热力学统计物理课后习题答案

1、第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数?，压强系数?和等温压缩系数?T。解：已知理想气体的物态方程为pV=nRT由此得到体胀系数«压强系数01竺=(1)Vdp丿等温压缩系数KT/nRT、1()=p2p1.2证明任何一种具有两个独立参量T，P的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得lnV=i(adTkTdp)，如果a=T5kt=P，试求物态方程。解:体胀系数等温压缩系数1(dVV方丿p_丄(dV、VQp丿T以T,P为自变量,物质的物态方程为dV、dp丿pT这是以T,P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得其全微分为dVdVSTdT+d

2、p=VadT-VkdpT根据题设，若a=丄,k=TTp则有InV=In-+C，PV=CTp要确定常数C,需要进一步的实验数据。1.4描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0,实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为1(dL、a=LdT，等温杨氏模量定义为Y二土L(dFAdL丿T,其中A是金属丝的截面。欢迎共阅V一般来说，？和Y是T的函数，对£仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为A£=-YAa(T-T)。21解：f(&

3、#163;,L,T)=0，£=F£(L,T)dL丿dL所以A£二-YAa(T-T)21TLdT(dL=0)1.61mol理想气体，在27oC的恒温下发生膨胀，其压强由20P准静态地降到1Pn，求气体所做的功和所吸收的热量。解：将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。根据W=-¥pdV,VA在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB,外界对气体所做的功为气体所做的功是上式的负值，P?W=RTInf=8.31?300?ln20J=7.47?10?3JPA在等温过程中理想气体的内能不变，卩?u=o根据热力学第一定律?U=W+Q,气体在过程中吸收的热量Q为Q=?W=

4、7.47?10?3J1.7在25oC下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为V=18O66?0715?1O?3P+O046?10?6P2cm3?mol?i如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn，求外界所作的功。解：将题中给出的体积与压强的关系记为V=A+BP+CP2由此得到dV=(B+2CP)dP保持温度不变，将1mol的水从1Pn加压至1000Pn，在这个准静态过程中，外界所作的功为PB12W=JpdV=JP(B+2CP)dp=(-BP2+CP3)iooo=33.1J?mol?123VAPA1.11满足PVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明,理

5、想气体在多方过程中的热容量为Cn=匕工Cn-1V解：C=limnATt0(AU+PAV、(dU+PdV、AT丿dT丿二c+(PdVVdT丿n理想气体多方过程PV=RTPVn=CPdV+VdP=RdTRnPdV=dT所以C-C-nVn-1另一方面，理想气体C-CpVCpyCV所以得n-yCn-丫C，证毕n-1V1.12试证明，理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常量，该过程一定是多方过程。多方指数nCnCP。假设气体的定压热容量和定容热容量是常Cn-Cv量。解：根据热力学第一定律，dU=dQ+dW(1)对于准静态过程有dW=?pdV对于理想气体有dU=CvdT气体在过程中吸收的热量为dQ=Cn

6、dT则热力学第一定律(1)可表达为(Cn?Cv)dT=pdV用理想气体的物态方程？RT=pV去除上式，以及代入Cp?Cn=?R得到(Cn-Cv)dT=(Cp-Cv)dV理想气体的物态方程的全微分为竺+空=dTPVT(2)(3)以上两式联立消去牛,得(Cn-Cv)dP-(Cn-Cp)空=0(4)PV令n=Cn二CP,Cn-CvdP+nP空=0V若Cp,Cv,Cn都是常量，将上式积分得PVn=C上式表明，过程是多方过程。1.16假设理想气体的定压热容量和定容热容量之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系式中要用到一个函数F(T)，其表达式上式(4)表示为解：dV二Tds-Pd

7、V对准静绝热过程，得到dV=CdTVdS=O,CdT=(dV)二-PdVs'C-C二R另一方面，理想气体pV<CP丫C欢迎共阅且PV=RT于是，C-R，P=RTVy1V即得到RdT=-RTdVy-1V令InF（Tf/dTdFdTly-1JTF（y-1）T有dln（VF）=0，VF（T）Const1.21温度为0OC的1kg水与温度为100OC的恒温热源接触后，水温达到100OC。试分别求水和热源的熵变，以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0°C升至100°C?已知水的比热容为418J?g?i?K?i解：O0C的水与温度为1O

8、O0C的恒温热源接触后，水温达到1OO0C。这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样的变化。通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其温度分布在0OC与1000C之间。令水依次从这些热源吸收热量，使水温由0OC升至1000C。在这可逆过程中，水的熵变为AS=J373mCpdT=mCln373=103x4.18xln373J-K-1=1304.6J-K-1(1)水273Tp273273水从00C升至1000C所吸收的总热量Q为Q=mCp?T=103?4.18?100

9、J=4.18?105J为求热源的熵变，可令热源向温度为1000C的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的熵变为AS=_4.18x105jk-1=-1120.6J-K-1(2)热源373由于热源的变化相同，式子(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。整个系统的总熵变为?$总=?$水+?S热源=184J?K?1为使水温从00C升至1000C而参与整个过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在00C与1000C之间的一系列热源吸热。水的熵变?S*水仍由式子(2)给出。这一系列热源的熵变之和为AS*=-f373mCpdT=-mCln373=-103x4.18xln373JK-1=-

10、1304.6JK-1热源273TP273273参与过程的整个系统的总熵变为欢迎共阅?S*总=?5*水+?S*热源=0(5)1.2210A的电流通过一个25?的电阻器，历时1S。(A) 若电阻器保持为室温270C,试求电阻器的熵增加值。(B) 若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为270C,电阻器的质量为10g,比热容Cp为0.84J?g?i?k?】，问电阻器的熵增加值为多少？解：(A)以T,P为电阻器的状态参量，设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温270C不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。(B)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由J升为T2,所以有mCp?T=mCp(T2?T1)=i2RT故T=T+i2RT=(300+1