几何分布分布 接近于二项分布接近于二项分布. .1N2N共共 12NNN个个1n

18、N2nN(1)(1)无返回无返回(2)(2)有返回有返回时时pNN1其中其中P55 (2.57)P55 (2.57)1N2N共共 12NNN个个P Xk12nNNC1kNC2kNnC0,1,2,.,kn1kNNP Xk2n kNNknC0,1,2,.,kn对于固定的对于固定的,n,N 当当P Xk12nNNC1kNC2kNnCkpn kqknC1qp当当 很大时很大时, ,N无返回接近于有返回无返回接近于有返回, ,故超几何分布故超几何分布接近于二项分布接近于二项分布. .1,N 2,N 且且例例 设设1010粒种子中粒种子中10NC80.9共共N N粒粒10NC1010C910C一大批种子的

19、发芽率为一大批种子的发芽率为90%从中任取从中任取1010粒粒, ,求播种后求播种后(1)(1)恰有恰有8 8粒发芽的概率粒发芽的概率; ;(2)(2)不少于不少于8 8粒发芽的概率粒发芽的概率. .解解有有 粒种子发芽粒种子发芽. .X(1)8P X 80.9NC20.1NC20.1810C(2)8P X 8P X9P X 10P X 20.1NC80.9NC10NC10.1NC90.9NC10NC00.1NC00.91NC80.920.1810C90.910.1100.900.10.9N0.1N七、泊松分布七、泊松分布定义定义 且取这些值的概率为且取这些值的概率为其中其中( )XP 为常数

20、为常数, ,则称则称 服从服从X参数为参数为的的记为记为设随机变量设随机变量 可能取的值为可能取的值为X!kek e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e 0,1,2,., ,.k0,1,2,., ,.kP Xk0, 分布分布, ,泊松泊松( )XP 满足归一性满足归一性. .1由由e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e xe21.2!nxxxn x 0n!nxn0nP Xne 1!1e 2.2.!e .!nne e 1 1!1 2.2.! .!nn e e 泊松分布的数学期望与方差分别为泊松分布的数学期望与方差分别为 EX DXEX 泊松分布：泊松分布：.1用同样的

21、方法可求得用同样的方法可求得DX2EX 2()EXe 2!2 1.!(.)n1n .e 1!1e 2!22e 3!33e .!nenn e1!1e .2!2e 2EX 222 e .01.2.nXP!nen 例例书籍中每页的印刷错误书籍中每页的印刷错误 服从泊松分布服从泊松分布,一个印刷错误的页数一个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数同同,求任意检验求任意检验4 4页页, ,每页上都没有印刷错误的概率每页上都没有印刷错误的概率.解解 设任一页上设任一页上X有有 个印刷错误个印刷错误.P Xm!mem0,1,2,3,.m 1P X 2P X 总页数总页数有一个印刷错误的页

22、数有一个印刷错误的页数总页数总页数有两个印刷错误的页数有两个印刷错误的页数2P X0P X 任取任取4 4页页, ,设设 表示表示iA有有“第第 页上页上i没有印刷错误没有印刷错误”P1234A A A A1234() () () ()P A P A P A P A为一页上没有印刷错误的概率为一页上没有印刷错误的概率.2e2e2e2e8e相相1P X 1!1e 2!2e 2 2e 0!0e 定理定理2.4 (2.4 (泊松定理泊松定理) ) 在在 重贝努利试验中重贝努利试验中, ,n事件事件A A在每次试验中发生的概率为在每次试验中发生的概率为np（与试验的次数（与试验的次数n有关）有关）假设假设n 时，时，nnp （ 0， 为常数为常数 )则对任意则对任意k0,1,2,.,n有有; ,nb k n plimnlimn!kek knp(1)nn kpknC根据此定理根据此定理, ,参数为参数为!k假假设设 (,)Xb n p充分大充分大, ,n充分小充分小, ,p则则X X近似服从近似服从的泊松分布的泊松分布. .即即np P Xk()knp()npekp(1)knpknC!kek 例例 1) 1) 有有2 2个元件发生故障的概率个元件发生故障的概率. .2) 2) 有不少于有不少于2 2个元件发生故障的概率个元件发生故障的概率. .1) 10001) 1000个元件个