数值计算方法chap1误差ppt课件

1、第一章第一章 误误 差差抽抽象象简简化化实际问题数学模型问题近似解数数值值计计算算数值方法求解数学问题的过程数值方法求解数学问题的过程1.1 1.1 误差的来源和分类误差的来源和分类模型误差：实际问题的解与数学模型的解之差模型误差：实际问题的解与数学模型的解之差.观测误差：由观测所产生的数学问题模型）观测误差：由观测所产生的数学问题模型） 中参量数据的误差中参量数据的误差.截断误差：数学问题的准确解与数值方法所求截断误差：数学问题的准确解与数值方法所求 得的近似解之差得的近似解之差. b)(a, )(12)()(2)()(311 fbfafabdxxfabIIRIIba舍入误差：计算过程中对数

2、字的舍取所产生舍入误差：计算过程中对数字的舍取所产生的误差的误差.（计算机可以表示的数是有限的）（计算机可以表示的数是有限的）1.2.11.2.1绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差的的一一个个近近似似值值为为准准确确值值设设xx*xxe *xxe *xxx * xx或或:绝绝对对误误差差:绝绝对对误误差差限限:可可以以表表示示为为.:绝绝对对误误差差限限不不唯唯一一注注1.21.2绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字例：例： 4 .2 5 .2 xx例：测得会议室的长为例：测得会议室的长为30m宽为宽为10m，长的误，长的误差不超过差不超过5cm, 宽的误差不超过宽的误差

3、不超过2cm, 如何表示？如何表示？02. 010)( 05. 030)( 宽宽长长xy哪一个精度高？哪一个精度高？1 .0e xx绝绝对对误误差差：相对误差：相对误差：*xexeer 相对误差限：相对误差限： rer 两种误差限的关系：两种误差限的关系：*xr rx * 002. 00016. 03005. 0)()(002. 01002. 0)()(* xyyxxxrr *2*2*1)()()(xexexexexxxxexexe 1.2.2 1.2.2 有效数字有效数字位位有有效效数数字字有有则则如如果果为为为为整整数数，其其中中表表示示成成规规范范形形式式：一一般般地地，将将nxxxaa

4、maaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121数字。数字。的所有数字均称为有效的所有数字均称为有效位小数位小数的第一位非零数字到第的第一位非零数字到第从从位小数，位小数，准确到第准确到第则称则称的绝对误差限为的绝对误差限为如果近似值如果近似值nxnxxn ,1021例如例如005800.0 1021005800.0 .1*6 xx表表示示近近似似值值准确到小数点后第准确到小数点后第6位，位，有有4位有效数字位有效数字.4*10.145204600461452 2 .x.具有具有7位有效数字，其误差限位有效数字，其误差限374*10211021 xx准确到哪一位准确到哪一位有有效效

5、数数字字绝绝对对误误差差限限 有效数字和绝对误差限的关系准确到哪一位）有效数字和绝对误差限的关系准确到哪一位）位位有有效效数数字字有有则则如如果果为为为为整整数数，其其中中表表示示成成规规范范形形式式：nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121;, 0;, 0;, 0,1021位位准准确确到到个个位位前前的的第第准准确确到到个个位位位位准准确确到到小小数数点点后后第第若若nxnxnnxnxxn 4*1021)(,2376490 xx 且且例例：.3*位位有有效效数数字字有有则则x的的相相对对误误差差限限满满足足若若反反之之相相对对误误差差限限为为其其则则位位有有效

6、效数数字字有有的的近近似似值值若若定定理理*11121*,1021,)0(10.01 .1xanaaaaxxnmn 1110) 1( 21 nra .*位位有有效效数数字字至至少少具具有有则则nx111*102110. 011021| nmnnmaaax mnmnraax 102110. 010)1(21|111 1.31.3数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播1.3.11.3.1基本运算中的误差传播基本运算中的误差传播的的近近似似值值，则则为为处处可可微微，在在点点设设iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,( )().,( ).,().,()(*n1i*2*1*2*1

7、21*iinnnxexxxxfxxxfxxxfye )(),.,( ).,()()(*n1i*1*2*1*irniinrxexxfxxxxxfyyeye 特别地，和、差、积、商的误差公式为：特别地，和、差、积、商的误差公式为： )()()()()()(22121211212121xexxxxexxxxxexexexxerrr )()()()()()(2121211221xexexxexexxexxxerrr )()()()()(1)(212122211221xexexxexexxxexxxerrr )()()()()()()()()(212121212121xxxxxxxxxxxxrrrrrr

8、 即和、差的绝对误差限不超过各数的绝即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和，积、商的相对误差极限对误差限之和，积、商的相对误差极限不超过各数的相对误差限之和不超过各数的相对误差限之和.1.3.2 1.3.2 算法的数值稳定性算法的数值稳定性算法：预先设计计算问题近似解的运算顺序算法：预先设计计算问题近似解的运算顺序稳定性：在按一个算法的计算过程中，数据误稳定性：在按一个算法的计算过程中，数据误差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是稳定的；否则称算法是数值不稳定的是稳定的；否则称算法是数值不稳定的.).,2,1 ,0(5:10 ndxxxInn

9、计计算算下下列列积积分分的的近近似似值值例例 10101111555ndxxdxxxxIInnnnn算法算法*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取)., 2 , 1( 51 1 nInInn按按公公式式依次计算依次计算,21II近似值近似值.nIInn151 n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726

10、138.3054093814-41.45561831*nI估计估计nI0122222. 0)751901(21*14 I11100011116165551()()nnnnxx dxIdxx dxnxn 算法算法 由于由于取取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn计算计算0122222. 0)751901(21*14 I例如例如n(算法算法)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243

11、249170.0212326080.0188369990.01692617100.01536914110.01406339120.01301636130.01184127140.01222222*nI0011. 0)901751(2114 01222222. 0)901751(21*14 I0*00 eII 设设01*11*) 5(555eeIIIIennnnnnn nnkkeeee)51 ( ,51 01 分析什么原因：分析什么原因：由算法由算法)., 2 , 1( 511 nInInn对算法对算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk 关于数值稳定性的算法关于数值稳定性的算法 一

12、个程序往往要进行大量的运算一个程序往往要进行大量的运算才能得出结果，每一步的运算都可能会产才能得出结果，每一步的运算都可能会产生舍入误差。生舍入误差。 在运算过程中，舍入误差能控在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法；否则，就称之为不稳定的算法。算法；否则，就称之为不稳定的算法。1.41.4数值计算中应注意的问题数值计算中应注意的问题1.4.1. 1.4.1. 避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减yxyexeyxer )()()(有有效效数数字字严严重重丢丢失失。差差很很大大很很接接近近时时，差差的的相相对对误误与与当当yx两

13、数之差两数之差x-yx-y的相对误差为的相对误差为一般地，一般地， 当 x 充分大时，应作变换：xxxx 111)1(1111 xxxx当当x接近零时，应作变换接近零时，应作变换xxxxxxcos1sinsincos1 ,2sin2cos12 例：例： 如用四位有效数字计算如用四位有效数字计算: : 结果只有一位有效数字结果只有一位有效数字; ; 如改为如改为: : 有四位有效数字。避免了两个相近数的相减。有四位有效数字。避免了两个相近数的相减。.170130 0384048.1701313 04130 04.11170130 0384013 041317013 例：用四位浮点数计算例：用四位

14、浮点数计算 解解: : 只有一位有效数字只有一位有效数字, ,有效数字大量损失有效数字大量损失, ,造成相对误差扩大。造成相对误差扩大。结果仍然有四位有效数字。这说明了结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的重要性。算法设计的重要性。 117 5 97 6 0225110.1318 100.1316 100.2 107597605611110.1734 10759760759 7600.5768 101.4.2.1.4.2.避免大数避免大数“吃小数吃小数. . 计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于阶，即把两数都写成绝

15、对值小于1 1而阶码相同的数。而阶码相同的数。 如如 ，必须改写成，必须改写成 如果计算机只能表示如果计算机只能表示8 8位小数，则算位小数，则算 出出 ，大数，大数“吃了小数。吃了小数。 这种情况有时允许，有时不允许。这种情况有时允许，有时不允许。 9101a10100.1 100.0000000001 10a100.1 10a 例如例如: : 被大数吃掉了。被大数吃掉了。 如按如按 , , 就没有被吃掉。就没有被吃掉。 这也是构造算法时要注意的问题。这也是构造算法时要注意的问题。1010,10, abca1010101010101010100abcb0acbbbb 例例:一元二次方程一元二

16、次方程x2(109+1)x+109=0其精确解为其精确解为 x1=109, x2=1。 如用求根公式如用求根公式: 和和8位的计算机求解位的计算机求解,有有 及及 ;那么那么 的值与精确解差别很大。若用的值与精确解差别很大。若用 因此因此,算法的选用很重要。算法的选用很重要。21,242bbacxa21891894104 101010 bac99101109999912( 10 )10( 10 )1010 ,022 xx2x292992422 1012( 10 ) 104 bbaccxabbac1.4.3.1.4.3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值避免除数绝对值远小于被除数的绝对值 , ,

17、 当当 时时, ,舍入误舍入误差会扩大。差会扩大。例例: : 的舍入误差均为的舍入误差均为 , ,而而 , ,那那么么的舍入误差为的舍入误差为: :很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。 2xyyxxyy xy , x y30.510 *710yx xy 7311214100.510151010 xxxx 1.4.4.1.4.4.简化计算，减少运算次数，提高效率简化计算，减少运算次数，提高效率例如例如 计算计算ln2的近似值，要求误差不超过的近似值，要求误差不超过510 算法算法: 由由 111112 1234()lnnn 绝对误差限绝对误

18、差限11 n 由由51011 n1105 n得得nxxxxxnn 132) 1(.32)1ln( 算法算法 129 ) 12(1.951931132311311ln2lnnn绝对误差限绝对误差限899) 12(13291119) 12(132 nnnn 由由510 5 n得得224111ln2 (1)13521nxxxxxxn又如计算又如计算n n次多项式的值次多项式的值0111.)(axaxaxaxpnnnnn 再再作作线线性性组组合合先先计计算算,.,.32nxxxa需需2n-1次乘法运算，次乘法运算，0121).)(.()(axaxaxaxaxpnnnn n次加法运算，次加法运算，2n+1个存储单元个存储单元需需n次乘法运算，次乘法运算，n次加法运算，次加法运算，n+2个存储单元个存储单元按按秦秦九九韶韶算算法法. b1.4.5.1.4.5.选用数值稳定性好的算法选用数值稳定性好的算法. .问题：什么叫数值稳定性好的算法？问题：什么叫数值稳定性好的算法？舍入误差能控制在某个范围内的算法称之舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法为数值稳定的算法, ,稳定性好指的是