2.1-高斯公式与斯托克斯公式ppt课件

1、8-6 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式 格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，高斯公式表达了空间区曲线积分之间的关系。而在空间上，高斯公式表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。定理定理1 (高斯公式高斯公式),S设空间区域 的边界是分片光滑的封闭曲面, , , ,P x y zQ x y zR x y zS函数在上有一阶连续偏导数则有则有,)(dVzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzS.SS其中为边界曲面 的外側1.

2、高斯公式divF记做记做,)(dVzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzS，则高斯公式可写成，则高斯公式可写成S.F ndSdivFdV上式在物理上称为向量通过曲面的通量上式在物理上称为向量通过曲面的通量, ,F x y z即：通过闭曲面的通量，等于其散度在所即：通过闭曲面的通量，等于其散度在所包围的区域上的三重积分包围的区域上的三重积分F, , , ,FP x y zQ x y zR x y z记记PQRxyz的散度，的散度， 定义为向量函数场）定义为向量函数场） Fxyzo 1S2S3SxyD证证,)(dVzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzS.先假定区域 为一拄体11:,S z

3、f x y22:,Szfx y, x yD21,fx yf x yDRRdVddzzz21, , ,.DR x y fx yR x y f x yd12, , ,0.DDR x y fx y dxdyR x y fx y dxdy 21, , ,.DDR x y fx y dxdyR x y fx y dxdy321SSSSRdxdyRdxdyRdxdyRdxdy又.dVzRRdxdyS对于一般的区域对于一般的区域 则可引进辅助面将其分割成则可引进辅助面将其分割成若干个若干个 与上类似的小区域与上类似的小区域, 则在每个小区域上式成立则在每个小区域上式成立.故上式仍成立故上式仍成立 .然后相加

4、然后相加,因为在辅助面正反两侧面积分正负抵消因为在辅助面正反两侧面积分正负抵消, 类似可证类似可证 三式相加三式相加, 即得所证即得所证 Gauss 公式：公式：,)(dVzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzS.dVzRRdxdyS;dVxPSPdydzSQdzdx.dVyQGaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos()(SdSRQPdvzRyQxP由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知,)(dVzRyQxPRdxdyQdzdxP

5、dydzS使用使用GuassGuass公式时应注意验证条件公式时应注意验证条件: :., . 3上具有一阶连续偏导数在SRQP 1.1. 是取闭曲面是取闭曲面 的外侧；的外侧；SS .是封闭曲面；是封闭曲面；2S例例1 求求SdxdyzzdzdxydydzxI,)(444 其中 是球面 的外侧.S2222Rzyx解解记球面 所 包围的球体为 ，由2222Rzyx高斯公式，有.) 1444(333dVzyxI由于球体关于 平面对称，且 是 的奇函数，因而Ozy24xx. 043dVx同理有dVy34. 043dVz于是.3414RdVI 例例 2 求曲面积分求曲面积分Sdxdyyxdzdxxzd

6、ydzzyI)()()(2其中 是锥面 中的部分 的外侧.10222zzyx在SxoSyz1S解解 取平面, 10 , 1:221yxzS 那么 组成封闭曲面.记 围成 的区域为 ，1SS 1SS 于是有)(21)()()(SSdxdyyxdzdxxzdydzzy. 0)000(dV. 11)(SSSS因为所以Sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(21)()()(2Sdxdyyxdzdxxzdydzzy1)(002Sdxdyyx,)(10 :222yxDdxdyyx由对称性知. 0Dxdxdy又Ddxdyy2201023sindrrd.4.4I最后得x)dxdy(zz)dzdxy(

7、y)dydz(xI 计算补例.) 10(22的下侧为曲面其中zyxz的上侧圆盘令解 . 1 , 1: 221zyx.构成一封闭曲面与 11I 1113dxdydz0 xzy11110202233 rrdzdrddxdydz而 1)1 (xyDdxdyx.223I 定理斯托克斯公式）定理斯托克斯公式）设为分片光滑的双侧曲面，其边界是一条或几条分段光滑设为分片光滑的双侧曲面，其边界是一条或几条分段光滑的闭曲线的闭曲线SL假定在上取定一侧的单位法向量为假定在上取定一侧的单位法向量为 ,再规定再规定nS的定向，使得的定向与的指向构成右手系，LLn记记 及分别为给定的上述定向后的及，及分别为给定的上述定

8、向后的及，SLSL, , , ,P x y zQ x y zR x y zSL若及是上的有一阶连续偏导数的函数 则有斯托克斯公式斯托克斯公式dzRQdyPdxL.SRQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxy 2. 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式建立了沿曲面斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与的曲面积分与沿沿 S的边界曲线的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系的曲线积分之间的联系.nLS注意注意: 则斯托克斯公式就是格林公式则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例故格林公式是斯托克斯公式的特例.假如假如 S 是是 xoy 坐标平面上的一块平面区域坐标平面上的一块

9、平面区域, LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 为便于记忆为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示或用第一类曲面积分表示:ddd dd dSyzzxxyxyzPQRLzRyQxPdddLzRyQxPdddSRQPzyxSdcoscoscosijkxyzPQR若记若记,FP Q R并定义并定义,RQPRQProtFyzzxxyrotF称作向量场称作向量场 的旋度的旋度.FnLSyxDC证证情形情形1 S 与平行与平行 z 轴的直线只交于一点轴的直线只交于一点, 设其方程为设其方程为yxDyxyxfzS),(, ),(:为确定起见为确定起见, 不妨设不妨设S

10、 取上侧取上侧 (如图如图). (利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPySdcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfLxPdCxyxzyxPd),(,(那那么么因而同理可证三式相加, 即得斯托克斯公式 ;LyQdLxRdSzPyPxPLdcoscoscosdSzyzQyxxQddddSSyPzPdcoscosSyxyPxzzPddddSxzxRzyyRddddS情形情形2 曲面曲面S 与平行与平行 z 轴的直线交点多于一个轴的直线交点多于一个, 则可则可通过作辅助线面把通过作辅助线面把 S 分成与分成与z

11、 轴只交于一点的几部分轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加然后相加, 由于沿辅助由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕证毕内容小结内容小结1. 高斯公式高斯公式 VzyxzRyQxPddd SyxRxzQzyPdddddd2. 斯托克斯公式斯托克斯公式LzRyQxPdddddd dd dSyzzxxyxyzPQRSRQPzyxSdcoscoscos例例 4 求求LdzyxdyzxdxzyI,)()()(222222其中

12、为球面 与柱面Rxzyx2222rxyx222L)0,0(zRr的交线，且 与球面的上侧成右手系.L解解 记 所围的球面部分为 ，并取 的上侧为 LSS.S 的方程为S222),(yxRxyxfz.2| ),(22rxyxyxDSyxzxzyzyxdxdydzdxdydxI222222Sdydzzy)(2.)()(dxdyyxdzdxxz,zyfzxRfyx注意代入第五节中公式8.10得DyxRxRxyxRxyI22222)2(222222)2(yxRxyxyxRx,)(dxdyyx由于 关于 轴对称，Dx其中区域.2| ),(22rxyxyxD为关于 的奇函数的部分为 .于是y0DdxdyxxRI)(2DRdxdy2.22rR例例 5 求求LdzyxdyxzdxzyI,)()()(其中 为椭圆周： ，从 轴正向看去， 为逆时针方向.)0, 0( 1,222babyaxayxLxL)1, 0 ,1(11122baban)1, 0 ,1(122baba 解解 记记 所围的椭圆为所围的椭圆为 ，取，取 的上侧，即的上侧，即 的法的法方向与方向与 轴成锐角，这时轴成锐角，这时 的正向与的正向与 指定一侧的法向指定一侧的法向量成右手系量成右手系.又因又因 是平面，其上各点的法向量都相等，