2021年高三数学第一轮复习教案(新人教A)平面、空间两条直线

1、第九章 直线、平面、简单几何体网络体系总览下血的管.性质.亵示.型修空间睥 条宜樊Ui"i 筌平行公H空间长抵与干面T-安-T州阊相交卜“&i：i 内一堆线定算为曲性为配用 点到面的即制也交一判定性质j定期和定，性现定为西平面间距随斜支-二面角及平而用室阿向航既有工概忠空间向用产间向盘的运算及送算排!（空间向让的理区迄策考点目标定位1 .直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系2 .线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质，三垂线定理3 .两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角 4 .点到平面的距离，线面距离，平行平面的距离，异面直线的距离，两点间的球面距离5

2、.空间向量及其加法、减法，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积6 .直棱柱、平行六面体及正棱锥的性质，球的体积及表面积的计算复习方略指南1 .立体几何不外乎两大问题，一类是空间位置关系的论证，这类问题应熟练掌握公理、定 理、定义或用空间向量来论证，位置关系的论证要注意其间的转化.如线面平行可转化为线线平行等；另一类问题是空间量（空间角、距离、体积、侧面积）的计算，如线面角、二面角的求解2 .立体几何在高考中，选择题、填空题一般出中等难度的题，解答题中可能会有难题.3 .归纳总结，理线串点，从知识上可分为：（1）平面的基本性质；（2）两个特殊的位置关系，即线线、线面、面面的平行与垂直；（3）三个

3、角、三个距离.根据每部分内容选择典型的例题, 总结出解题方法，对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解，还要注意把空间向量贯彻、渗透其中，通过一题多解，使学生把所学知识真正学活、会用 .4 .抓主线攻重点，可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关.因此对于这部分内容复习中要强化，并要注意用空间向量去解空间位置关系及空间量.5 .复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法， 如割补思想、降维转化思想,即化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，

4、又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算，这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果 .9.1 平面、空间两条直线巩固夯实基础一、自主梳理1 . 平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线上所有的点都在这个平面内它常用于判定直线在平面内、点在平面内 .(2)公理2:如果两个平面有一个公共点 ,那么它们还有其他的公共点 ,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 .它的作用有五个：判定两个平面相交；证明点在直线上：证明三点共线；证明三线共 点;画两个平面的交线.(3)公理3:经过不在同一条直线上的

5、三点有且只有一个平面.推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3及三个推论的作用：确定平面；证明两平面重合；证明点、线共面；作截面、 辅助面 .2 .空间两条直线的位置关系(1) 相交直线有且仅有一个公共点.(2)平行直线在同一平面内,没有公共点.(3)异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点 .3 .异面直线定义 : 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 .4 .异面直线的判定方法方法一 :利用定理“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线”判定 .

6、方法二 :利用反证法,即假设这两条直线不是异面直线,推导出矛盾.5 .异面直线所成的角定义:直线a、b是异面直线，经过空间一点。分别引直线a' / a,b' / b,a'、b'所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a、 b 所成的角 .(2)两条异面直线所成的角的范围为(0° ,90° ).(3)异面直线所成角的求法A. 平移 ,解三角形(平移主要有三种方法,即直接平移、中位线平移、补形平移).8 .供9(B)选用空间向量.由于异面直线所成角的范围是(0° ,90°,如果平移后在三角形中求出的角是钝角,则取它的补角.9 .两条

7、异面直线的公垂线定义:把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线注:与两条异面直线都垂直的直线有无数条；与两条异面直线都垂直、相交的直线有一条.10 两条异面直线的距离定义:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.11 平行公理公理4:平行于同一直线的两直线平行.该公理揭示了平行线具有传递性.它的主要作用是沟通了 “线线平行”与“线面平行”之间的内在联系，提供了判断空间直线平行及点、线共面的方法 .12 等角定理及推论等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交

8、直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.13 .斜二测画法斜二测画法是借助平面表现空间的主要手法，其原则是：（1）平行性保持不变；（2）平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.二、点击双基1.若a、b是异面直线，则只需具备的条件是（）A.a 平面a ,b 平面a , a与b不平行B.a 平面a , b 平面3, a A 3 =l,a与b无公共点C.a/直线c, bA c=A,b与a不相交D.a,平面a , b是a的一条斜线答案：C2.下列说法正确的是（）A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交直线的直观图可能平行C.互相垂直的两

9、条直线的直观图仍然互相垂直D. 一个角一定是平面图形答案：DS-ABC中,D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值3 .（2004北京朝阳模拟）如图，正四面体 是（）, 3A.一3. 2B. 一3. 3C.6解析：取 AC的中点E,连结DE、BE,则DE / SA,/ BDE就是BD与SA所成的角.设SA=a,BD2 DE2 BE2 _ 32BD ?DE - 6贝U BD=BE= a,DE= a,cos/ BDE=22答案：C4 .如图，正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为a,那么(1)哪些棱所在直线与直线BA i成异面直线? (2)直线BAi与CCi所成角的大小为 ；(3)直线BAi

10、与BiC所成角的大小为异面直线 BC与AA i的距离为 ；(5)异面直线 BAi与CCi的距离为 .答案：(i)DiCi、DiD、CiC、CiBi、DC、AD(2)45 °(3)60 °(4)a (5)a5 .正六棱柱 ABCDEF AiBiCiDiEiFi的底面边长为 i,侧棱长为 J2 ,则这个棱柱的侧面对角线EiD与BCi所成的角是.解析：连结FEi、FD,则由正六棱柱相关性质可得FEi/ BCi,在 EFD 中,EF=ED=i, / FED=i20 ° , FD= EF2 ED2 2EF ?ED?cosi20 = 3.在 EFEi 和 EEiD 中，易得

11、EiF=EiD= J(J2)2 i = J3 ,， EiFD 是等边三角形，/FEiD=60 ° .而/FEiD即为EiD与BCi所成的角.答案：60 °诱思实例点拨【例i】 如图，四面体 ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上, 且有 DF : FC=2 ： 3, DH ： HA=2 : 3.求证：EF、GH、BD交于一点.证明：连结 GE、HF, E、G 分别为 BC、AB 的中点，GE/AC.又: DF : FC=2 : 3, DH HA=2 ： 3,HF/AC.，GE/ HF.故 G、E、F、H 四点共面.又: EF 与 GH 不能平行，E

12、F与GH相交，设交点为 O.贝UOC面 ABD , OC面 BCD,而平面 ABD n平面 BCD=BD.EF、GH、BD 交于一点. 讲评:证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例2】A是 BCD平面外白一点，E、F分别是BC、AD的中点，(1)求证:直线EF与BD是异面直线；(2)若AC，BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.证明：用反证法.设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与 BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是 BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与 BD是异面直线.(2)解:取CD

13、的中点G,连结EG、FG,则EG / BD,所以相交直线 EF与EG所成的锐角或直角即 为异面直线EF与BD所成白角.在RtAEGF中,求得/ FEG=45 °，即异面直线EF与BD所成的 角为45° .链接提示(1)证明两条直线是异面直线常用反证法；(2)求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90。；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作(找)一证一算”.注意，异面直线所成角的范围是(0,万.【例 3】 长方体 ABCD AiBiCiDi 中，已知 AB=a,BC=b,AA i=c，且 a>b,求:(1)下列异面直线之

14、间的距离 :AB与CCi；AB与AiCi;AB与BiC.(2)异面直线DiB与AC所成角的余弦值.(i)解:BC为异面直线 AB与CCi的公垂线段，故AB与CCi的距离为b.%GAA i为异面直线 AB与AiCi的公垂线段，故AB与AiCi的距离为c.过B作BE，BiC,垂足BB？BC bc为E,则BE为异面直线 AB与BiC的公垂线,BE= -i=，即AB与BiC的距离BiC,b2 c2bc2/ a bc2.4b2 c2 AF=(2)解法一：连结BD交AC于点。，取DDi的中点F,连结OF、AF,则OF / DiB,/ AOF就是异 面直线DiB与AC所成白角.2,2,a b i. AO= ,OF=- BDi =，在 AOF 中,cos/AOF=AO2 OF2 AF2 _a2 b22AO?OF= (a2 b2)(a2 b2 c2)解法二：如下图，在原长方体的