S1-非线性系统简介

1、非线性系统理论非线性系统理论参考书：参考书：非线性系统理论及应用 曹建福编著 2001 非线性系统理论 方勇纯 编著 2005 非线性系统理论 康惠骏 编著 2010 教材：教材：非线性系统（第三版）Hassan K.Khalil 著 2011北京科技大学机械工程学院北京科技大学机械工程学院授课教师：授课教师：郜志英机械工程研究生学科前沿课程机械工程研究生学科前沿课程课程考核：课程考核：平时作业（40分）+考试成绩（60分）“认识非线性认识非线性”Xt+1= f (Xt)X : 系统状态t : 离散时间f : 函数关系式线性系统线性系统非线性系统非线性系统“认识非线性认识非线性”稳态(stea

2、dy-state)行为周期(periodic)行为“认识非线性认识非线性”衰减(decay)行为成长(growth)行为“认识非线性认识非线性”稳态(steady-state)行为“认识非线性认识非线性”稳态(steady-state)行为“认识非线性认识非线性”周期(periodic)行为Two points attractorFour points attractor“认识非线性认识非线性”非周期(non-periodic)行为混沌（chaos）“认识非线性认识非线性”分岔（bifurcation）“认识非线性认识非线性”初值敏感性差之毫厘，谬以千里差之毫厘，谬以千里n 假定某种昆虫，在不

3、存在世代交叠的情况下（即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成虫），很显然，若产卵数大于1，虫口就会迅速增加，“虫满为患”。n 事实上，在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这样又会使虫口减少。综合考虑正增长和负增长两种因素的作用)1 (1nnnxxx“认识非线性认识非线性”蝴蝶扇动翅膀的时候谁知道蝴蝶扇动翅膀的时候谁知道会发生什么？会发生什么？ Lorenz：美国数学家与气象学家“认识非线性认识非线性”- 蝴蝶效应蝴蝶效应电影：蝴蝶效应 THE BUTTERFLY EFFECTChange one thing, c

4、hange everything。“时光日记本”“认识非线性认识非线性”- 蝴蝶效应蝴蝶效应20世纪物理学三大理论：u相对论：否定了时间和空间的绝对性；（高速运动）u量子论：否定了粒子与波的绝对性；（微观运动）u混沌论：否定了可预见的绝对性；（非线性运动）决定论决定论随机论混沌论“随时间而发生某种变化，其变化并非随机而貌似随机”Lorenz The Essence of Chaos “认识非线性认识非线性”- 混沌论混沌论“认识非线性认识非线性”-工程振动工程振动非线性非线性学科学科物理物理控制控制力学力学数学数学新理论新原理新模型新方法新问题新应用机械系统 工程非线性振动问题“认识非线性认识

5、非线性”-工程振动工程振动 材料非线性材料非线性：当弹性元件的材料应力超过比例极限，应力-应变关系不再是线性关系，弹性元件的恢复力与变形不再是线性关系，弹性力是位移的非线性函数。xF硬弹簧软弹簧线性弹簧3( )F xkxx“认识非线性认识非线性”-工程振动工程振动 车辆悬架的主弹簧和副弹簧 振动机械的分组弹簧0 xxF0 xF1001020010200()( )()()()()k xxxxF xk xkxxxxk xkxxxx 分段线性分段线性：弹性力是位移的分段线性函数。“认识非线性认识非线性”-工程振动工程振动 分段线性分段线性：弹性力是位移的分段线性函数。 连接弹簧存在间隙 弹簧有预紧力

6、 0000000()( )()()()()xxxF xk xxxxk xxxx 0 xxF0 xxF0F0000()( )()FkxxxF xFkxxx“认识非线性认识非线性”-工程振动工程振动 几何非线性几何非线性：材料本身仍属于弹性范围，由于几何原因导致位移较大，在建立运动微分方程时必须考虑这种位移，使得恢复力与位移的关系成为非线性函数。 张紧的弦 单摆 TxFT0 xmxF3002()xTxFxEATll通常弹性材料：硬特性非线性超弹性材料：软特性非线性lmsin0gl316xgFl单摆：软特性非线性 Section 1 Section 1 非线性系统简介非线性系统简介 返回首页无阻尼自

7、由动微分方程无阻尼自由动微分方程 2n0 xx00nnncossinxxxttnsin()xAt2200nn00()arctan()xAxxx初相位角 振 幅 返回首页有阻尼自由振动微分方程有阻尼自由振动微分方程 2nn20 xxx012345678910-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2ndesin()txAt有阻尼受迫振动微分方程有阻尼受迫振动微分方程 22nnn2sinxxxAt2( )sinx tXt22211222arctan105101520253035404550-1-0.500.511.5 返回首页线性有阻尼受迫振动：共振特性线性有阻尼受迫振动：共振特性

8、 0123012345( ) 01 . 025. 0375. 05 . 0122211(2)XA由由“线性线性”到到“非线性非线性” 返回首页 Section 1 Section 1 非线性系统简介非线性系统简介目 录fspmyFFFfFcy 22sp(1)Fka yy0cosFFt230cosmycykyka yFt具有周期激励的非线性系统：具有周期激励的非线性系统：达芬（达芬（DuffingDuffing）方程）方程 mxcxkxf t非线性振动模型：非线性振动模型：( , , )( , , )( , , ), , ,mckfx x xfx x xfx x xfx x x t 惯性力阻尼力

9、弹性力激励力( , )( , )( )ckmxfx xfx xf t对于多数机械系统将二阶常微分方程降阶为一阶常微分方程：将二阶常微分方程降阶为一阶常微分方程：1221212( )( ,)( ,) /ckxxxf tfx xfx xm( , )( , )( )ckmxfx xfx xf t任意的高维非线性振动系统可表示为：任意的高维非线性振动系统可表示为：1112211( ,)( ,)( ,)nnnnnxf t xxxf t xxxf t xx( , )txfx状态方程状态方程状态方程状态方程：( , )txfx自治系统（时不变系统）自治系统（时不变系统）( )xf x特例情况特例情况非自治系

10、统（时变系统）非自治系统（时变系统）( )0f xxx平衡点平衡点： 返回首页 Section 1 Section 1 非线性系统简介非线性系统简介目 录小车小车单摆单摆F 小车倒立摆系统小车倒立摆系统 小车倒立摆系统小车倒立摆系统单摆重心在水平和竖直方向上的牛顿定律：单摆重心在水平和竖直方向上的牛顿定律：22dsindmyLHt22dcosdmLVmgt取对重心的力矩可得到转矩方程：取对重心的力矩可得到转矩方程：sincosIVLHL小车在水平方向上的牛顿定律：小车在水平方向上的牛顿定律：MyFHky 小车倒立摆系统小车倒立摆系统22sincos(cossin )ImgLmLmLyMyFm

11、yLLky22cossin1cossin( )mMmLmgLmLImLFmLkyy 2222( )()()cosImLmMm L 带旋转制动的平移振荡器带旋转制动的平移振荡器22dsindcxmxLFt22dcosdymLFmgtsincosyxIuF LF LcxccMxFkxcx 简化的动力学方程？简化的动力学方程？状态方程？状态方程？ Section 1 Section 1 非线性系统简介非线性系统简介习 题一个与无限长总线连接的同步发电机：123sincosqqqFDMPDEEEE (a) 用角位移、角速度和电压作为状态变量，写出状态方程；(b) 设1230.815,1.22,2.0,2.7,1.76.6,0.