一轮复习 圆的方程

1、圆的方程圆的方程考纲点击考纲点击1.1.掌握确定圆的几何要素掌握确定圆的几何要素. .2.2.掌握圆的标准方程与一般方程掌握圆的标准方程与一般方程. .热点提示热点提示1.1.能利用待定系数法求圆的标准方程能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程和一般方程. .2.2.直线和圆的位置关系是考查的热点直线和圆的位置关系是考查的热点. .3.3.本部分在高考试题中多以选择、填本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现，属中低档题目空的形式出现，属中低档题目. .1圆的定义(1)在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫做圆(2)确定一个圆的要素是和2圆的方程圆心圆心半径半径圆的标准方程圆的标准方程圆的

2、一般方程圆的一般方程方程方程 圆心坐标圆心坐标 半径半径 (a，b)(xa)2(yb)2r2(r0)x2y2DxEyF0r定点定点定长定长3点与圆的位置关系已知圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)则：(1)点在圆上：；(2)点在圆外： ；(3)点在圆内： .(x(x0 0a)a)2 2(y(y0 0b)b)2 2r r2 2(x(x0 0a)a)2 2(y(y0 0b)b)2 2r r2 2(x(x0 0a)a)2 2(y(y0 0b)b)2 2r r2 24确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)；(2)；(3)根据题意，选择标准方程或一

3、般方程根据题意，选择标准方程或一般方程根据条件列出关于根据条件列出关于a a，b b，r r或或D D、E E、F F的方程组的方程组解出解出a a、b b、r r或或D D、E E、F F代入标准方程或一般方程代入标准方程或一般方程【答案答案】D2过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24【解析解析】方法一：设圆的方程为(xa)2(y2a)2r2，解得a1，r24.故圆的方程为(x1)2(y1)24.方法二：AB中垂线方程为yx， 即圆心为(1,1)， 圆的方程为(x1

4、)2(y1)24.【答案答案】C3当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0【解析解析】直线方程变为(x1)axy10，所求圆的方程为(x1)2(y2)25.即：x2y22x4y0.【答案答案】C4已知点(0,0)在圆：x2y2axay2a2a10外，则a的取值范围是_【解析解析】点(0,0)在圆x2y2axay2a2a10外，0202a0a02a2a10，即2a2a10，解得a 或a1.又a2a24(2a2a1)0.5过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的切线，

5、切点为A、B，则APB的外接圆方程为_【解析解析】连接OA、OB，由平面几何知识可知O、A、P、B四点共圆，故三角形APB的外接圆即为以OP为直径的圆，即圆心为(2,1)，半径 故圆的方程为(x2)2(y1)25.【答案答案】(x2)2(y1)25求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程【思路点拨思路点拨】由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐【自主探究自主探究】方法一：设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为 即2r2(ab)214由于所求的圆与x轴相切，r2b2又因为所求圆心在直线3xy0上，3

6、ab0联立，解得a1，b3，r29或a1，b3，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.即(DE)2562(D2E24F)又圆心 ，在直线3xy0上，3DE0联立，解得D2，E6，F1或D2，E6，F1.故所求圆的方程是x2y22x6y10或x2y22x6y10.【方法点评方法点评】1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r.2如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采

7、用待定系数法设所求圆的方程为：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值3以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.1根据下列条件，求圆的方程：(1)和圆O：x2y24相外切于点P(1， )，且半径为4；(2)圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程；(3)求经过两已知圆C1：x2y24x2y0和C2：x2y22y40的交点，且圆心在直线l：2x4y1上的圆的方程(2)如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB=120.

8、而圆心到直线3x+4y+15=0的距离 在AOB中，可求得OA=6，所以所求圆的方程为x2+y2=36.(3)由题意可设圆的方程为(x2+y2-4x+2y)+(x2+y2-2y-4)=0，即(1+)x2+(1+)y2-4x+(2-2)y-4=0，圆心坐标为 代入l：2x+4y=1，得=3.所以所求圆的方程为：x2+y2-3x+y-1=0.已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求 的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值【方法点评方法点评】1.求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化如(1)形如m 的最值问题，可转化为

9、动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题2特别要记住下面两个代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)连线的直线斜率， 表示点(x，y)与原点的距离2本例中的条件不变(1)求 的最大值和最小值(2)求x2y的最大值和最小值(3)求P(x，y)点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹【思路点拨思路点拨】先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P

10、点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求【方法点评方法点评】1.求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标，就无需建系)，否则曲线就不可转化为方程2一般地，设点时，将动点坐标设为(x，y)，其他与此相关的点设为(x0，y0)等3求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形3已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程【解析解析】(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)P点在圆x2y24上

11、，(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.1(2009年辽宁高考)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22【解析解析】由圆心在直线xy0上不妨设为C(a，a)【答案答案】B2(2009年宁夏、海南高考

12、)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21【解析解析】圆C1：(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线xy10对称， 解得 圆C2的半径为1，圆C2的方程为(x2)2(y2)21.【答案】B3(2009年重庆高考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21【解析解析】由题意知圆心为(0,2)，则答案选A.【答案答案】A4(2009年上海高考)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21【解析解析】设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x02y024，连线中点坐标为(x，y)， 代入x02y024中得(x2)2(y1)21.故选A.【答案答案】A1求圆的方程问题求一个圆的方程需要三个独立条件，待定系数法是求圆的方程的基本方法，应熟练掌握，若由已知条件易求圆心坐标、半径或需要由圆心坐标列方