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1、第九章第九章 数项级数数项级数202101059.1 9.1 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 一、无穷级数一、无穷级数 1nna无穷级数无穷级数nnaaaS 21.;,lim否则称发散否则称发散称级数收敛称级数收敛若若SSnn 个个部部分分和和第第 n:例例.1| ,0时时收收敛敛只只有有等等比比级级数数 qqnn.1 ,1 ,10时发散时发散时收敛时收敛当当级数级数 nn naaa21级数收敛的必要条件：级数收敛的必要条件：.0lim1 nnnnaa 收收敛敛，则则若若 （反之不对）（反之不对）证明：证明：, ,lim1 nnnnnSSaSS存存在在设设等价叙述为：等价叙述为：., 0

2、lim1发发散散则则若若 nnnnaa. 0lim SSann故故:例例. 1sin ,)1(10发发散散 nnnnn二、收敛级数的性质：二、收敛级数的性质： 线性性质：线性性质：.,111也也收收敛敛则则都都收收敛敛设设 nnnnnnnbaba添加、去掉、改变级数的有限项添加、去掉、改变级数的有限项, ,不不改变级数的收敛性改变级数的收敛性. .111 nnnnnnnbaba且且取取极极限限有有限限和和 则则收收敛敛若若,1 nna任意任意“加括号加括号后组成后组成的的且和不变且和不变. .的新级数也收敛的新级数也收敛; ;反之不真：反之不真：“加括号后收敛加括号后收敛, , 原级数不一定收

3、敛原级数不一定收敛” 11)1(nn逆否：逆否： 加括号后发散加括号后发散, ,则原级数发散则原级数发散. .实质：实质：加法结合律的推广加法结合律的推广收敛级数有结合率收敛级数有结合率. .但是，但是，如果括号中各项符号相同如果括号中各项符号相同, ,且加括号且加括号后收敛后收敛, ,则原级数必收敛则原级数必收敛. .且和不变且和不变. .证明：证明： )()(211121kkkaaaaa )(11nnkkaa部分和：部分和：,21nAAA原级数部分和：原级数部分和：,21nSSS nknnknASAASA11SSkn lim,limSAnn 设设有有时时变变到到由由则则,11nnkkk ：柯柯西西收收敛敛准准则则)(Cauchy*Np .1 pnnkka恒有恒有证明：证明： 存在存在收敛收敛1limnnnnSa, 0*NpNnNN 对对一一切切时时当当 . npnSS收敛收敛 1nna, 0*时时使使NnNN .1 pnnkka即即作业作业 (数学分析习题集数学分析习题集)习题习题7.1 无穷级数的基

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