线性连续系统状态空间模型的离散化学习教案

1、线性连续系统线性连续系统(xtng)状态空间模型的离散状态空间模型的离散化化第一页，共26页。第1页/共26页第二页，共26页。,有离散时间型的离散量，如连续被控对有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。象的采样控制系统就属于这种情况。第2页/共26页第三页，共26页。第3页/共26页第四页，共26页。 连续系统 保持器 采样器 数字 计算机 D/A A/D u(k) y(k) u(t) y(t) x(t) x(k) 图图 3-3 连续连续(linx)系统离散化的实现系统离散化的实现第4页/共26页第五页，共26页。,的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。保持器

2、为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有u(t)=u(kT) kTt(k+1)T 第5页/共26页第六页，共26页。第6页/共26页第七页，共26页。第7页/共26页第八页，共26页。uxyuxxDCBA变换成离散系统的如下状态空间(kngjin)模型:)()()()()()()()()() 1(kTTDkTTCkTkTTHkTTGTkuxyuxx由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言,输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变,即C(T)=C D(T)=D离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样周期T,变换成离散

3、系统状态方程(G,H)。第8页/共26页第九页，共26页。主要(zhyo)推荐?第9页/共26页第十页，共26页。ttBttttt0d)()()()()(00uxx现在只考虑(kol)在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是TkkTBTkkTTTk) 1(d)() 1()()() 1(uxx第10页/共26页第十一页，共26页。考虑到u(t)在采样(ci yn)周期内保持不变的假定,所以有将上式与线性定常离散系统的状态方程x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)比较(bjio),可知两式对任意的x(kT)和u(kT

4、)成立的条件为G(T)=(T)=eAT)(d) 1()()() 1()1(kTBTkkTTTkTkkTuxx对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为)(dt)()()() 1(0kTBtkTTTkTuxxBBtTHTAtT00dtedt)()(上两式即为精确离散化法的计算式。(1)()()()()()kGkHkkCkDkxxuyxu第11页/共26页第十二页，共26页。uxx102010ttssLAsILt221111e02/ )e-1 (1201-)-()(q解 首先求出连续系统的状态(zhungti)转移矩阵:第12页/共26页第十三页，共26页。q根据(gnj)精确法计算式有

5、q于是该连续系统(xtng)的离散化状态方程为)e-1 ( 2)e-1 ( -24110dte02/ )e-1 (1dt)()(e02 / )e-1 (1)()(22022022TTTttTTTTBtTHTTG)(2/ )e-1 (4/ )e-1 ( -2/)(e02/ )e-1 (1) 1(2222kTkkTTTTuxx第13页/共26页第十四页，共26页。第14页/共26页第十五页，共26页。l知,l由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。(1)( )( )( )( )(

6、 )kGkHkkCkDkxxuyxu第15页/共26页第十六页，共26页。uxx102010第16页/共26页第十七页，共26页。于是该连续系统(xtng)的离散化状态方程为TBTTHTTATITG0)(2101)()(0)(2-101) 1(kTkTTkuxx第17页/共26页第十八页，共26页。近似(jn s)法的计算结果为432332. 0283834. 00.1353350432332. 01HG101011HG2. 当当T=0.001s时时,精确精确(jngqu)法的计算结果为法的计算结果为000999. 0105 . 00.9980020000999. 016HG第18页/共26页

7、第十九页，共26页。近似(jn s)法的计算结果为001. 00998. 00001. 01HG第19页/共26页第二十页，共26页。( )( ) ( )( ) ( )tttttxAxBu变换(binhun)成线性时变离散系统的如下状态方程:(1)( ) ( )( ) ( )kkkkkxGxHu第20页/共26页第二十一页，共26页。000( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )dtttt ttt B xxu现在只考虑在采样时刻(shk)t=kT和t=(k+1)T时刻(shk)之间的状态响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是(1)(1)(1) , ( )(1) , (

8、 ) ( )dkTkTkkT kTkkT B xxu考虑到u(t)在采样周期内保持不变,所以有(1)(1)(1) , ( )(1) , ( )d( )kTkTkkT kTkkT B kxxu第21页/共26页第二十二页，共26页。可得线性时变连续系统(xtng)离散化模型各矩阵如下 (1)( )(1) ,( )(1) , ( )dkTkTG kkT kTH kkT B (1)(1)(1) , ( )(1) , ( )d( )kTkTkkT kTkkT B kxxu(1)( ) ( )( ) ( )kkkkkxGxHu第22页/共26页第二十三页，共26页。p解解 由例由例3-9,该系统的转移该系统的转移(zhuny)矩阵函数为矩阵函数为0001(1)(1)( ,)01ttttt t2101(1)100t xxu第23页/共26页第二十四页，共26页。(1)(1)21(1)(1)( )(1) ,0111(1)(1)( )d1011(1)(1) d1(1)(1)1ln(1)11kTkTkTk