2021年高三数学第一轮复习教案(新人教A)极限1

1、14.2数列的极限巩固夯实基础一、自主梳理1 .数列极限的定义一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于0),那么就说数列an以a为极限.注:a不一定是 an中的项.2 .几个常用的极限(1)lim C=C(C 为常数)；(2)lim -=0； (3) lim qn=0(|q|<1).nn nn3 .数列极限的四则运算法则设数列 an、bn,当 lim an=a, lim bn=b nn时,lim (an±bn)=a±b； lim (an - bn)=a - b； nnlim an- = a (b* 0).n

2、 bn b链接提示(1)an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则; (2)可推广到有限多个.、点击双基1.下列极限正确的个数是() lim =0( a >0) lim qn=0 n nn个 23一 nim 2v=-1 nim c=c(c 为常数)D.都不正确C N*)为等差数列，且 a1=3,a3=5,则A.2B.3C.4解析:正确.答案:B2.(2005 湖南高考)已知数列log 2(an-1)(nlim (+ +)等于一 ()na2a1a3a2an 1anA.2B. -C.1D.122解析:令 bn=log2(an-1),贝Ubn成等差数歹U ,b1=log22=1,b2=log2

3、4=2，可知数歹U bn=n=log 2(an-1),-111 oan=2n+1,贝U an+1-an=2n1+1-(2n+1)=2n,即求 lim (一 + f + + - )=-2 =1.n 2 22. 11 -2答案:C3.下列四个命题中正确的是()A.若 lim An2=A2,则 lim an=AB.若 An>0, lim An=A ,则 A>0 nC.若 limnAn=A ,则 lim An2=A2D.若 limn(An-bn)=0,则 lim An= lim bn解析:排除法，取an=(-1)n,1排除A;取an=-，排除B；取An=bn=N,排除nD.答案:C4.20

4、05上海高考计算：limn3n 1 2nTn _n 132解析：limn3n 13n2n2n 1=limn3 (|)n o 7 =3. 1 (-)n?-32答案：35.(2006上海春季高考)limn3n 24n2解析：lim 3n-2n 4n 3=limn3 答案：34链接提示求数列极限时，如是不定型(O, ,°°-OO等)，应先变形，再求极限. 0诱思实例点拨【例1】(2004湖南高考，理)，16数歹 U an中，a 二 一 ,an+an+1= -755n 1,n C N*,则 limn(ai+a2+-+an)等于()2A.一52B.一7C.144 D.- 25解析：:

5、 an+an+1= 一56，a1+a2=-2,a3+a4=-4-,a5+a6= ,525456lim (ai+a2+a3+a4+a5+a6+ +an) n=lim (a+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+=lim (=nn 5+ + + -)=551 -1452答案:C讲评:本题考查数列与极限.解本题重在数列求和，关键在于转化为无穷递缩等比数列【例2】求下列极限：limn2n2 n5n2 7;(2) lim ( . n2、n -n)；(3) limn2n+ 2)-n剖析:(1)因为分子、分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子、分母同除以n2后再求极限；(2)因v&#

6、39;n2 n与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限22 1工n -n)= lim n解:nim 25nV=nim LVI.(2) lim ( . n2 n=limn2nn(n 1)1=lim 2- = lim (1+ )=1.n n n n讲评：当n-8时，(1)如果出现型,常上、下同除以n的多项式；(2)若出现0型，常需约去“ 0”0因子；(3)若出现8 -8型，需化简或有理化 链接提示lim (2n2 n 7)对于(1)要避免下面两种错误 ：原式 =2= =1,lim (5n2 7).对于(2)要避免出现下面两种错误n: li

7、m (2n2+n+7), lim (5n2+7)不存在，原式无极限 nn lim (，n2 n -n)= lim n2 nnn - limnn= 00-00=0 原式=lim n2nn - lim n=00-oo不存在. n对于(3)要避免出现原式=lim n-4 + lim n2 n+ + lim 空=0+0+0=0n n2这样的错误.【例3】(2005广东高考)已知数列xn满足X2=,Xn= (Xn-1+Xn-2),n=3,4, .若 lim Xn=2,贝U X122n等于()B.3C.4D.5剖析：由Xn= 1 (Xn-l+Xn-2)可找出相邻两项之间的递推关系，再进一步求Xn,利用li

8、m Xn=2可求XI.2解析:Xn= (Xn-l+Xn-2)，两边减去 Xn-1 得 Xn-X n-1=-(Xn-1 -Xn-2),22-Xn-Xn 1 =-1，即x n-Xn-i是以 X2-X1为首项，公比为-) 的等比数列 Xn iXn 222Xn-Xn-1=(- x1)(-1)n-2.22XiX2-X1=-,X3-X2= (-),22- X4-X3= ( - )2,22Xn-Xn-i=(-)(-)n-2.22Xi相加倚Xn-Xi=-2iniini1 () Xi() i2.2T=2(*)Xilim Xn=2,(*)式两边取极限，得 2-Xi=- 一 , n3. Xi=3.答案:B讲评:本题

9、重在考查数列的通项、求和、迭加法求通项、极限的运算法则等知识，综合性较强【例4】若数列an的首项为ai=i,且对任意nC N*,an与an+i恰为方程x2-bnx+cn=0的两根淇中0<|c|<i,当lim (bi+b2+- - +bn)< 3,求c的取值范围 n解:首先，由题意对任意 n 6 N*,an an+i=cn恒成立.an i ? an 2a n ? an in i an 2 c F an c=c.又 ai - a2=a2=c,.ai,a3,a5,a2n-i,是首项为i,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,a2n,是首项为c,公比为c的等比数列.其次，由于对任意n N*,an+an+i =bn恒成立，bn 2 an 2 an 3=c.又 bi=ai+a2=i+c,b 2=a2+a3=2c, bnanan i，bi,b3,b5,b2n-i,是首项为i+c,公比为c的等比数列，b2,b4,b6,b2n,是首项为 2c,公比 +21w3.1 c 1 c为c的等比数列lim (bi+b2+b3+bn尸 lim (bi+b3+b5+ )+lim (b2+b4+尸解得c< 1或c>1.3,