电大专科高等数学基础复习及答案

1、电大专科2332 高等数学基础复习及答案2332 高等数学期末复习指导高等数学基础复习指导注意 :1 本次考试题型分为单选 (20=4 分 *5) 填空 (20=4 分*5) 计算题 (44=11 分 *4) 应用题(16=16分 *1)2 复习指导分为 3 个部分，第一部分配有详细解答，掌握解题方法，第二部分历年试题汇编，熟悉考试题型 ; 第三部分中央电大今年的模拟真题，应该重点掌握。3复印的蓝皮书大家要掌握第 5 页的样卷和 29 页的综合练习。第一部分 ( 详细解答 )一( 填空题x，41( 函数的定义域为xx,12且 。 y,ln(1)x,x，,40,x4,x,10解 : 且 ,xx1

2、2 x,1,ln10x,， x,11,ln(1)x ， 2( 函数的定义域是。 ,12xy,24,xx，,10x,1,解:,12x,2,22x40,x,x，23( 函数的定义域是。 xx,23且 y,x,3xx ，,202,解:,xx,303,22f(x),4(设，则。xx,，46fxx(2)2，,2xt ， ,2xt,2解: 设，则且原式fxx(2)2，,22ftt()22,即, tt,，42，2fx(),亦即 xx, ， 424,x,4(1),0,xxfx(),x,0k4(若函数在处连续，则 = e 。 ,kx,0,第1页共19页2332 高等数学期末复习指导函数 fx 在 x=0 连续

3、,lim则 ffx,0， x0,41, ， ,4 ， ,4xxlimlim1limfxxxe,1， xxx,000,fk(0),4 ？,ke,xx,05(曲线在处的切线方程为。 yx,1ye, 曲线在点处的切线方程为yyyxx, yfx,xy,，0000x0,x0,解: ，ye1,xye,01时， 000x,0x,，yxyx,1(0)1ln(3)x ， 6.函数的连续区间为。 y,，,3,1,1,， x，1初等函数在其定义区间连续。x，,30ln(3)x，,x,3x,1y,且 ,，,3,1,1,， ,x ，1x，,10,7( 曲线在点 (1,0)处的切线方程为 。 yx,lnyx,11,yx

4、解:,ln1,， xxx,111 xyxyx ？,， 01111dy,fxdx'(ln2)8.设函数 yfx,(ln2)可导，则 。 x1dyydx,' 解:,fxxdx'(ln2)2' fxdx(ln2)'fxxdx'(ln2)ln2'， ,2x11fxdx'(ln2),fxxdx'(ln2)2',， x2x132yxxx, ， 239.(判断单调性、凹凸性 ) 曲线在区间内是 单调递减且凹。 2,3 ，32, 解 : yxxxxxy,，,4331,230当时，曲线下降，, yxy,20,4曲线是凹的22,f(f

5、(x),10(设，则。41x ，fxx()1,，222,fxxx'()1'2,，,ffxfxxx()22141,，, ，解 : ， ，1311( 0。 xxdx(1cos),1第2页共19页2332 高等数学期末复习指导3解 : 是奇函数 ; 是偶函数，由于偶 +偶 =偶，则是偶函数， 1cos,xx1cos和 x3因为奇偶 , 奇，所以是奇函数，是对称区间 x ，,1,11cos,x ， ,奇函数在对称区间上的积分为零12212( 。 xxxdx(1),，,13122 是奇函数 ( 奇偶 , 奇) ，故 ;，xxdx10，,xx1 ，,1fx(ln3),13(设，则 。 Fx

6、fx()(),dx,FxCln3， ,x11, 解: ,？ ,ln3ln3ln3xdxxdxdx， xx1 fxdxfxdxFxC(ln3)ln3ln3ln3,， ,x122,xfxdx(1),14(已知 Fxfx()(),，则 。 FxC, ， 1， ,2fxxdx(sin)cos,15(设 Fx()fx() 为的原函数，那么。 FxCsin ， ,fuduFuC, ，cossinxdxdx,Fx()fx()分析 : 为的原函数， , ， ,fxxdxfxdxFxC(sin)cossinsinsin,，解 :， ,sinx,sinxfx()16(设的一个原函数是 , 则 fx(),。,sin

7、xfx()Fx()fx()Fx'()fx(),解: 的一个原函数为 , sin''xcos'x,，0,xxcos2Fx(),17(，那么 。 Fxttdt()cos2,x,xx, 解: ftdtfx,Fxttdtxx()cos2cos2， ,0a0d,2t2,x,tedt18(_,xe_。 ， ,xdx0xdd,2,t2t2,x,tedttedt解 :,xe ， ,0xdxdxx,1,sint,F(),19(设，则 e。 Fxedt(),02第3页共19页2332 高等数学期末复习指导,x,sin,sinsin1tx2,FxedteFee,解:， , ， ,02

8、,0d2220(cos= 。 tdt,cosx,xdx0xdd222coscos 解 :tdt,tdt, ,cosx,x0dxdx二( 选择题1( 下列函数中 ( B )的图像关于坐标原点对称。xlnxA( B( C(xxsin D( axxcos规律 :(1)1(奇偶函数定义 :; fxfxfxfxfxfx,;是奇函数，是偶函数，2243(2)( 常见的偶函数 : xxxxx,.,cos,常数111， ,xx3523 常见的奇函数 : xxxxxxx,.,sin,ln1,ln,ln， 11, ， xxxxxx, 常见的非奇非偶函数 :; aeaex,ln(3)( 奇偶函数运算性质 :奇?奇=

9、奇; 奇?偶=非; 偶?偶=偶; 奇×奇 =偶; 奇×偶 =奇; 偶×偶 =偶; y(4)( 奇函数图像关于原点对称 ; 偶函数图像关于轴对称。y 解 :A( 非奇非偶 ; B( 奇×偶 =奇( 原点 ); C( 奇×奇 =偶( 轴 ); D( 非奇非偶 2( 下列函数中( B )不是奇函数。xx,2sinxcosxA(; B(sin(1)x，; C(; D( ee,ln1xx，解 :A( 奇函数 ( 定义 ); B(非奇非偶 ( 定义 );C( 奇函数 ( 奇×偶 );D( 奇函数 ( 定义 )y3( 下列函数中，其图像关于轴对称的

10、是( A )。1,xx2lncos(1)x,A( B( C( D( excossin(1)x,1，xy 解 :A( 偶函数 ( 轴 ); B(非奇非偶 ( 定义 );C( 奇函数 ( 常见 );D( 非奇非偶 ( 定义 ) 4( 下列极限正确的是(B)。3xx,11e,1A( B( lim,lim0,3x,313x， ,0xxsinx1x, ，,elim(1)lim1C. D( x,0xxxxxe,1xlim1,x,0解:A 错。 ?，e,1,?; lim,xx,0x,0xxB 正确。分子分母最高次幂前的系数之比;11sinxsinx,0lim0C错。 ?，即是无穷小，即是有界变量，?; si

11、n1x,x,x,xxx第4页共19页2332 高等数学期末复习指导11x,x1 ， ,eD 错。第二个重要极限应为或，其类型为。lim(1)lim(1)，,xe,x,x0x5( 当 x,1时， ( D ) 为无穷小量。x，11A( B(sin C( D( cos(1)x，ln(2)x ， 2x,1x ，10x，1110lim解 :A( ,0; lim2x,1x,1x22x,111B(x,1，x，,10 ，,， 不存在 ; limsinx,1x，x，11x,1C(， ; cos(1)cos01x，,x,1D(，。ln(2)ln10x，,6.下列等式中，成立的是( B )。1,33xx,22xxe

12、dxde,A( B( edxde,2321C( D( dxdx,ln3 dxdx,3xx1,33xx,22xx,33xxedxde,解 :A( 错，正确的应为B 。 正确，即 ,2edxde,3edxde311C(错，正确的应为D( 错，正确的应为dxdx,dxdx3ln3,3x2x,f(x)7(设在点可微，且，则下列结论成立的是( C ) 。 xx,fx()0,00f(x)f(x)A( 是的极小值点 B( 是的极大值点 ; xx,xx,00 f(x)f(x)C( 是的驻点 ; D( 是的最大值点 ; xx,xx,00,fx()fx()解 : 驻点定义 : 设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可

13、能的极值点。xx,fx()0,xx,000fxf()(3),fxx()ln,8(函数lim,，则( D )。x,3x,311ln3A( 3 ; B( ; C( ; D( x3fxf()(3),11解一 :lim, ffxx,'3'ln'，xx,33x,3x,3x3x,310fxf()(3),lnln3x,1x0lim,lim解二 : ,limx,3x,3x,3x,3x,313第5页共19页2332 高等数学期末复习指导fx()9(设，则 ,( B )。 fxx()sin,limx,0x12A(0;B(;C(;D(不存在fx， sinx解一 ,:limlim1xx,00x

14、xfx， sin0x,解二 :limlimsincos1,xx， xx,00xx,00,0xx3210( 曲线在区间(1,3)内是(A)。yxxx,，391A( 下降且凹B(上升且凹C( 下降且凸D(上升且凸解:, 在任取一点 13,0,xyx 带入可知，曲线下降,yx,66,，, 在中任取一点 13,0,xyx 带入可知，曲线是凹的x11( 曲线在 (0,) ， , 内是 ( B )。 yex,A( 下降且凹 ; B( 上升且凹 ; C( 下降且凸 ; D( 上升且凸解:xxyexe''1,，当时上升 xy,0'0，曲线 xye'',当时，曲线是凹的x

15、y,0''012( 曲线在点 M(1,2) 处的法线方程为 ( B )。 yx,21yx,2(1)yx,2(1)yx,22(1)A.;B.;C(D.yx,1(2) 21 规律: 曲线在x=处的法线方程为xyfx,yfxxx,，000,fx， 011yfxx,2解: ，fxx'2',f,， '11，xxx,1yx,2(1)故法线方程为B(;13( 下列结论中正确的是 ( C ) 。A( 函数的驻点一定是极值点B( 函数的极值点一定是驻点00C(函数一阶导数为的点一定是驻点D( 函数的极值点处导数必为,fx()fx()解 : 驻点定义 : 设在点可微，且，则

16、是的驻点。驻点为可能的极值点。xx,fx()0,xx,000第6页共19页2332 高等数学期末复习指导14( 设函数，则 ( A )。 df(x),fxx()cos,sinxsinxsinxsinxA(; B(; C(; D( dxdx,dxdx2xx2xxsinx 解 : dfxdxxd()coscos'si,xxxdx,n',dx， 2x15( 当函数不恒为 0，为常数时，下列等式不成立的是( B )。 fx()ab,db,f(x)dx,f(x)A. B. (f(x)dx),f(x),adxb,C. D. df(x),f(b),f(a)f(x)dx,f(x)，c,a解 :

17、,()()fxdxfx,A.成立，为不定积分的性质; ,bB. 不成立，常数，而常数的导数为零; fxdx(),a,fxdxfxc()(), ，C. 成立，为不定积分的性质 ; , bD. 成立，为牛顿 , 莱布尼兹公式。 dfxfbfa()()(),a1116( 设函数 f(x)Fx()fdx(),的原函数为，则 ( A )。 2,xx111FC() ，fC()，A( ,，FC()FxC()，; B(; C(; D( xxx11fuduFuC, ，fx()Fx()解 : 函数的原函数为，,dxd ,，2,xx1111111,fdx(), ,fdxfd(),，FC,22,xxxxxxx,17(

18、下列无穷积分为收敛的是 ( B )。， ,0 ，,01,x2x1edxdxA. B. C. D. edxsinxdx,1,0,2x， ,0,1,发散p,0,收敛1,pxdxedx,规律 :?(0), ? ,a,xp,0,发散 ,1,收敛 ,， , ， , ， ,p,0,发散npx,xedxn,N,?、发散? sinxdxcosxdx,0aap,0,收敛， ,1p,20p,10, 解:A.;B. ，收敛 ; C. ，发散 ; D. ，发散 1sinxdx,0218( 下列无穷积分为收敛的是 ( C ) 。第7页共19页2332 高等数学期末复习指导x，, ，, ，, ，,122,2A. B.dx

19、 C. D. edxxdxxdx,1111x解 :A.发散 ;B.发散 ;C.收敛 ;D.发散 ;三( 计算题12,x2x41x,4x,limlim1、求极限2 、求极限,x,x,41x，43x， ,414122xx,，,44333xx， ,解:?解:? ,，1,，1414141xxx，434343xxx， ,212x， ,32x3 lim,-lim,1x,x,43x，241x，3,2? 原题 , ?原题 , eexex,1xx,03、求极限解:? ， , ， , e,1limln1，xxx ， ,0xxxln(1)，,xxxxex1,， e1ex,1e,1lim?原题 ,=, limliml

20、im,0,0,0xx,0xx222xxx,2,x，sin3xsin3x3x,2xx,04、求极限 lim 解:? ， , ， , 141,xx,0,141x3x3,lim? 原题 , x,0,22x2ln(13),x22sin2x2xx,0、求极限 5 解:? ， , ， , ,3xlimln(13),xx,0xxsin223,3x,? 原题 ,lim, x,02xx,2sin2xe,16 、求极限 lim,x0tan4xsin2xsin2x2x4xx,0tan4x解:? ，, ， , e,12x1lim? 原题 , x,04x23dy7、设函数，求 yxx,ln(2)13323yxxxx&#

21、39;'ln(2)ln2',， , ， , ， ,3ln(2)2'xxxx解:， 2,x第8页共19页2332 高等数学期末复习指导3x2 ,3ln(2)xx2,x3， x2 ,3ln(2)xxdx,dy,2,x，cosx8 、设函数，求。dyyxex,2，3xcos2 解: yxex,2131,coscosxxxcosxxcoscos222,， ,exex'3yxex''2', ,，,exexxcos'3 ，,1xxcoscos2 ,exxexsin31,xxcoscos2,exxexdx,sin3dy ,2x,129 、设函数

22、，求 dy。 yxee, ， cos(ln2)2,x,12,解:yxeecosln2 ,，2,x,12,cosln2xee ,，2,x,12, sinln2ln210xxex,，, ，21x,1,xxex,，,sinln222， x22sinlnxx,1,，2xe x2sinln2x,x,1 ,，dy2xedx,x,3xedy10、设函数 y, ，求。 2,x,33xx,33xx33xx,3x,exex22,，exxe321,32exe,， ,，e, 解:y, ,2222,x22,xx2,x，,33xx32ex, ， e， dy,dx 22,x，sin3xy,dy11 、设函数，求。cos1x

23、 ，第9页共19页2332 高等数学期末复习指导,sin31cossin31cosxxxx， , ，sin3x,解:, y,21cos，x,1cos，x，,cos331cossin3sinxxxxx，, ， ,21cos ，x，3cos31cossin3sinxxxx， , 21cos ， x，3cos31cossin3sinxxxx， dy,dx 21cos ，x，x2xdxsin12 、计算不定积分,222x 2 0解:x+ +xxxx,4cossin,2cossin8 2222xxxx22, ， 2cos8sin16cosxxC xdxsin, ,2222,3xxedx13 、计算不定积

24、分解: 1 0 x,， 11,3x,3x,3x,ee e9311,3x,3x,3xxedx,xe,，eC, ,39四、应用题1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为4 立方米 , 试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使所用材料最省。h 解 : 设圆柱体底半径为，高为，r42,h则体积 Vrh,42,r材料最省即表面积最小48222S, ，, ，r 表面积 rr2,rrh，2, 2rr,843,S'2rS',，令 ,0 ，得唯一驻点 ,r2r,4433 所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即材料最省。,2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为16

25、 立方米 , 底面单位面积的造价为 10 元/ 平方米，侧面单位面积的造价为20元 / 平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使建造费用最省。第10 页共19 页2332 高等数学期末复习指导h 解 : 设圆柱体底半径为，高为，rr162h 则体积 , hVrh,162,r64022, ， , ，,且造价函数 frrhr1020210r64043,令，得唯一驻点fr200,r22r,4433 所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。2,3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108 立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使建造费用最省。解 : 要使建造费用最省，就

26、是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。h 设圆柱体底半径为，高为，r1082, 则体积 h Vrh,1082,r4433 所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省。,33,4、在半径为 8 的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形( 如图 ) ， 为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。y2x 解: 设长方形的底边长为，高为，2222,yx64y则 8 8, ，xy2Sxyxx,2264面积 xx2,x2,Sx,2640令，得唯一驻点x,42,264,x,所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。82425、在半径为 8 的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大，该

27、长方形的底长和高各为多少。2x2y 解 : 设长方形的底边长为，高为，2222,yx64则 8, ，xy第11 页共19 页2332 高等数学期末复习指导2Sxyxx,4464面积2,x2,令 Sx,4640，得唯一驻点 x,42,264,x,米，此时高为米时面积最大。所以当底边长为8282第二部分高等数学基础历年试题汇编一、单项选择题( 每小题4 分，本题共20 分),xxee, 1.函数的图形关于(A) 对称 ( y,2yy,x (A)坐标原点(B)轴(C)轴(D) x2. 在下列指定的变化过程中， (C) 是无穷小量 ( 11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B) xx1x (

28、C) ln(x ，1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 3.设 f(x) 在可导，则 ,(C)( x0h,02h, (A) (B) (C) (D) f(x)2f(x),f(x),2f(x)00001f(x)dx,F(x)，cf(lnx)dx, 4.若，则 (B)( ,x11F(lnx)，cF()， c (A) F(lnx)F(lnx)，c (B) (C) (D) xx5. 下列积分计算正确的是(D)(1001,x (A) (B) (C) (D) xsinxdx,0edx,1sin2xdx,xcosxdx,0,11,xx22，y,6.函数的图形关于(B) 对称( 2

29、yy,x (A)坐标原点(B)轴(C)轴(D) x7. 在下列指定的变化过程中， (A) 是无穷小量 ( 11xsin(x,0)xsin(x,) (A) (B) xxxlnx(x,0) (C) (D) e(x,)8. 下列等式中正确的是 (B)(dxdx1xxd(x),d(),lnxdxd(lnx), (A) (B) (C) (D) d(3),3dxxxx第12 页共19 页2332 高等数学期末复习指导1f(x)dx,F(x)，c 9. 若，则 f(x)dx,(C)( ,x(A) (B) (C) (D) F(x)F(x)，c2F(x) ， c2F(x)10. 下列无穷限积分收敛的是 (D)(

30、， , ， , ， , ， ,111xdxdx (A) (B) (C) dx (D) edx2,1110xxx ,xxee,11. 函数的图形关于 (A) 对称 ( y,2yy,x (A)坐标原点 (B)轴 (C)轴 (D) x12. 在下列指定的变化过程中， (C) 是无穷小量 ( 11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B) xx1x (C) ln(x ，1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 13.设 f(x) 在可导，则 ,(C)( x0h,02h, (A) (B) (C) (D) f(x)2f(x),f(x),2f(x)00001f(x)dx,F(

31、x)，cf(lnx)dx, 14.若，则 (B)( ,x11F(lnx)，cF()， c (A) F(lnx)F(lnx)，c (B) (C) (D) xx15. 下列积分计算正确的是 (D)(1001,x (A) (B) (C) (D) xsinxdx,0edx,1sin2xdx,xcosxdx,0,1116下列各函数对中， (C) 中的两个函数相等 (22f(x),x (A)，g(x),x(B)， g(x),x f(x),(x)34g(x),3lnxg(x),4lnx (C)， (D) ， f(x),lnxf(x),lnxf(x)(,，,)f(x),f(,x)17设函数的定义域为，则函数的

32、图形关于(D) 对称 (y,xy (A) (B)轴 (C)轴 (D)坐标原点 xx,018当时，变量 (C ) 是无穷小量 (2sinxx1x (A) (B) (C) (D) e,13xxxfhf,(12)(1)x,1,f(x)lim 19设在点处可导，则 (D )( h,0h,f(1),f(1)2f(1),2f(1) (A) (B) (C) (D)第13 页共19 页2332 高等数学期末复习指导2 20 函数在区间内满足 (B)( (2,4)y,x， 2x,3(A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升(C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降,f(x)dx,21若，则 (B)( f

33、(x),cosx,(A) sinx，c (B) (C) ,sinx，c (D) cosx，c,cosx，c 72(xcosx,2x，2)dx,(D)( 22,2 02 (A) (B) (C) (D) 21,23 若的一个原函数是，则 (B)( f(x)f(x),x211, (A) (B) (C) (D) lnx32xxx24 下列无穷积分收敛的是 (B)(， , ， , ， , ， ,11x,3dxdx (A) (B) (C) (D) cosxdxedx,1100xx25. 设函数f(x)的定义域为(,， ,)，则函数f(x),f(,x)的图形关于(D) 对称 (y,xy (A) (B)轴(C

34、)轴 (D)坐标原点xx,0 26.当时，变量 (C) 是无穷小量 (sinx1xx (A) (B) (C) (D) e,12xxxfxf ， ,(1)(1)x, 27.设，则 lim(B)( f(x),e,x,0x,11ee2e (A) (B) (C) (D) e42d2xf(x)dx, 28.(A)( ,dx1122f(x)f(x)dx (A) (B) (C) (D) xf(x)xf(x)dx2229. 下列无穷限积分收敛的是 (B)(， , ， , ， , ， ,11xx,dxdx (A) (B) (C) (D) edxedx,1100xx二、填空题 ( 每小题 4 分，共 20 分)2

35、9,xy,(1,2):(2,3 1.函数的定义域是( ln(x,1)x,1x,0,x,0y, 2.函数的间断点是( ,sinxx,0,第14 页共19 页2332 高等数学期末复习指导1 3.曲线在处的切线斜率是( (1,2)f(x),x， 122 4.函数的单调减少区间是( (,1)y,(x，1) ，1,(sinx)dx, 5. sinx，c ( ,ln(x，1)6. 函数的定义域是 ( y,(,1,2)24,x1,x,(1， x)x,0x,0k,f(x), 7.若函数，在处连续，则 ( e,2,x，kx,0,33 8.曲线在 (1,2)处的切线斜率是 ( f(x),x，1y,arctanx

36、 9.函数的单调增加区间是 ( (,，,),f(x)dx,sinx，c,sinx 10.若，则 ( f(x),ln(x，1)11. 函数 y, 的定义域是 ( (,1,2)24,x1,x,(1， x)x,0x,0k,f(x), 12.若函数，在处连续，则 ( e,2,x， kx,0,33(1,2) 13. 曲线在处的切线斜率是 ( f(x),x，1y,arctanx 14.函数的单调增加区间是 (,，,) (,f(x)dx,sinx，c,sinx 15.若，则 f(x), ( ,x，1y,(1,2):(2,，,)16.函数的定义域是 ( ln(x,1)1,x,(1， x)x,0x,0k,f(x

37、), 17.若函数，在处连续，则 ( e,x ，kx,0,1(1,1) 18. 曲线在处的切线斜率是 ( f(x),x22(0, ，,) 19.函数的单调增加区间是 ( y,ln(1 ，x),(cosx)dx, 20. ( cosx，c,第 15页共19页2332 高等数学期末复习指导x21 函数 y, ，2，x 的定义域是 ( ,2,1):(1,2)ln(2,x)x，2x,0,22函数的间断点是x,0 ( y,sinxx,0,1,x,(1， x)x,0x,0k,23若函数f(x),，在处连续，则( e,3,x，kx,0,1 24曲线在处的切线斜率是( (2,2)f(x),x，242 25 函

38、数的单调增加区间是( (2,， ,)y,(x,2),1f(x)dx,sin3x，c3cos3x26 若，则 ( f(x),22dxxedx,27 ( e,dx三、计算题 ( 每小题 11 分，共 44 分 )sin(x1)sin(x1)1sin(x， 1) ， limlimlim, 1.计算极限 ( 解 :22x,1x,1x,1(x1)(x1)2x,1x1，,1xxx,y,esine2.设，求 (解 : y,y,lnx，cosex1xe 3.计算不定积分dx( 2,x解 : 由换元积分法得111xe1uuxx dx,ed(),edu,e，c ,e，c,2xxe 4.计算定积分( lnxdx,1

39、解 : 由分部积分法得eeee lnxdx,xlnx,xd(lnx),e,dx,1,1111 sin6xlim 5. 计算极限 ( x,0sin5xxxsin6sin6limxsin6666x,0xx66lim,lim,解:x,0x,0xxsin5sin5xsin5555limx,0xx55xsinx ，2,y6. 设，求 ( 解: 由导数四则运算法则得y,2x第16 页共19 页2332 高等数学期末复习指导222xxxx,(sinx，2)x,2x(sinx， 2)xcosx ， x2ln2,2xsinx,2x2, y,44xx1xx， xcosx ，x2ln2,2sinx,2 ,3x2xx

40、xxxx,7. 设，求 (.解: y,y,siney,2esinecose,esin(2e)y8. 设是由方程确定的函数，求( 解: 等式两端求微分得dyyyx,()ycosx,e左端 ,d(ycosx),yd(cosx)， cosxdy,ysinxdx，cosxdyyy 右端 ,d(e),edyy 由此得 ,ysinxdx，cosxdy,edyysinxdy,dx整理后得ycosx,excos3xdx9.计算不定积分( ,解 : 由分部积分法得1111xcos3xdx,xsin3x,sin3xdx,xsin3x，cos3x，c ,3339e2lnx，dx10. 计算定积分( 解 : 由换元积

41、分法得,1x32ee32， lnx5udx,(2，lnx)d(2，lnx),udu, ,11222x2四、应用题( 本题16 分)1 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省 ,h 解 : 设容器的底半径为，高为，则其表面积为r2V22S2 r2 rh2 r, ，, ， r2V,S,4 r, 2rVV4V,333S,0r,r,h,由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分2 24VV33别为与时，用料最省 ( 2 2 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大 ,h 解: 如图所示，圆柱体高与底半径满足r222 h ，r,l圆柱体的体积