[经济学]第九章刚体的平面运动ppt课件

1、第九章刚第九章刚 体体 的的 平平 面面 运运 动动 本章重难点：本章重难点： 刚体平面运动的定义刚体平面运动的定义: : 平面图形内各点速度确实定基点法、瞬心法、平面图形内各点速度确实定基点法、瞬心法、投影法投影法 平面图形内各点的加速度确实定平面图形内各点的加速度确实定 运动学综合问题运动学综合问题 9 1 刚体平面运动的概述和运刚体平面运动的概述和运 动分解动分解 刚体平面运动的定义刚体平面运动的定义: 在运动中在运动中, 刚体刚体 上的任意一点与某一固定的平面始终保持间上的任意一点与某一固定的平面始终保持间隔隔 相等相等. 这样的刚体运动称为平面运动这样的刚体运动称为平面运动. 刚体平

2、面运动可简化为平面图形在其自身所在的平面内的刚体平面运动可简化为平面图形在其自身所在的平面内的任意运动任意运动.O M Oxy)(0tr ttrr 00 ttyytxx 0000或或:上面的式子称为刚体的平面运动方程上面的式子称为刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程:平面图形在平面参考系的位置平面图形在平面参考系的位置, 可由图形上的一线段可由图形上的一线段O M 来描来描述述, 而此线段的位置而此线段的位置, 可由可由 点点 O 的位置矢量的位置矢量 , 及线段及线段 O M与与水平的夹角水平的夹角 来确定来确定.Or O M Oxy)(0tr如果如果 trrt00:00

3、刚刚体体的的运运动动方方程程退退化化为为常常数数 刚体作平动刚体作平动. O 的运动描述了整个刚体的运动的运动描述了整个刚体的运动.00)(000 aVtr常矢量常矢量如果如果刚体的运动方程退化为刚体的运动方程退化为: t 刚体绕刚体绕O 轴作定轴转动轴作定轴转动. 转动方程为转动方程为 t 由此可见由此可见, 刚体的平面运动可以看成是由刚体的平动和定轴转动叠加而成刚体的平面运动可以看成是由刚体的平动和定轴转动叠加而成的运动的运动. 如图上的刚体作平面运动如图上的刚体作平面运动, 可以看作以可以看作以O 描绘的刚体的平动和刚体绕描绘的刚体的平动和刚体绕O 点点转动的合成运动转动的合成运动. 我

4、们在这里称我们在这里称O 点为点为 基点基点 . ttrr 00 ttyytxx 0000或或: 轮子作平面运动轮子作平面运动, 选轮心选轮心O 为基点为基点, 建立一平动坐标系建立一平动坐标系. 平动坐标系的运动是刚体的运动平动坐标系的运动是刚体的运动.如图示如图示, 平动坐标系的运动与车厢的运动并无二致平动坐标系的运动与车厢的运动并无二致. 平面运动刚体上任意点平面运动刚体上任意点 运动运动, 都是随以基点为原点的平动坐标系的平动和都是随以基点为原点的平动坐标系的平动和 绕绕 基点转动的合成运动基点转动的合成运动. 简言之简言之, 就是就是 随基点的平动随基点的平动, 绕基点的转动绕基点的

5、转动. 平动坐标系平动坐标系 :假设有一平面运动的刚体假设有一平面运动的刚体, 其上点的速度和加速度其上点的速度和加速度 分布我们暂且不知分布我们暂且不知, 但是根据但是根据前面的分析前面的分析, 我们可以选刚体上的某一个点我们可以选刚体上的某一个点,这个这个 点我们称之为点我们称之为 基点基点 . 以此点建立一以此点建立一个坐标平面个坐标平面 , 此平面上的所有点的运动状态都与此平面上的所有点的运动状态都与 基点基点 一样一样. 显然显然, 这个坐标平面作的这个坐标平面作的是平动是平动. 在此平面上建立的坐标系在此平面上建立的坐标系 我们称为我们称为 平动坐标系平动坐标系. 而坐标系的原点就

6、是而坐标系的原点就是 基基点点. 图示轮子上任意一点的运动图示轮子上任意一点的运动 除了轮心以外除了轮心以外 都是以轮心为原点的坐标系的直线平动和绕都是以轮心为原点的坐标系的直线平动和绕轮心的圆周运动的合运动轮心的圆周运动的合运动. O x y x y 0VO 0VO OV9 2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 在上一节里在上一节里, 我们已经可以理解到我们已经可以理解到, 平面运动的刚体上平面运动的刚体上, 假如选择了一个点为假如选择了一个点为基点基点, 那么刚体上其余的点的运动都是那么刚体上其余的点的运动都是: 随基点的平动与绕基点的转动的合成随基点的平动与绕基点

7、的转动的合成. 所所谓谓 基点法基点法 就是合成法就是合成法. 它是用点的合成运动的理论分析刚体平面运动它是用点的合成运动的理论分析刚体平面运动.MOVOVMV假如平面运动的刚体上某一点假如平面运动的刚体上某一点O 的速度的速度VO 和刚体的角速度和刚体的角速度 , 那么可用基点法那么可用基点法求其上任意一点求其上任意一点M 的速度的速度.于是于是, M 点的速度便是点的速度便是 O 的速度的速度 牵连速牵连速度度 与与M 点绕点绕O 点转动的速度点转动的速度 相对速度相对速度 的的矢量和矢量和. : 取取O 点为基点点为基点, 这时这时, 可想象平面可想象平面上建立了一个运动的状态可用上建立

8、了一个运动的状态可用O 点来描绘的平动坐标系点来描绘的平动坐标系.MMOMVVVVVVOrea O OVMOVOVMVM又又, 将上式沿将上式沿O M 的方向投影的方向投影MOMOOMOMOMVVV 0 MOMOVMOOMOVVM 上式称作上式称作 速度投影定理速度投影定理. 在这里在这里, 它说明它说明: 作平面运动刚体上任意两点的速作平面运动刚体上任意两点的速度在此两点连线上的投影相等度在此两点连线上的投影相等. 速度投影定理是刚体的一个重要属性速度投影定理是刚体的一个重要属性. xyO AVAB例一例一. 椭圆规尺的椭圆规尺的A 端以速度端以速度VA 沿沿x 轴的负向运动轴的负向运动,

9、AB = l . 试求试求AB杆与程度杆与程度的夹角为的夹角为 时时, B 端的速度以及杆端的速度以及杆AB 的角速度的角速度. 解解: AB杆平面运动杆平面运动 以以A 为基点为基点, B 点的速度分析如图示点的速度分析如图示 ) 1 (BAVVVAB ctgVVAB 又又, 将将 1 式沿式沿AB 方向投影也可求的方向投影也可求的B 点的速度点的速度: sin90coscos0BBAVVV 90 - BAVAVBV sinsin lVABVVVAABAABBA ctgVVVAAB sincosABO 例二例二. 曲柄连杆机构曲柄连杆机构, 已知曲柄已知曲柄OA = r, 以匀角速度以匀角速

10、度 绕绕O 点转动点转动. 连杆连杆 AB = r, 求求: 当曲柄运动到水平位置和铅垂位置时当曲柄运动到水平位置和铅垂位置时, AB 杆的角速度和杆的角速度和B 点的速度点的速度.3ABO AVBV解解: 1 AB 杆平面运动杆平面运动, A , B 点点的速度方向如图示的速度方向如图示.由速度投影定理由速度投影定理 沿沿AB可得可得 VB = 0.VA = r以以B 为基点为基点, A 点的速度合成为点的速度合成为:ABVVVBA 即即, AVVAB 3 ABVABVAABAB( 方向如图方向如图) AB 2 AB 杆平面运动杆平面运动, A, B 的速度方向如图的速度方向如图.BVAV

11、coscosABVV ABVVVBA 由由可知可知:0 ABV AB 杆此时的运动状态称为杆此时的运动状态称为 瞬时平瞬时平动动. 由速度投影定理可得由速度投影定理可得: rVVAB 0 AB 9 3 求平面图形内各点的速度的求平面图形内各点的速度的 瞬心瞬心 法法前面的例二中前面的例二中, 我们得知作平面运动的我们得知作平面运动的AB 杆在运动到程度位置这杆在运动到程度位置这一瞬时一瞬时, B 点的速度为零点的速度为零. 在第六章在第六章 ? 点的运动学点的运动学?中，我们曾用中，我们曾用点的运动方程计算出作纯滚动的圆轮在轮缘处的点在与地面接触点的运动方程计算出作纯滚动的圆轮在轮缘处的点在与

12、地面接触的瞬时其速度为零的瞬时其速度为零. M点的速度点的速度:t2sinr2yxv22 .M.M.0v), 3 , 2 , 1k(k2t点为轮子的速度瞬心点为轮子的速度瞬心我们称此时的我们称此时的点此时与地面接触点此时与地面接触当当 OMO1 xyOrMC这种现象决非偶尔这种现象决非偶尔, 实际上实际上, 作平面运动的刚体在任意瞬时都有作平面运动的刚体在任意瞬时都有,且仅有一个速且仅有一个速度为零的点度为零的点, 其中包括一无穷远点其中包括一无穷远点. 这一点这一点, 我们称之为我们称之为 瞬时速度中心瞬时速度中心 , 简简称为称为 速度瞬心速度瞬心.AVMAVAVMVA M存在性存在性:在

13、平面图形上在平面图形上, 在与在与VA 垂直方向上的点垂直方向上的点的速度合成必是代数叠加的速度合成必是代数叠加.0, CACAVVVVVVACACAA于是于是有有时时当当C 点点 为为速度瞬心速度瞬心CAVCAV唯一性唯一性:设以瞬心设以瞬心 C 为基点为基点, 那么那么 M 点的速度为点的速度为 :CMVVVVMCMMC 即即又设另一点瞬心又设另一点瞬心 C 为基点为基点, 那么那么M 点速度点速度为为 :MCVVVVMCMMC 即即显然显然, C 点和点和C 点重合点重合.其中必有一点其中必有一点 C 假如以速度瞬心作为假如以速度瞬心作为 基点基点 , 那么速度那么速度的合成只剩下的合成

14、只剩下 绕基点的转动绕基点的转动 了了. 利用速度瞬心对平面图形进展速度分利用速度瞬心对平面图形进展速度分析非常方便析非常方便, 因此得到广泛的应用因此得到广泛的应用.AVBVABAVBVAB 1 任意瞬时任意瞬时,平面运动刚体上必有一速度为零的点平面运动刚体上必有一速度为零的点, 此点称为刚体此点称为刚体的的速度瞬心速度瞬心. 此时此时, 刚体上其它的点都绕此点作刚体上其它的点都绕此点作 瞬时转动瞬时转动. 2 任任 一瞬时只有一个速度瞬心一瞬时只有一个速度瞬心, 其中包括无穷远点其中包括无穷远点. 3 速度瞬心可以在刚体内部速度瞬心可以在刚体内部, 也可以在刚体的延拓部分也可以在刚体的延拓

15、部分. 4 速度瞬心的速度为零速度瞬心的速度为零, 但其加速度一般不为零但其加速度一般不为零. 速度瞬心的求法速度瞬心的求法O a O b AVBVBA c O BVAVAB d 无穷无穷远点远点瞬时平动瞬时平动O AVCVBV e 在固定面上纯滚动的刚体在固定面上纯滚动的刚体 与固定面的接触点与固定面的接触点.例一例一. 书上例书上例 9 2 图示四连杆机构图示四连杆机构. AB = BD = DE = l = 300mm , BDAE , = 5rad/s , C 为为BD 杆的中点杆的中点. 求求: VC , DE .解解: BD 杆作平面运动杆作平面运动, O 为其速度瞬心为其速度瞬心

16、.O 6060 AEDBCBD BVDE DVCVsradBOVBBD/5 sradDEVDDE/5 smsmmlCOVBDC/299. 1/375023 smmVDOVBDBD/1500 方向如图示方向如图示OA 0BCr1r2例二例二. 书上例书上例 9 4 图示行星轮机构图示行星轮机构. 齿轮齿轮 固定固定, 半径为半径为r1 ; 行星齿轮行星齿轮 在在齿轮齿轮 上只滚不滑上只滚不滑, 其半径其半径 为为r2 . 系杆系杆 OA 的角速度为的角速度为 0 . 求求: 行星齿轮的角速度和图示瞬时其上行星齿轮的角速度和图示瞬时其上B , C 两点的速度两点的速度. DCVBV解解: 齿轮齿轮

17、 在固定的圆弧上作纯滚动在固定的圆弧上作纯滚动. 二轮的接触点二轮的接触点D 为齿轮为齿轮 的速度瞬心的速度瞬心.AV 021202101 rrrVrrOAVAA 021222 rrrVC 021222 rrrVB方向如图示方向如图示DFEBO1AOn例三例三. 习习 9 12 图示小型精压机的传动机构图示小型精压机的传动机构, OA = O1B = r = o.1 m , EB = BD = AD = l = 0.4 m .在图示瞬时在图示瞬时, OA AD , O1B ED , O1D 连线为程度连线为程度. OD 及及 EF 连线为铅直连线为铅直. 曲柄曲柄 OA 的转速为的转速为 n

18、= 120r/min , 求求: 此时压头此时压头 F 的速度的速度.解解: ED , AD 杆平面运动杆平面运动. 由构造及由构造及 E , B 点可能的运动方向点可能的运动方向 ED 杆的速度瞬心为杆的速度瞬心为 C 点点 如图如图示示 C根据根据A , D 二点的速度投影关系二点的速度投影关系, 可可判断出判断出ED 杆的转向及杆的转向及E ,B , D 处的处的速度方向速度方向.ED AVsVA/4 . 01 . 0602120 DVBVEV由速度投影定理由速度投影定理: cosDAVV 97. 01 . 04 . 04 . 0cos22 smVVAD/295. 1cos CE = C

19、D , DEVV EF 杆平动杆平动, smVVVDEF/295. 1 Aa BA 9 4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度假如平面运动的刚体上某一点假如平面运动的刚体上某一点A 的加速度的加速度aA 和刚体的角速度和刚体的角速度 , 角加速度角加速度 . 那么可那么可用基点法求其上任意一点用基点法求其上任意一点B 的加速度的加速度. : 取取A 点为基点点为基点, 这时这时, 可想象平面可想象平面上建立了一个运动的状态可用上建立了一个运动的状态可用A 点来描绘点来描绘的平动坐标系的平动坐标系. 于是于是, B 点的加速度便是点的加速度便是 A的加速度的加速度

20、牵连加速度牵连加速度 与与B点绕点绕A点转动的加速点转动的加速度度 相对加速度相对加速度 的矢量和的矢量和. BAanBAaAaBa BABAaaaanAB考虑到考虑到A , B 两点加速度的分解两点加速度的分解, 上式可写成上式可写成: BABAaaaaaanAnABnB需要注意的是需要注意的是: 这里的加速度合成公式这里的加速度合成公式里没有科氏加速度分量里没有科氏加速度分量, 原因在于以基点为原点的原因在于以基点为原点的动系是平动坐标系动系是平动坐标系.OBO16030 0 0 Ar32例一例一. ( 习习 9 18 ) 图示曲柄连杆机构图示曲柄连杆机构. 曲柄曲柄OA 绕绕O 轴转动轴

21、转动, 其角速度为其角速度为 0 , 角加角加速度速度 为为 0 . 在某瞬时在某瞬时, 曲柄与水平线交角为曲柄与水平线交角为 60, 而连杆而连杆AB 与曲柄与曲柄OA 垂垂直直, 滑块滑块B 在圆弧槽内滑动在圆弧槽内滑动, 此时弧槽半径此时弧槽半径O1 B 与连杆交角成与连杆交角成30. 如果如果 OA = r , O1 B = 2r , AB = . 求在该瞬时滑块求在该瞬时滑块B 的切向加速度和法的切向加速度和法向向 加速度加速度.r32解解: 速度分析速度分析AVBVCAB r2r42200 rrCAVAABrrVABB024 VA = 0 r C 点为点为AB 杆的速度瞬心杆的速度

22、瞬心OBO16030 0 0 Ar32CAB r2r4以以A 为基点为基点, B 点的加速度分析如图点的加速度分析如图.nBAa BAanAa Aa6030nBa Ba AanAa BABAaaaaaanAnABnB沿沿BA 方向投影方向投影:将将200200200032232232130cos60cos rarraaaaaBBnAnBBBArBOVarABararaBnBnAnABABA2012202020223 例二例二. 书上书上 例例 9 10 椭圆规机构中椭圆规机构中, 曲柄曲柄OD 以匀角速度以匀角速度 绕绕O 轴转动轴转动. OD = AD = BD = l . 求求: 当当 =

23、 60 时时, 杆杆AB 的角加速度和的角加速度和A 点的加速度点的加速度.lADalaABADnnD222 xyOBA D CAB AB DVnDanDanADa ADaAa 303030速度分析速度分析:lVD C 点为点为AB 杆的速度瞬心杆的速度瞬心. llCDVDAB加速度分析加速度分析:以以D为基点为基点, A 点的加速度分析如图示点的加速度分析如图示. 1 ADADaaaannDA :1轴轴投投影影沿沿式式将将 0 ADaADAB 033 nDnaaaADAD 00030cos30cos60cos0 nnDADADaaa 30nDa3030 ：方方向向投投影影沿沿式式再再将将xo

24、1A 点的加速度的方向如图示点的加速度的方向如图示.xyOBA DAB DVnDanADa ADaAa C30AB 0060cos60cosnDnAaaaAD laA2 lADalaABADnnD222 1 ADADaaaannDA例三例三. 续续 书上例书上例 9 2 图示四连杆机构图示四连杆机构. AB = BD = DE = l = 300mm , BDAE , AB杆匀角速转动杆匀角速转动, = 5rad/s , C 为为BD 杆的中点杆的中点. 求求: VC , DE , DE .解解: BD 杆作平面运动杆作平面运动, O 为其速度瞬心为其速度瞬心.O 6060 AEDBCBD B

25、VDE DVCVsradBOVBBD/5 sradDEVDDE/5 smsmmlCOVBDC/299. 1/375023 smmVDOVBDBD/1500 O 6060 AEDBCBD BVDVCVDE 以以B为基点为基点, D点的加速度分析如图示点的加速度分析如图示nBanBatDBanDBanDatDa 222/5 . 73 . 025smlABanB 222/5 . 7smlDBanDB 222/5 . 7smlDEaDEnD nDBtDBnBnDtDaaaaa 将将沿沿BD方向投影方向投影:nDBnBnDtDaaaa 00060cos60cos30cos 200/3105 . 760c

26、os5 . 760cos5 . 723smaatDtD DE DE杆的角速度和角加速度分别为杆的角速度和角加速度分别为2/3100,/5sradsrad方向如图示方向如图示. 2/3100sradDEatDDE 306060例四例四. 图示机构在某时刻图示机构在某时刻AB 杆铅垂杆铅垂. VC = 10 cm/s , ac = 0 . BC 杆与程度成杆与程度成30 AB = 5 cm , BC = 10 cm . 求求: AB , BC , AB , BC .30ABCCVBV BanBa BCaAB BC 解解: 此瞬时此瞬时, BC 杆瞬时平动杆瞬时平动. VB = VC = 10 cm

27、 /ssradABVBABBC/20 以以C 为基点为基点, B 点的加速度分析如图点的加速度分析如图.222/200scmABaBCaABBCBCnBn 1 BCaaaBnB将将 1 式沿式沿BA 方向投影方向投影030cos BCaanB 22/34/34032sradBCascmaaBCBCBCnB ABCCV60BV BanBa BCaAB BC 将将 1 式沿程度方向投式沿程度方向投影影060cos BCaaB AB 1 BCaaaBnB22/34/320sradABascmaBABB 例三例三. 书上书上 例例 9 11 车轮直线作纯滚动车轮直线作纯滚动. 车轮半径为车轮半径为R

28、, 轮子中心轮子中心O 的速度的速度 为为V0 , 加速度为加速度为 a0 .求求: 轮子的速度瞬心轮子的速度瞬心C 的加速度的加速度. COOVOa解解: 首先需求轮子的角速度和角加速度首先需求轮子的角速度和角加速度由瞬心法可求得轮子的角速度由瞬心法可求得轮子的角速度RVO 注意注意,上式中上式中 假如假如V0 是是 时间的函数时间的函数, 那么那么 亦亦然然. 这里有这里有 , RaRVdtddtd00 以以 O 为基点为基点, C 点的加速度分析如图点的加速度分析如图CO Oa COaOanCOaOOnaRaRVRaCOCO 2 COCOaaaanOC上式沿上式沿x 轴投影轴投影, 有有

29、:0 COaaaOCx上式沿上式沿y 轴投影轴投影, 有有:RVaaOnyCCO2 RVaOC2 CO OaOVCaCO Oa COaOanCOaxy可见可见, 速度瞬心的瞬时速度为零速度瞬心的瞬时速度为零, 但其加速度一般不为零但其加速度一般不为零!OOnaRaRVRaCOCO 2以以 O 为基点为基点, C 点的加速度分析如图点的加速度分析如图xy习习 9 22 ABCAaBaAanBAa BAa)4545解解: 以以A为基点为基点, B点的加速度合成如图点的加速度合成如图 IaaaaBAnBAAB 将将 I 沿沿x 轴投影轴投影:nBAABaaa 0045cos45cos200/2245

30、cos45cossmaaaABnBA sradsradABanBA/2/425 . 02222 将将 I 沿沿y 轴投影轴投影: BAABaaa0045cos45cos200/245cos45cossmaaaABBA 2/225 . 02sradABaBA 综合问题举例综合问题举例: 书上书上 例例 9 14 摇杆摇杆OC 以匀角速度以匀角速度 绕绕O轴转动轴转动, 滑块滑块B 匀速度匀速度v = l 程度运动程度运动. = 30. 求求: AB杆的角速度和角加速度杆的角速度和角加速度. AB = l 解解: 选滑块上选滑块上A为动点为动点, 摇杆摇杆OC为动系为动系, 以及以及B点为基点点为基点, 那么那么A点的点的 速度分析如图速度分析如图30AOBC veVrVBVABVvVlVBe 2 IVVVVVVABBreAa 上式沿程度方向投影上式沿程度方向投影60060cosABBeVVV 22ABVll ABVlVABABAB I 式沿铅垂方向投影式沿铅垂方向投影060sinABrVV 23rVAB AB 23rV30AOBC