信号与系统简明教程教案第3章

1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-1 1 1页页页电子教案第三章第三章 线性时不变系统的时域分析线性时不变系统的时域分析3.5 3.5 常系数线性微分方程的经典解法常系数线性微分方程的经典解法 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值3.3 3.3 连续线性时不变系统的零输入响应与零状态响应连续线性时不变系统的零输入响应与零状态响应 一、零输入响应一、零输入响应 二、零状态响应二、零状态响应3.4 3.4 连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应

2、 二、阶跃响应二、阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-2 2 2页页页电子教案 LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线建立并求解线性微分方程性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故，故称为称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。是学习各种变换域分析法的基础。 第第3 3章章 线性时不变系统的时域分析线性时不变系统的时域分析3.5 3.5 常系数线性微分方程的经典解法常系数线性微分

3、方程的经典解法3.5 3.5 常系数线性微分方程的经典解法常系数线性微分方程的经典解法一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-3 3 3页页页电子教案微分方程的经典解：微分方程的经典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解） 齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程 y(n)+

4、an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。yh(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根确定。确定。特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。 齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励激励f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响自由响应应；特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。3.5 3.5 常系数线性微分方程的经典解法常系数线性微分方程的经典解法信号与系统信号与系统西安

5、电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-4 4 4页页页电子教案常见特征根所对应的齐次解yh(t)特征根齐次解yh(t)单实根tteCeC21212重实根teCtC01信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-5 5 5页页页电子教案不同激励所对应的特解yp(t)激励f(t)特解yp(t)A或A(t)Pt(t)01PP t所有特征根均不等于0所有特征根均不等于0tet01tePtPPe不等于特征根等于特征单根信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-6 6 6页页页电子教案例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y

6、”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 解解: (1) 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齐。齐次解为次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 当当f(t) = 2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t) = Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2

7、e t 解得解得 P=1于是特解为于是特解为 yp(t) = e t信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-7 7 7页页页电子教案全解为：全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 3.5 3.5 常系数线性微分方程的经典解法常系数线性微分

8、方程的经典解法信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-8 8 8页页页电子教案（2）齐次解同上。）齐次解同上。 当激励当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。由表时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。全解为不能求得。全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t3.5 3.5 常系数线性微分方程的经典解法常系

9、数线性微分方程的经典解法信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-9 9 9页页页电子教案将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 上式第一项的系数上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而，因而也不能区分自由响应和强迫响应。也不能区分自由响应和强迫响应。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统

10、教研中心第第第2-2-2-101010页页页电子教案二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Ci时用时用t = 0+时刻的时刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。信息。 在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了反映了系统系统的历史情况的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状态初始状态或或起始值

11、起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。下列举例说明。 3.5 3.5 常系数线性微分方程的经典解法常系数线性微分方程的经典解法信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-111111页页页电子教案例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0

12、，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将输入将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 利用利用系数匹配法系数匹配法分析：上式对于分析：上式对于t=0-也成立，在也成立，在0-t 0 3.3 3.3 连续线性时不变系统的零输入响应与零状态响应连续线性时不变系统的零输入响应与零状态响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-151515页页页电子教案（2）零状态响应零状态响应yzs(t) 满足满足 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(

13、t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故，故yzs”(t)含有含有(t)，从而，从而yzs(t)跃变，跃变，即即yzs(0+)yzs(0-)，而，而yzs(t)在在t = 0连续，即连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分，积分 得得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2 0000d)(62d)(ttttyzs因此，因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2 对对t0时，有时，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) =

14、6 不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3， 于是有于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 3.3 3.3 连续线性时不变系统的零输入响应与零状态响应连续线性时不变系统的零输入响应与零状态响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-161616页页页电子教案信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-171717页页页电子教案一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲

15、激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 3.4 3.4 连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应3.4 3.4 连续线性时不变系统的

16、连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-181818页页页电子教案 因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。，故利用系数平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考虑考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对对t0

17、时，有时，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 3.4 3.4 连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-191919页页页电子教案 例例2 描述某系统的微分方程为描述某

18、系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t) 故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 为不含为不含(t) 的某函数的某函数 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+

19、p3(t) 代入式代入式(1)，有，有3.4 3.4 连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-202020页页页电子教案a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系数匹配，得系数匹配，得 a

20、 =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) = 3 对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) =12 故故 h(0+) = 3， h(0+) =123.4 3.4 连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应连续线性时不变系统的冲激响应与阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-212121页页页电子教案微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式结合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有 h”(t) + 6h(t)