第3章一元函数积分学412(特殊类型函数的积分(1))

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A3.1.6 3.1.6 有理函数的分解有理函数的分解3.1.7 3.1.7 有理函数的积分有理函数的积分3.1.8 3.1.8 三角函数的有理式的积分三角函数的有理式的积分3.1 3.1 不定积分不定积分有理函数的定义有理函数的定义有理函数的分解有理函数的分解 有理函数的性质有理函数的性质3.1.6 有理函数的分解有理函数的分解 3.1.7 有理函数的积分有理函数的积分 有理函数的积分法有理函数的积分法 有理函数积分习例有理函数积分习例2-73.1.8 三角有理式的积分三角有理式的积分三角有理

2、式的积分法三角有理式的积分法三角有理式积分习例三角有理式积分习例8-10 几类特殊函数的不定积分几类特殊函数的不定积分1. 有理函数的定义有理函数的定义 ).,;,; 0, 0()()(00110110为为非非负负整整数数nmRbababxbxbaxaxaxQxPiimmmnnn .,时时称称为为真真分分式式当当时时称称为为假假分分式式当当mnmn 形如形如的多项式分式称为有理函数。的多项式分式称为有理函数。一、有理函数的分解一、有理函数的分解2. 有理函数的性质有理函数的性质(1) 任何有理假分式可化为多项式与有理真分式的和任何有理假分式可化为多项式与有理真分式的和.(2) 实系数多项式函数

3、实系数多项式函数Q(x)在实数范围内可分解为一次在实数范围内可分解为一次 因式与二次因式的乘积因式与二次因式的乘积. )()(,)( (3)的的简简单单部部分分分分式式之之和和可可化化为为下下列列四四种种类类型型有有理理真真分分式式分分解解后后xQxPxQ.)(IV. ;III. ;)(II. ;I.22kkqpxxNMxqpxxNMxaxAaxA ;)()(: ,)()(221kkkaxAaxAaxAkaxxQ 个部分分式之和个部分分式之和则分解后有下列则分解后有下列中含有中含有若若.)()(:,)()(222222112kkkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkqpxxxQ 个个

4、部部分分分分式式之之和和则则分分解解后后有有下下列列中中含含有有若若3223(1)2xxxx例例1 利用利用待定系数法待定系数法将下列有理函数分解为简将下列有理函数分解为简单部分分式之和单部分分式之和34(2).4dxxx331(3).(1)xdxx x3.有理函数的分有理函数的分解解3223(1)2xxxx解解,)2)(1(3223223 xxxxxxxx21)2)(1(32 xCxBxAxxxx设设,)2)(1()1()2()2)(1( xxxxCxxBxxxA).1()2()2)(1(32 xCxxBxxxAx则则,23 , 0 Ax得得令令,35 , 1 Bx得得令令.61 , 2 C

5、x得得令令,)2(61)1(352323223 xxxxxxx).1()2()2)(1(32 xCxxBxxxAx则则34(2).4dxxx解解,)4(44423 xxxx4)4(4 22 xCBxxAxx设设)4()()4(22 xxCBxxxA,)4(4)(22 xxACxxBA 4400 ACBA从而从而 011CBA,4)(4 2ACxxBA 得得,414423 xxxxx331(3).(1)xdxx x解解3233)1()1(1)1(1 xDxCxBxAxxx设设,)1()1()1()1(323 xxDxxCxxBxxA,)1()1()1(1 233DxxCxxBxxAx 得得, 1

6、 , 0 Ax得得令令, 2 , 1 Dx得得令令 0231 CBABA 12CB,23的的系系数数得得与与再再比比较较xx332311212(1)1(1)(1)xx xxxxx 有理函数的积分可转化为计算简单有理分式的积分如下有理函数的积分可转化为计算简单有理分式的积分如下,lnCaxaxdx ),1( )(1(1)(1 kCaxkaxdxkkdxqpxxMNxMdxqpxxNMx 22222dxqpxxpMNpxM 2)2()2(2二、有理函数的积分二、有理函数的积分 1.有理函数的积分法有理函数的积分法 qpxxdxMpNqpxxqpxxdM222)2()(2 )4()2()2()2(l

7、n2222pqpxpxdMpNqpxxMqpxxM 2ln2,42arctan41)2(22CpqpxpqMpN dxqpxxNMxk )(2 kkqpxxdxMpNqpxxqpxxdM)()2()()(222212)(1(12 kqpxxkM.)4()2()2()2(22 kpqpxpxdMpN这里的最后一项可用下面的递推公式算出（上节课的例这里的最后一项可用下面的递推公式算出（上节课的例18）11222)32()() 1(21nnnInaxxnaI2.有理函数的积分习例有理函数的积分习例有理函数积分的一般步骤：有理函数积分的一般步骤： 先把被积函数化为部分分式之和先把被积函数化为部分分式之

8、和(利用待定系数法利用待定系数法),然后积分然后积分.dxxxxx23223计算例例2 2例例3 3例例6 6例例4 4例例7 7例例5 5dxxx443计算dxxxx33) 1(1计算dxxxx11332计算dxxx103) 1(计算dxxx )2(110计算解解 利用有理函数的分解，得利用有理函数的分解，得3223351,223(1)6(2)xxxxxxx dxxxxdxxxxx)2(61)1(352323223.2ln611ln35ln23Cxxx dxxxxx 23223计计算算例例2解解3241,44xxxxxdxxxxdxxx)41(4423 4)4(21122xxddxx.4ln

9、21ln2Cxx 例例3 3dxxx443计算解解332311212,(1)1(1)(1)xx xxxxx dxxxxxdxxxx )1(2)1(1121)1(13233.)1(1111ln2ln2Cxxxx 注意注意: 总之总之,有理函数的不定积分都已解决有理函数的不定积分都已解决,其原函数都是初其原函数都是初 等函数等函数.(2) 并非所有有理函数的不定积分都用此方法，有时用并非所有有理函数的不定积分都用此方法，有时用 别的方法更方便别的方法更方便.例例4 4dxxxx 33)1(1计算计算解解 1)1(1133332xxxxddxxxx.1ln3Cxx 例例5 5dxxxx 11332计

10、算计算解解dtttdxxxtx 1031103)1()1(dttttt 1023133dttttt )33(10987Ctttt 987691837361.)1(91)1(83)1(73)1(6198761Cxxxxtx 例例6 6dxxx 103)1(计算计算解解dtttdxxxtx 10911021)2(11010211101dtt )21(2112011010tdt Ct 1021ln201.21ln201101Cxtx 例例7 7dxxx )2(110计计算算dxnxmxdxxxR cossin)cos,(sin (1)dxnxmx sinsin 或或dxnxmx coscos 或或方

11、法方法:用积化和差公式进行恒等变形后用积化和差公式进行恒等变形后,再凑微分再凑微分.dxxdxxxRm sin)cos,(sin (2)dxxm cos 或或方法方法: ;,1cossin,22再再凑凑微微分分变变形形后后用用为为奇奇数数时时当当 xxm.,再再凑凑微微分分用用倍倍角角公公式式降降幂幂后后为为偶偶数数时时当当m三、三、三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分1.三角函数有理式的积分法三角函数有理式的积分法xdxxdxxxRnmcossin)cos,(sin (3) 方法方法: ;,1cossin,22的积分的积分再凑微分化为有理函数再凑微分化为有理函数变形后变形后用用中有一个为

12、奇数时中有一个为奇数时当当 xxnm.,再再凑凑微微分分用用倍倍角角公公式式降降幂幂后后都都是是偶偶数数时时当当nmdxxxR )cos,(sin (4),2tan12tan2sin2xxx ,2tan12tan1cos22xxx ,arctan2 ,2tan uxxu 得得令令.122ududx 22221211cos12sinududxuuxuux万能代换万能代换.方法方法: .12)11,12()cos,(sin22222tanduuuuuuRdxxxRxu dxxxR cos)(sin (5)xusin 令令dxxxR sin)(cosxucos 令令dxxxRdxxR )cos,(s

13、in)(tan (6)22或或xutan 令令2.三角有理式的积分习例三角有理式的积分习例例例8 8例例9 9例例1010解解xdxxdxxxcoscossincossin6667 xdxxcoscos)cos1(632 xdxxxxcoscos)coscos3cos31(6642 xdxxxxcos)coscos3cos3cos(121086 .cos131cos113cos93cos71131197Cxxxx 例例8 8解解dxxxdxxx )sin1(sincossin2424dxxdxx 64sinsindxxdxx 32)22cos1()22cos1(dxxx )2cos2cos21(412dxxxx )2cos2co